分段插值法

设插值节点为 xi , 函数值为 yi , i = 0 ,1,L , n
hi = xi + 1 − xi , i = 0 ,1,2 ,L , n − 1
h = max hi
i
任取三个相邻节点xk − 1 , xk , xk + 1 ,以[ xk − 1 , xk + 1 ]为插值区间
构造Lagrange二次插值 (k ) L2 ( x ) = yk − 1lk − 1 ( x ) + yk lk ( x ) + yk + 1lk + 1 ( x )
k = 0 ,1,L , n − 1
--------(1)
L(10 ) ( x ) x0 ≤ x < x1 L( 1 ) ( x ) x1 ≤ x < x2 L1 ( x ) = 1 (x M M ( n −1 ) L1 ( x ) xn −1 ≤ x ≤ xn 显然 L1 ( xi ) = yi , i = 0 ,1,L , n
k = 1, 2 ,L , n − 1
( x − xk )( x − xk + 1 ) ( x − xk − 1 )( x − xk + 1 ) + yk L ( x ) = yk − 1 ( xk − 1 − xk )( xk − 1 − xk + 1 ) ( xk − xk − 1 )( xk − xk + 1 )
0.36 − 0.4 0.36 − 0.3 f ( 0.36 ) ≈ L ( 0.36 )= 0.30163 + 0.41075 0.3 − 0.4 0.4 − 0.3
(0) 1
= 0.36711
同理
f ( 0.98) ≈ L(14 ) (0.98) = 1.10051
( 4) 1
1 .1 − 0 .8 1.1 − 1.05 f ( 1.1) ≈ L ( 1.1) = 0.87335 + 1.18885 1.05 − 0.8 0.8 − 1.05
k = 0 ,1,L , n − 1
α ( x ),α ( x ), β ( x ), β ( x )为Hermite插值基函数
其中
x − xk x − xk + 1 α ( x) = 1 + 2 xk + 1 − xk xk − xk + 1 2 ( α 1k ) ( x ) = 1 + 2 x − xk + 1 x − xk xk − xk + 1 x − x
三、分段两点三次Hermite插值
设函数f ( x)在[a, b]上的节点xi 上的函数值为yi , i = 0,1,L , n 在节点xi上的导数值为yi′ , i = 0 ,1,L , n
对任意两个相邻的节点 xk , xk + 1 , k = 0 ,1,L , n − 1
可构造两点三次Hermite插值多项式
若f ( x )在[ a , b ]上连续
-0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 -4
lim L1 ( x ) = f (x )
h→ 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2. 分段线性插值的误差估计 n次Lagrange插值多项式的余项为
f (ξ ) ω n +1 ( x) Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = (n + 1)!
R1 ( x ) = f ( x ) − L1 ( x ) = f ( x ) − L ( x ) f ′′(ξ ) ξ , x ∈[ x , x
= ( x − xk )( x − xk + 1 )
k
k +1
], 且ξ与x有关
二、分段二次Lagrange插值 1. 分段二次插值的构造 分段线性插值的光滑性较差,且精度不高 因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值
--------(2)
我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 L1(x) 为 分段线性Lagrange插值多项式
分段线性插值y = L1 ( x )的图象
1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0
实际上是连接点( xk , yk ) , i = 0 ,1,L , n的一条折线
也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果 因此 则
( n +1)
那么分段线性插值L1 ( x )的余项为
(k ) 1
2 1 | R1 ( x )| ≤ ⋅ max| f ′′( x )|⋅ max|( x − xk )( x − xk + 1 )| a ≤ x ≤b 2 a ≤ x ≤b k 1 1 2 1 ≤ ⋅ M 2 ⋅ h = M 2 h2 2 4 8
§ 3.5 分段插值法
从上可知,如果插值多项式的次数过高，可 能产生Runge现象，因此，在构造插值多项式 时常采用分段插值的方法。 一、分段线性Lagrange插值 1. 分段线性插值的构造
设插值节点为 xi , 函数值为 yi , i = 0 ,1,L , n hi = xi + 1 − xi , i = 0 ,1,2 ,L , n − 1 h = max hi
= 1.25195
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
( x − xk )( x − xk + 1 ) ( x − xk − 1 )( x − xk + 1 ) + yk L ( x )= yk − 1 ( xk − xk − 1 )( xk − xk + 1 ) ( xk − 1 − xk )( xk − 1 − xk + 1 )
(k ) 2
( x − xk − 1 )( x − xk ) + yk + 1 ( xk + 1 − xk − 1 )( xk + 1 − xk )
k = 1, 2 ,L , n − 1
上式称为分段二次Lagrange插值
2. 分段二次插值的误差估计
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x) 由于 Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = (n + 1)! 那么分段二次插值L2 ( x )的余项为
1 0 1 2
= 0.36686
f (0.98) ≈ L(24 ) (0.98) = 1.09784
f (1.1) ≈ L(24 ) (1.1) = 1.25513
分段低次Lagrange插值的特点 计算较容易 可以解决Runge现象 但插值多项式分段 插值曲线在节点处会出现尖点
插值多项式在节点处不可导
即
M4 R3 ( x ) ≤ max ( x − xk )2 ( x − xk + 1 )2 4! 0 ≤ k ≤ n − 1
任取两个相邻的节点xk , xk + 1 , 形成一个插值区间[ xk , xk + 1 ]
i
构造Lagrange线性插值
L(1k ) ( x ) = yk lk ( x ) + yk + 1lk + 1 ( x )
x − xk +1 x − xk + yk + 1 = yk xk + 1 − xk xk − xk +1
Ax = b
第3章 插值法 a11 a12 L a1n i−1 bi − ∑lij xj a21 a22 L a2n A= j =1 M § 3.5 分段插值法 = M M M xi lii an1 an2 L ann i = 2,3,L, n
例
10 将[ −5 ,5]n等份取n + 1个节点xi = −5 + ih , h = , i = 0 ,1 , L , n n
( ( ( ( ′ ( ′ H 3k ) ( x ) = ykα 0k ) ( x ) + yk + 1α 1k ) ( x ) + yk β 0 k ) ( x ) + yk + 1 β 1 k ) ( x )
x ∈ [ xk , xk + 1 ]
(k ) 0 (k ) 1 (k ) 0 (k ) 1
1 设函数 f ( x ) = , x ∈ [ −5 ,5] 2 1+ x
试就n = 2 , 4 ,6 ,8,10作f ( x )的n次Lagrange插值多项式
并作图比较.
解:Leabharlann 1 yi = f ( xi ) = (x 2 1 + xi
n
作n次Lagrange插值多项式
n ( x − xi ) 1 ⋅ Ln ( x ) = ∑ 1 + x 2 ∏ ( x j − xi ) n = 2 , 4 ,6 ,8 ,10 j =0 i =0 j i≠ j
1 2 3 3 3 ≤ ⋅ M3 ⋅ h = M 3h3 6 9 27
例: 设f (x )在各节点处的数据为
i xi 0 0.30 1 0.40 2 0.55 3 0.65 4 0.80 5 1.05
yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
(k ) 0
2
2
x − xk + 1 β ( x ) = ( x − xk ) x −x k +1 k
(k ) 0
β
(k ) 1
x − xk ( x ) = ( x − xk + 1 ) x −x k k +1

k +1
k


2
我们称
( H 3 ( x ) = H 3k ) ( x ) , k = 0 ,1,L , n − 1
为分段三次Hermite插值多项式，其余项为
f ( 4 ) (ξ ) ( R3 ( x ) ≤ max R3k ) ( x ) = max [ ( x − xk )2 ( x − xk + 1 )2 ] 0≤k ≤n−1 0≤ k ≤ n−1 4! M4 = max ( x − xk )2 ( x − xk + 1 )2 4! 0 ≤ k ≤ n − 1
求f ( x)在x = 0.36, 0.98,1.1处的近似值 (用分段线性、二次插值).
解: (1). 分段线性Lagrange插值的公式为 x − xk x − xk + 1 (k ) L1 ( x ) = yk + yk + 1 xk + 1 − xk xk − xk + 1
k = 0 ,1 , L , n − 1
= f ( x ) − L(2k ) ( x ) R2 ( x ) = f ( x ) − L2 ( x )
f ′′′(ξ ) = ( x − xk − 1 )( x − xk )( x − xk + 1 ) 且ξ与x有关 6
ξ , x ∈ [ xk − 1 , xk + 1 ],
1 | R2 ( x )| ≤ ⋅ max | f ′′′( x) | ⋅ x max | ( x − xk −1 )( x − xk )( x − xk +1 ) | k −1 ≤ x ≤ x k +1 6 a ≤ x ≤b k
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 2
f(x )= 1/(1+ x 2 ) 1.5 n= 10
1
n= 2 n= 4
0.5
0 n= 6 -0.5 n= 8 -1
-1.5 -5
-4
-3
-2
-1 0 1 Runge现象
2
3
4
5
结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插 值效果越好,精度也不一定是随次数的提高 而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现, 故称为Runge现象.
(k ) 2
( x − xk − 1 )( x − xk ) + yk + 1 ( xk + 1 − xk − 1 )( xk + 1 − xk )
(1) 2
k = 1 , 2 ,L , n − 1
(0.36 − x1 )(0.36 − x2 ) f (0.36 ) ≈ L (0.36 ) = y0 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) (0.36 − x0 )(0.36 − x2 ) + y ( 0.36 − x0 )(0.36 − x1 ) 2 + y1 ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x − x )( x − x )