桁架有限元分析ppt课件

以图26所示的空间 桁架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的杆 件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
➢ 变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即：
➢ 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即：
➢ (10)按杆件内力调整杆件截面，并重新计算， 迭代次数宜不超过4～5次。
➢
Ec——K支cx承柱3的EH材c料3Ic弹y 性模量K；cy
3E c I cx H3
➢ Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩；
➢ H——支承悬臂柱长度。
(3)斜边界处理 ➢ 斜边界是指与整体坐标斜交的方向有约束的边界。 ➢ 建筑平面为圆形或多边形的网架会存在斜边界( 图3.27a)。 ➢ 矩形平面网架利用对称性时，对称面也存在斜边 界(图3.27b，c)。
基本未知量
节点平衡及变形协调条件
总刚度矩阵 总刚度方程
引入边界条件
节点位移值
单元内力与节点位移间关系
杆件内力
3.4.1网架计算基本假定
➢ 网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴 力；
➢ 结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变 形很小，符合小变形理论。
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3.4.2单元刚度矩阵
一等截面空间桁架杆件ij如图所示，设局部直角坐
图3.27 网架的斜边界约束
➢ 斜边界有两种处理方法，一种是根据边界点的 位移约束情况设置具有一定截面积的附加杆， 如节点沿边界法线方向位移为零，则该方向设 一刚度很大的附加杆，截面积A=106~108(图 3.27b)；如该节点沿边界法线方向为弹性约束， 则调节附加杆的截面积，使之满足弹性约束条 件。这种处理方法有时会使刚度矩阵病态。
➢ 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
➢ 当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
➢ 另一种方法是对斜边界上的节点位移做坐标变 换(图3.27c)，将在整体坐标下的节点位移向量 变换到任意的斜方向，然后按一般边界条件处 理。
3.4.6 杆件内力
➢ 引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位 移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为
{ F}e = [T]T[K]e e
➢ 将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达 式为
➢ 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
➢ 整理得：
➢ 上式就是节点3得内外力平衡方程，对网架中得 所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为 结构踪刚度方程，表达式为：
➢ 对于本例，总刚度矩阵中的第7行至第9行的元 素表示如下：
总刚矩阵具有下列特点：
➢ 矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出， 只列出上三角或下三角即可。
3.4.4总刚矩阵中边界条件的处理方法 ➢ 未引入边界条件前，总刚矩阵[K]是奇异的，不
能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移 后，总刚矩阵为正定矩阵。
位移为零
处理方法 弹性约束
指定位移
3.4.5网架的边界条件及对称性利用
(1)对称性利用 ➢ 当网架结构(包括支座)和外荷载有n个对称面时，
可利用对称条件只分析网架的1／2n。 ➢ 计算时，对称面内各杆件的截面积应取原截面
标系为 xyz ，x 轴与ij杆平行。
局部直角 坐标下
图3.24 ij杆的杆端轴力和位移
➢ 杆端力向量为： ➢ 杆端位移向量为： ➢ 杆端力和位移的关系可写为
坐标转换
整体坐标
➢ 结构分析中为方 便杆端力和位移的叠 加，应采用统一坐标 系，即结构整体坐标 xyz。这样需对局部坐 标系下的单元刚度矩 阵进行坐标转换。
N
EA lij
[cos(u
j
ui )
cos (v j
vi )
cos
(wj
wi )
➢ 式中 N——杆件轴力，以拉为正。
3.4.7 空间杆系有限元法计算步骤
➢ (1)根据网架结构、荷载对称性选取计算简图， 并对其节点和杆件进行编号，为减小总刚矩阵 带宽，节点编号应遵循相邻节点号差最小的原 则。
面积的一半，n个对称面交线上的中心竖杆，其 截面面积应取原截面面积的1／2n。
➢ 对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对 称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位 移为零，计算时应在相应方向予以约束。
➢ 与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为 一个节点，并在三个方向予以约束。
➢ 交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面 时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予 以约束。
➢ 矩阵具有稀疏性。
➢ 网架结构每一节点所连杆件数量有限，总刚矩 阵中除主对角及其附近元素为非零元素外，其 余均为零元素。
➢ 非零元素集中在主对角线两旁的带状区域内， 计算机存贮时，按一维变带宽存放，可有效节 省计算机容量，带宽大小与网架节点编号有关， 进行网架节点编号时，应尽可能使各相关节点 号差值缩小。
➢ 在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对 称位移应取为零。
(2)边界条件
➢ 有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及 变形产生较大影响。
➢ 网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关， 也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、 单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结 构(柱、梁等)可以是刚性或弹性的。
➢ 当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条 件完全取决于支座构造。
➢ 无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。
➢ 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。
➢ 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。
➢ 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。
3.4空间杆系有限元法
➢ 空间杆系有限元法也称空间桁架位移法。 ➢ 空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，
适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条 件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等 工况均可计算。 ➢ 能考虑网架与下部支承结构的共同工作 。 ➢ 计算程序见下表。
网架杆件 节点位移
基本单元 单元刚度矩阵
➢ 对公式变换为：
✓ {Fi} ，{Fj}——分别为杆件ij在别为杆件ij在整体坐标系下i， j点的位移列阵；
✓ [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在i端，j端发生单 位位移时，在i端，j端产生的内力；
✓ [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在j端，i端发生单 位位移时，在i端，j端产生的内力。
图3.25 杆件在整体坐标中
➢ 式中[T]——坐标转换矩阵 ➢ 坐标轴的旋转变换和几何关系可导出：
➢ 并注意到[T]-1=[T]T，得到整体坐标下ij杆节点
力和位移的关系为：
➢ 得到杆件ij在整体坐标系中的单刚矩阵 ：
3.4.3结构总刚度矩阵及总刚度方程
➢ 建立了杆件单元刚度矩阵之后，即可按照变形 协调及节点内外力平衡条件建立结构的总刚度 矩阵及相应的总刚度方程。
➢ (2)计算杆件单元长度及杆件与整体坐标轴夹角 余弦；
➢ (3)初选各杆的截面积；
➢ (4)建立局部和整体坐标系下的单元刚度矩阵；
➢ (5)集合总刚矩阵，为减小矩阵容量，宜采用变
带宽一维存贮方式； ➢ (6)建立荷载列阵； ➢ (7)引入边界条件对总刚度方程进行处理； ➢ (8)求解总刚度方程，得出各节点位移值； ➢ (9)根据节点位移计算杆件内力；