2020北京汇文中学高二(上)期中数学
北京市东城区汇文中学2022~2023学年第一学期高三期中数学试卷及答案
北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期期中考试 高三年级 数学学科本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则AB =（ ）.A ．{}01x x ≤<B ．{}12x x -<< C ．{}12x x -<≤ D ．{}02x x ≤≤ 2. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．在复平面内，复数i(2i)z =+对应的点的坐标为A. (1,2)B.(1,2)-C. (2,1)D.(2,1)- 4．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是 A. (0,)a ∃∈+∞，12a a +> B. (0,)a ∃∉+∞，12a a +> C. (0,)a ∃∈+∞，12a a +≤ D. (0,)a ∃∉+∞，12a a+≤5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是A.sin y x =B.||y x x =C.tan y x =D.1y x x=- 6．将函数sin 2y x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是 A ．π()sin(2)6f x x =- B. π3x =-是函数的()f x 图像的一条对称轴C. ()f x 在ππ[,]63-上是减函数 D. ()f x 在π5π[,]1212-上是增函数7. 已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是（ ）. A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若a b >且0ab <，则11a b> D ．若22a b >，则11a b <8. 已知等比数列{}n a 中，11a =，且58258a a a a +=+，那么5S 的值是（ ）.A ．15B ．31C ．63D ．649. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则)(PC PB AP +⋅等于（ ）.A ．43- B. 43 C. 49- D. 49高10. 定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ “广义互余”．已知1sin 4=α，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）. A ．15sin 4β=B ．1cos()4πβ+=C ．15tan 5β=D ．15tan 15β=11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点(2,3)B -，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）. A 26B 29 C.31D 3412. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-. 记12n n T a a a =(1,2,)n =，则数列{}n T （ ）. A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和. 若2n S n =，则2a =_________. 14. 已知1a >，则4+1a a -的最小值为_________. 15. 若直线y a =与函数3()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 .16. 已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为 . 17. 已知函数2ln ()xf x x x=-，给出下列四个结论： 函数()f x 是奇函数；函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调；当0x >时，函数()0f x >恒成立； 当0x <时，函数()f x 有一个零点.其中所有正确结论的序号是____________ .18．某生物种群数量Q 与时间t 的关系近似地符合10e ()e 9tt Q t =+. 给出下列四个结论：① 该生物种群的数量不会超过10；② ②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ③ 该生物种群数量的增长速度最大的时间0(2,3)t ∈． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共5小题，共72分）19．（本小题共14分）已知等差数列{}n a 满足142n na a n ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n b a -是公比为3的等比数列，且13b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（本小题共14分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos a B b A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第③ 组条件： 19,5a c ==; 第②组条件： 1cos 423C c ==，; 第③组条件： AB 边上的高3h = ，3a =.21.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求二面角E PD C --的余弦值．22．（本小题共15分）设函数2()(3),f x x x x a a =-+∈R .（Ⅰ）当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,2)上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(0,2)内存在两个极值点12,x x ，且满足1212()()()()f x f x f x f x ->+，请直接写出a 的取值范围.23．（本小题15分）设正整数3n ≥，集合{}12( )1 2 n k A x x x x k n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅R ，，，，，，，，a a ，对于集合A 中的任意元素12( )n x x x =⋅⋅⋅，，，a 和12( )n y y y =⋅⋅⋅，，，b ，及实数λ，定义：当且仅当(1,2,,)i i x y i n ==时=a b ；1122( )n n x y x y x y +=++⋅⋅⋅+，，，a b ；12( )n x x x λλλλ=⋅⋅⋅，，，a ．若A 的子集{}123B =，，a a a 满足：当且仅当1230λλλ===时，112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，则称B 为A 的完美子集．（Ⅰ）当3n =时，已知集合1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B ，2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B ，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当3n =时，已知集合{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，.若B 不是A 的完美子集，求m 的值；（Ⅲ）已知集合{}123,,B A =⊆a a a ，其中12( )(1 2 3)i i i in x x x i =⋅⋅⋅=，，，，，a ，若1232ii i i i x x x x >++对任意1 2 3i =，，都成立，判断B 是否一定为A 的完美子集. 若是，请说明理由；若不是，请给出反例．答案选择题 CABCB DCBDA BB 填空题 13．2 14. 5 15. 16. 32 17.18．①②④解答题 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,所以当1n =时，216a a +=. ① -------------------------------------------1分 当2n =时，3210a a +=, ②-------------------------------------------2分 ②—①得314a a -=.因为{}n a 为等差数列，设公差为d ,所以3124d a a =-=，则2d =, -----------------------------------------4分 由①可得126a d +=，所以12a =，----------------------------------------6分 所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==.-----------------------------------7分经检验2n a n =符合题意，所以通项2n a n =.其它解法：因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11n a a nd +=+，---2分 所以112(21)n n a a a n d ++=+-， 由已知可得12(21)42a n d n +-=+，因为122(42)a d d n --=-对于n +∀∈N 成立，-----------------------3分 所以2d =，12a =， ----------------------------------------6分 所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==.-----------------------------------7分（Ⅱ）因为{}n n b a - 是公比为3的等比数列，又知13b =，所以11111()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯，-----------------------9分 所以11332n n n n b a n --=+=+， 所以0121(3333)+2(123)n n S n -=++++++++132(1)132n n n -+=+- ------------------------------------------------13分 1(31)(1)2n n n =-++. ---------------------------------------------------------14分 20．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=及sin cos a B A =得sin sin cos A B B A ， ------------------------------------------------------2分因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠ --------------------------------------------------------3分所以sin A A =， ----------------------------------------------------------4分所以tan A = ----------------------------------------------------------5分 因为()0,πA ∈， ----------------------------------------------------------6分 所以π3A =. ----------------------------------------------------------7分 （Ⅱ）选②： ---------------------------------------------------8分 法一：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以sin C .----------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin c Aa C ===.--------------------10分由πA B C ++=得()11sin sin sin cos cos sin 32B A C A C A C =+=+=+.-12分所以11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=分法二：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以sin C . -------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 3c A a C ===.-------------------10分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得23227b =+-，即250b --=，解得b =（舍负）所以b =. ------------------------------------12分所以11sin 22ABC S bc A ∆==⨯⨯=分 法三：所以1cos 3C =，()0,πC ∈，所以sin C .由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin c Aa C ===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22732b =+-，即250b -+=，解得b =由2221cos 023a b c C ab +-==>，得2225b c a >-=所以b =.所以11sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯=选③：-------------------------------------------------------------------------------------8分法一：因为π3A =，AB边上的高h = 作CD AB ⊥，垂足为D，则CD =，在Rt ∆CAD 中有sin h A b=，所以2sin hb A==. --------------------------------------------------------------10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2942c c =+-，即2250c c --=，解得1c =（舍负）所以1c =. ------------------------------12分所以(11122ABCSch ==⨯=. ---------------------------------14分 法二：过C 作CD 垂直直线AB 于D，则CD h ==，所以2sin CD b A==， ------------------------------------------------------------10分所以1cos 212AD b A ==⨯=. 因为3a =，由勾股定理得BD ===---------------------12分 因为a b >，所以A B >，即60B <，所以AB AD BD =+，所以(11122ABC S ch ∆==⨯. ----------------------------14分21. （本小题共14分） ⑴略． 22．（本小题共15分）解：（Ⅰ）当9a =-时，2()(39)f x x x x =--，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，------------------------------------------2分'(f x 的情况如下：所以，函数()f x 的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒--------------------------------4分 （Ⅱ）由2()(3)f x x x x a =-+得2()36f x x x a '=-+，因为()f x 在区间(1,2)上为减函数，所以()0f x '≤在(1,2)内恒成立，-----------------------------------------------------6分 因为22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-，所以(1,2)x ∈时，'()(3,)f x a a ∈-，-----------------------------------------------8分 所以(,0]a ∈-∞.---------------------------------------------------------------------------9分 或者：()0f x '≤，即236,(1,2)a x x x ≤-+∈恒成立， (1,2)x ∈时，22363(1)3(0,3)x x x -+=--+∈（Ⅲ）所以a 的取值范围为9(0,)4﹒----------------------------------------------------------15分 23．（本小题共15分） 解：（Ⅰ）1B 是完美集；-------------------------------------------1分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即1230λλλ===． 所以1B 是完美集．------------------------------------------2分2B 不是完美集．------------------------------------------3分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．，， 令3=1λ，则12=2=3λλ-，． 所以2B 不是完美集．------------------------------------------5分（Ⅱ）因为B 不是完美集，所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，，．------------------------------------------6分因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，， 由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-． ------------------------------------------8分 所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，． 所以1212(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．，所以1(41)0m λ-+=． 所以14m =或10λ=． 检验： 当14m =时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ． 当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍． 所以14m =．------------------------------------------10分 （Ⅲ）B 一定是完美集．------------------------------------------11分假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ， 不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）． 由1112213310x x x λλλ++=，得3211213111x x x λλλλ=--． 所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+．与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾． 所以假设不成立． 所以10λ=． 所以230λλ==． 所以B 一定是完美集．------------------------------------------15分。
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长为120分钟.请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.1 集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 如图，曲线在点处的切线l 过点，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 33. 下列函数中，的最小值是2的是（ ）A B. C. D.4. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数..2{|0}A x x x =-≤{|1}B x x =<-R A B = ð{}1x x >-{|01}x x ≤≤{|01}x x <≤{|1}x x ≥-()y f x =()()1,1P f ()2,0()12f '=-()1f 1-y 1y x x=+ln y x x =-1x y e x =-+1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭0.12a =0.413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭21log e c =a b c>>b c a>>a c b>>c a b>>()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x (1,)+∞(1,)+∞(1,)+∞D. 是偶函数，且在上是减函数6. 7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，记事件A ＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B ＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（ ）A.B.C.D.7. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz ；为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）A. B.C.D. 9. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 函数的定义域是____________．12. 已知函数则________；的值域为_______．13. 若函数存在极值点，则实数a 的取值范围为________．14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，(1,)+∞()P B A 132349590.80.30.60.40.450.50.60.722log (1)SC W N=+C bis /s W SN99S N =2000Hz W =1C 9999SN=3000Hz W =2C 21C C 1521543()()221e xf x x a x =++a =()f x =1x -()f x D x D ∀∈y D ∃∈()()f x fy =-()f x Ωsin y x =4y x x =+11y x =-()ln f x x =-Ω()ln f x x =+22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩…(0)f =()f x ()32113f x x ax x =-++无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．15. 如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.16. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数存最小值；②对于任意，函数是上的减函数；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点.其中正确命题的序号是______.三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．18. 某学校食堂为了解师生对某种新推出菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96根据师生对该菜品满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和在的的136m ()e ln x f x a x =-()0,∞+()f x ()0,a ∈+∞()f x (),0a ∈-∞()f x ()0,∞+(),0a ∈-∞()0,x ∈+∞()0f x >()0,a ∈+∞()f x 2()ln f x x x=+()f x [1,]e x (1,)∈+∞()f x 3221()32g x x x =+1μ2μ1η2η1μ2μ1η2η的大小（结论不要求证明）；（2）从全校教师中随机抽取3人，设X 为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A 组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B 组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；（3）从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）20. 已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求函数的极值点的个数.21. 由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；X X ()E X A B 1ξ2ξ()1D ξ()2D ξ()()31ln ax a f x a x+-=∈R ()y f x =()()e,e f 22e y x b =+a b ()f x 1a <()f x m {}123,,,,m M a a a a =⋅⋅⋅123m a a a a <<<⋅⋅⋅<()12m P M a a a =++⋅⋅⋅+()0P ∅=M ()k P M ≤M ,A B ()()k P A P B =-M {}11,2M ={}22,3M =（2）若集合为“满集”，求的值；（3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由.M 1a 123,,,,m a a a a 12M北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】D二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】①. 1②. 【13题答案】(]0,1(),2∞-【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】1【16题答案】【答案】①④三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详略.【18题答案】【答案】（1）>，<；（2）分布列略，数学期望；（3）.【19题答案】【答案】（1）（2） （3）【20题答案】【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案略 （2）答案见详解【21题答案】【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由略；（2）；（3）是“满集”，理由略.()(),11,-∞-⋃+∞2027()f x (1)1f =2()1f e e =+1μ2μ1η2η()34E X =1940310()1E X =()()12=D D ξξ31,e a b ==-1M 2M 1。
【精品高二数学试卷】2019-2020北京高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10＝（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4002．（5分）已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则|a |＞|b | B ．若a ＞b ，则1a＜1bC ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 23．（5分）已知数列{a n ）的通项公式为a n =n 2−n ，则下列各数中不是数列中的项的是（ ） A ．2B ．40C ．56D ．904．（5分）不等式2x +3﹣x 2＞0的解集是（ ） A ．{x |﹣3＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜3}C ．{x |1≤x ＜3}D ．{x |−32≤x ＜3}5．（5分）抛物线y ＝2x 2的焦点到其准线的距离为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．146．（5分）下列说法正确的是（ ）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3…的一个通项公式为a n ＝n ﹣1；③数列0，1，0，1…没有通项公式； ④数列{n n+1}是递增数列A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④7．（5分）已知F 为双曲线C ：x 29−y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点，若线段PQ 的长等于16，点A （5，0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为（ ） A ．44B ．34C ．32D ．468．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y =√3x ，且它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ．x 227−y 29=1 B ．x 236−y 2108=1C ．x 29−y 227=1D ．x 2108−y 236=19．（5分）若抛物线y 2＝3x 的焦点是F ，准线是l ，点M （3，m ）（m ＞0）是抛物线上的一点．则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上的两个动点A ，B 始终满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点H 作抛物线的垂线HN ，垂足为N ，则|HN||AB|的取值范围是（ ） A ．（0，√33] B ．（√33，+∞] C ．[1，+∞] D ．（0，1]二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．（5分）已知抛物线y 2＝2ax 过点（﹣1，4），则抛物线的焦点坐标为 ． 12．（5分）函数y ＝x ﹣1+4x （x ＞0）的最小值为 ．此时x ＝ ． 13．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2＝0，则公比q ＝ ． 14．（5分）双曲线x 23−y 24=1的焦点坐标为 ，渐近线方程是 ．15．（5分）已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ﹣1，则数列{a n }的通项公式是 ． 16．（5分）如果关于x 的不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是 ．17．（5分）河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后穿露出水面上的部分高0.75m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 m 时，小船开始不能通航．18．（5分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n+2={2a n (n 为奇数)a n +3(n 为偶数)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝ ． 19．（5分）已知椭圆M ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m −y 2n =1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．（14分）已知等差数列{a n }中，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的公差小于零，求数列{a n }的前n 项和S n 的表达式及其最大值； （3）求a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2．21．（13分）解关于x 的不等式ax 2﹣2≥2x ﹣ax （a ∈R ）．22．（13分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线y ﹣x +2＝0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P （﹣2√2，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点G ． 23．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），离心率为12，A为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线AP ，AQ 与直线l ：x ＝4分别交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若△P AF 与△PMF 的面积之比为15，求M 的坐标；（Ⅲ）设直线l 与x 轴交于点R ，若P ，F ，Q 三点共线，判断∠MFR 与∠FNR 的大小关系，并说明理由．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．【解答】解：d =a 4−a 24−2=15−72=4，a 1＝3， ∴S 10＝10×3+10×9×42＝210， 故选：B ．2．【解答】解：A ．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|； B ．错误，比如3＞﹣4，便得不到13＜1−4；C ．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D ．正确，a ＞|b |，则a ＞0，根据不等式的性质即可得到a 2＞b 2． 故选：D ．3．【解答】解：由数列{a n ）的通项公式为a n =n 2−n ， n ＝2时，a 2＝2．n ＝8时，a 8＝56．n ＝10时，a 10＝90． 令a n =n 2−n =40，无整数解． 则下列各数中不是数列中的项的是B ． 故选：B ．4．【解答】解：因为2x +3﹣x 2＞0，所以（x ﹣3）（x +1）＜0， 所以﹣1＜x ＜3，所以不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜3}． 故选：B ．5．【解答】解：抛物线y ＝2x 2化为标准方程为x 2=12y ∴抛物线y ＝2x 2的焦点到其准线的距离为12×12=14故选：D ．6．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于①、数列1，3，5，7与数列7，5，3，1中顺序不同，不是同一数列，故①错误； 对于②、数列0，1，2，3，…的通项公式是a n ＝n ﹣1，故②正确；对于③、数列0，1，0，1…它的一个通项公式为：a n ={0，n 为奇数1，n 为偶数，故③错误；对于④、数列{nn+1}是递增数列，故④正确．故选：B ．7．【解答】解：双曲线C ：x 29−y 216=1的左焦点F （﹣5，0），∴点A （5，0）是双曲线的右焦点， 双曲线图象如图： |PF |﹣|AP |＝2a ＝6，① |QF |﹣|QA |＝2a ＝6，② 而|PQ |＝16， ①+②得：|PF |+|QF |﹣|PQ |＝12，∴周长为：|PF |+|QF |+|PQ |＝12+2|PQ |＝44． 故选：A ．8．【解答】解：由题意可得：ba =√3，c ＝6=√a 2+b 2，联立解得：a ＝3，b ＝3√3． ∴双曲线的方程为：x 29−y 227=1，故选：C ．9．【解答】解：抛物线y 2＝3x 的焦参数p =32，所以F （34，0），直线l ：x =−34，即x +34=0，点M （3，m ）（m ＞0）是抛物线上的一点．可得点M （3，3）、经过点M 、F （34，0），且与直线l 相切的圆的圆心为G ，如图：由抛物线的定义以及圆的性质可知：GN ⊥l 于N ，GN ＝GF ＝GM ， 所以满足条件的圆有两个． 故选：C ．10．【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ， 由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP | 在梯形ABPQ 中，∴2|HN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ， 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−34（a +b ）2=14（a +b ）2， 得到|AB |≥12（a +b ）． ∴|HN||AB|≤1，故选：D ．二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．【解答】解：抛物线y 2＝2ax 过点（﹣1，4）， 可得16＝﹣2a ，解得a ＝﹣8． 所以抛物线方程为：y 2＝﹣16x ， 抛物线的焦点坐标（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0） 12．【解答】解：∵x ＞0，由基本不等式可得y ＝x +4x −1≥2√x ⋅4x −1=3， 当且仅当x =4x即x ＝2时，函数取得最小值3 故答案为：3；213．【解答】解：由题意可得，q ≠1 ∵S 3+3S 2＝0 ∴a 1(1−q 3)1−q+3a 1(1−q 2)1−q=0∴q 3+3q 2﹣4＝0 ∴（q ﹣1）（q +2）2＝0 ∵q ≠1 ∴q ＝﹣2 故答案为：﹣2 14．【解答】解：双曲线x 23−y 24=1可得a =√3，b ＝2，双曲线的焦点坐标为（±√7，0），双曲线的渐近线方程为：y ＝±2√33x ． 故答案为：（±√7，0）；y ＝±2√33x ． 15．【解答】解：由S n ＝3n ﹣1，得a 1=S 1=31−1=2； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n −1−(3n−1−1)=2⋅3n−1， 验证a 1＝2适合上式， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：a n =2⋅3n−1．16．【解答】解：不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立， k ＝0时，不等式化为−38＜0恒成立，k ≠0时，应满足{k ＜0k 2−8k(−38)＜0， 解得﹣3＜k ＜0．综上，不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0]． 故答案为：（﹣3，0]．17．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立如图的平面直角坐标系，使得抛物线开口向下；设拱桥型抛物线方程为x 2＝﹣2py （p ＞0）； A （2，y 1），B （4，﹣5） 将B （4，﹣5）代入抛物线方程 得p ＝1.6； 所以抛物线方程为 x 2＝﹣3.2y ； 当船两侧与抛物线接触时不能通过， 由22＝﹣3.2y 1，得y 1＝﹣1.25，（因为船露出水面的部分高0.75米）； 所以h ＝|y 1|+0.75＝2米．故水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行． 故答案为：2．18．【解答】解：当n 为奇数时，a n +2＝2a n ，∴奇数项成等比数列，首项为1，公比为2，∴a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1=1×(1−2n)1−2=2n ﹣1，当n 为偶数时，a n +2﹣a n ＝3，∴偶数项成等差数列，首项为2，公差为3，∴a 2+a 4+a 6+…+a 2n ＝2n +n(n−1)2×3=3n 2+n2．S 2n ＝2n ﹣1+3n 2+n2． 故答案为：2n ﹣1+3n 2+n2． 19．【解答】解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c2，√3c 2），可得：c 24a +3c 24b=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m =3，即m 2+n 2m =4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m2=2． 故答案为：√3−1；2．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列，可得a 1a 13＝a 112，即25（25+12d ）＝（25+10d ）2， 解得d ＝0或d ＝﹣2，则a n ＝25或a n ＝25﹣2（n ﹣1）＝27﹣2n ；（2）数列{a n }的公差小于零，可得d ＝﹣2，a 1＝25，数列{a n }的前n 项和S n ＝25n +12n （n ﹣1）×（﹣2）＝﹣n 2+26n ＝﹣（n ﹣13）2+169，可得n ＝13时，S n 取得最大值169；（3）当d ＝0时，a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2＝25+25+…+25＝25n ； 当d ＜0时，a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2＝25+19+…+（﹣6n +31） =12n （25﹣6n +31）＝28n ﹣3n 2．21．【解答】解：原不等式变形为ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≥0． ①a ＝0时，x ≤﹣1；②a ≠0时，不等式即为（ax ﹣2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥2a或x ≤﹣1； 由于2a −（﹣1）=a+2a ，于是 当﹣2＜a ＜0时，2a≤x ≤﹣1；当a ＝﹣2时，x ＝﹣1； 当a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a．综上，当a ＝0时，x ≤﹣1；当a ＞0时，x ≥2a 或x ≤﹣1；当﹣2＜a ＜0时，2a≤x ≤﹣1；当a ＝﹣2时，x ＝﹣1；当a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a．22．【解答】解：（1）e =c a =√22，所以c 2=12a 2，设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆方程为x 2+y 2＝b 2，则圆心到直线的距离d =21+1=b ， 解得b 2＝2，所以a 2＝4，椭圆C 的方程为x 24+y 22=1，（2）设B （x 1，y 1），E （x 2，y 2），A （x 1，﹣y 1）由题知PB 斜率肯定存在，设直线PB 方程为y ＝k （x +2√2），联立{y =k(x +2√2)x 24+y 22=1，整理得（1+2k 2）x 2+8√2k 2x +16k 2﹣4＝0，则x 1+x 2=−8√2k 21+2k 2，x 1x 2=16k 2−41+2k 2，直线AE 的方程为：y ﹣y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，令y ＝0，则x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2， 将y 1=k(x 1+2√2)，y 2=k(x 2+2√2)代入得x =−√2，所以G （−√2，0）， 故直线AE 过定点G （−√2，0），23．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c ＝1，又c a =12，解得a ＝2，c ＝1． ∵a 2﹣b 2＝c 2，∴b 2＝3．∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）解：∵△P AF 与△PMF 的面积之比为15，∴|AP |=15|PM |，则AP →=16AM →， 设M （4，m ）（m ≠0），P （x 0，y 0），则（x 0+2，y 0）=16（6，m ），解得x 0＝﹣1，y 0=m 6．将其代入x 24+y 23=1，解得m ＝±9．∴M 的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M （4，m ），N （4，n ），P （x 0，y 0），若m ＝0，则P 为椭圆C 的右顶点，由P ，F ，Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点，不符合题意．∴m ≠0．同理n ≠0．直线AM 的方程为y =m 6（x +2）． 由{y =m 6(x +2)x 24+y 23=1消去y ，整理得（27+m 2）x 2+4m 2x +（4m 2﹣108）＝0． △＝（4m 2）2﹣4（27+m 2）（4m 2﹣108）＞0成立．由−2x 0=4m 2−10827+m 2，解得x 0=54−2m 227+m 2． ∴y 0=m 6(x 0+2)=18m 27+m 2． 得P （54−2m 227+m 2，18m 27+m 2）．当|m |＝3时，|n |＝3，54−2m 227+m 2=1，即直线PQ ⊥x 轴．由椭圆的对称性可得|MR |＝|FR |＝|NR |＝3． 又∵∠MRF ＝∠NRF ＝90°，∴∠MFR ＝∠FNR ＝45°．当|m |≠3时，|n |≠3，直线FP 的斜率k FP =18m 27+m 2−054−2m 227+m 2−1=6m 9−m 2，同理k FQ =6n 9−n 2． ∵P ，F ，Q 三点共线，∴6m9−m =6n9−n ，得mn ＝﹣9．在Rt △MRF 和Rt △NRF 中，tan ∠MFR =|MR||FR|=|m|3，tan ∠FNR =|FR||NR|=3|n|=|m|3， ∴tan ∠MFR ＝tan ∠FNR ．∵∠MFR ，∠FNR 均为锐角，∴∠MFR ＝∠FNR ．综上，若P ，F ，Q 三点共线，则∠MFR ＝∠FNR ．。
北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期期中考试高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．2．记命题，则为（）A．B．C．D．3．集合的真子集有（）个A．1B．2C．3D．44．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．B．C．D．5．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．6．“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．8．若函数的值域为，则函数的图象大致是（）A．B．{}12A x Z x=∈-≤<0A⊆0A∉3A∈1A-∈:0,3p x x∃>≥p⌝0,3x x∀><0,3x x∀≤<0,3x x∃≤≥0,3x x∃>< {}0,1,a b c，b ac a-<+2c ab<c cb a>b c a c<(0,)+∞1y xx=-y=2xy-=22y x x=-12x-<<12x>()f x(,1]-∞-5()(3)(2)2f f f-<<5(3)((2)2f f f<-<5(2)(3)()2f f f<<-5(2)()(3)2f f f<-<(0,1)xy a a a=>≠且(0,1]logaxC ．D ． 9．已知函数，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数的定义域为________．14．已知函数，则________．15．若在上是增函数，能够说明“在上也是增函数”是假命题的一个的解析式________．16．函数的值域为________．()21x f x x =--()0f x >(1,1)-(,1)(1,)-∞-+∞ (0,1)(,0)(1,+-∞∞ ）1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===b a c <<c b a <<c a b <<a c b <<()f x =R a [0,1][0,1)(0,1](0,1)A N *i N *∈1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩N *,A B i N *∈()0i A B ϕ= ()1i A B ϕ= N *,A B i N *∈()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ N *,A B i N *∈()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ 1()1f x x =-3()27log x f x x =+13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x R ()y xg x =R ()g x ()g x =221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩17．已知下列四个函数：．从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则________．18．已知函数．若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合．（Ⅰ）若，求集合（Ⅱ）若，求的取值范围．20．分别求下列关于的不等式的解集：（Ⅰ）；（Ⅱ）．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？22．已知函数．1,,ln ,x y x y y x y e x====()f x ()g x ()F x =()()f x g x +()F x =2,(),x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩0x 00()()f x f x -=-a {}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或2a =-()()R R B A ；I ððA B A = a x 2610x x --<2(2)20x a x a +--≤x y x x y ()2,f x x x a a R =--∈（I ）当时，直接写出函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值．23．已知是定义在[3，3]上的奇函数，当]时，． （I ）求在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①；②若，则，且时，．则称集合是“好集”．（I ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题：若，则必有；命题：若，且，则必有．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA二、填空题13．或写为14．2 15．（答案不唯一） 16． 17． 18．三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）20．（I ）（Ⅱ）时，解集为[2，]； 时，解集为； 时，解集为[，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为米．因此养殖池的总面积，2a =()f x 2a >()f x ()y f x =-[3,0]x ∈-1()()94x x a f x a R =+∈()y f x =1[1,2x ∈--11()34x x m f x -≤-m 0,1A A ∈∈,x y A ∈x y A -∈0x ≠1A x ∈A {}1,0,1B =-Q A ,x y A ∈x y A +∈A p ,x y A ∈xy A ∈q ,x y A ∈0x ≠y A x∈{}1x x ≠(,1)(1,)-∞+∞ x (1,+-∞）1x e x +1[2,4-(,4)(5,)-∞-+∞ 11(,)32-2a <-a -2a =-{}22a >-a -1500x 1500(3)(5)y x x=--因为，所以．所以定义域为．（Ⅱ），当且仅当，即时上式等号成立，当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．22．解：（1）当时，，，由二次函数的性质知，单调递增区间为（，1]，[2，）．或写为（，1），（2，）（Ⅱ）∵，[1，2]时，所以，当，即时，；当，即时，； ∴．23．（I ）因为是定义在[3，3]上的奇函数，[3，0]时，，所以，解得，所以（3，0]时，当时，，所以，又，即在上的解析式为，（Ⅱ）因为时，，所以可化为，整理得，150030,50x x->->3300x <<{}3300x x <<15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=45005x x=30x =x y 2a =(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩-∞+∞-∞+∞2a >x ∈2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+3122a <≤23a <≤min ()(2)26f x f a ==-322a >3a >min ()(1)3f x f a ==-min 26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩()y f x =-x ∈-1()()94x xa f x a R =+∈001(0)094a f =+=1a =-x ∈-11()94x x f x =-(0,3]x ∈[3,0)x -∈-11()9494x x x x f x ---=-=-()()49x x f x f x =--=-()y f x =(0,3]()49x xf x =-1[1,2x ∈--11()94x x f x =-11()34x x m f x -≤-11119434x x x x m --≤-13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭令，根据指数函数单调性可得，所以也是减函数．所以，所以，故实数的取值范围是[7，）．24．解：（I ）集合不是“好集”．理由是：假设集合是“好集”．因为，所以．这与矛盾．有理数集是“好集”．因为，对任意的，有，且时，．所以有理数集是“好集”．（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以．若，则，即．所以，即．（Ⅲ）命题均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”，任取，若中有0或1时，显然．下设均不为0，1．由定义可知：．所以，即．所以．由（Ⅱ）可得：，即．同理可得．若或，则显然．若且，则．所以．所以．由（Ⅱ）可得：．所以．综上可知，，即命题为真命题．若，且，则．13()334x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 11max 13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7m ≥m +∞B B 1,1B B -∈∈112B --=-∈2B -∉Q 0,1Q Q ∈∈,x y Q ∈x y Q -∈0x ≠1Q x∈Q A 0A ∈,x y A ∈0y A -∈y A -∈()x y A --∈x y A +∈,p q A ,x y A ∈,x y xy A ∈,x y 111,,1x A x x -∈-111A x x -∈-1(1)A x x ∈-(1)x x A -∈(1)x x x A -+∈2x A ∈2y A ∈0x y +=1x y +=2()x y A +∈0x y +≠1x y +≠2()x y A +∈2222()xy x y x y A =+--∈12A xy ∈11122A xy xy xy =+∈xy A ∈xy A ∈p ,x y A ∈0x ≠1A x ∈所以，即命题为真命题．1y y A x x =⋅∈q。
2021-2022汇文高二数学上学期期中试题(1)(2)
北京汇文中学2021-2022学年度第一学期期中考试试卷高二数学班级 学号 姓名一. 选择题（每题5分，共10小题）1.若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若α , β表示不同的平面，平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定3．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于y 轴的对称点为C ，则AC --→=( ） A ．(042)，，B ．)0,0,2(-C ．(040)，，D ．(202)-，，4.若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为13，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ． 3112D ．552-5.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）A. 2B. 1C.21 D. 不存在6. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x7. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A. 4B.94 C. 1 D.348．设椭圆C ：y 2＋x 2m 2＝1(0＜m ＜1)的两焦点分别为F 1，F 2，若在椭圆C 上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，1B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，129．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，|AF 1|＋|AF 2|＝4，则椭圆C 的离心率是( )A.12B.54C.23D.3210．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F 2的直线交椭圆于C ，D 两点．△F 1CD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为－14，则椭圆的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 24＋y 23＝1二.填空题（每题5分，共6小题） 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于直线 BD 吗? 填“是”或“不是”_________12. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =13. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.14.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .15. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.16.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
【解析】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
北京汇文中学2020-2021上学期期中考试高二数学一､选择题1. 已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C.12D. 不存在【答案】A 【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率. 【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--. 故选：A.2. 圆心为(3,2)-且过点(1,1)A -的圆的方程是（ ） A. 22(3)(2)5x y -+-= B. 22(3)(2)5x y ++-= C. 22(3)(2)25x y -+-= D. 22(3)(2)25x y ++-=【答案】D 【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案． 【详解】∵圆心为（﹣3，2）且过点A （1，﹣1），∴圆的半径5r ==， 则圆的方程为（x +3）2+（y ﹣2）2＝25． 故选D ．【点睛】本题考查圆的方程的求法，两点间距离，是基础的题型．3. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A. 4B.94C. 1D.34【答案】A【分析】由题意可得22,3a m b ==，则2223c a b m =-=-，再由离心率是12，可得314m m -=，从而可求出实数m 的值【详解】解：由题意可得22,3a m b ==，则2223c a b m =-=-，因为12c e a ==，所以2214c a =，所以314m m -=，解得4m =， 故选：A4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ）A.65B. 1C.85D. 2【答案】C【分析】设直线l 与圆O 交于,A B 两点，从点O 向直线AB 作垂线，垂足为D ，连结,OA OB ，由点到直线的距离公式，可求出OD ，再结合222AB OA OD=-，可求出答案.【详解】设直线l 与圆O 交于,A B 两点，从点O 向直线AB 作垂线，垂足为D ，连结,OA OB ，则2233534OD -==+，2298221255AB OA OD =-=-=. 故选：C.5. 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】A 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．6. 过点(1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. (0,]6πB. (0,]3πC. [0,]6πD. [0,]3π【答案】D 【分析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.【详解】由题意得直线l 斜率存在，设为k ，则直线l ：1(10y k x kx y +=∴-+-=，由直线l 与圆221x y +=21200k k ≤∴-≤∴≤≤从而倾斜角取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选D.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.7. 已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】B 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，可得124x x +=，由抛物线的定义可知122AF BF x x +=++，再结合AF BF AB +≥，可求出AB 的最大值. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=. 由抛物线的定义可知1226AF BF x x +=++=，由图可知AF BF AB +≥，即6AB ≤，当且仅当直线AB 过焦点F 时，AB 取得最大值6.故选：B. 8. 直线l ：ax +1ay ﹣1=0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，直线l 与圆O ：x 2+y 2=1的交点为C ，D ，给出下面三个结论：①∀a ≥1，S △AOB =12；②∃a ≥1，|AB |＜|CD |；③∃a ≥1，S △COD ＜12.其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】C 【分析】①当a ≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a ≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S △COD 12=sin ∠AOC 12≤，可得结论③正确．【详解】解：①当a ≥1时，把x ＝0代入直线方程可得y ＝a ，把y ＝0代入直线方程可得x 1a=， ∴S △AOB 12=⨯a 112a ⨯=，故结论①正确； ②当a ≥1时，|AB|=，故|AB |2＝a 221a +， 直线l 可化为a 2x +y ﹣a ＝0，圆心O 到l 的距离d ===，故|CD |2＝4（1﹣d 2）＝4（12211a a -+）， 假设|AB |＜|CD |，则|AB |2＜|CD |2，即a 221a+＜4（12211a a-+）， 整理可得（a 221a +）2﹣4（a 221a +）+4＜0，即（a 221a+-2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S △COD 12=|OA ||OC |sin ∠AOC 12=sin ∠AOC 12≤， 故∃a ≥1，使得S △COD 12＜，结论③正确．故选：C ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题．二､填空题9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a = 【答案】1或-1 【分析】直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可. 【详解】0a =时，不合题意；0a ≠时，由直线10x ay --=与直线y ax =平行可得直线斜率相等，即11a a a=⇒=±， 故答案为：1或-1.10. 双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34y x 【分析】令220169x y -=解得结果 【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.11. 已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =___________；直线l 的方程为___________. 【答案】 (1). 12(2). 210x y --= 【分析】易知直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由l 与圆相切，可建立等式关系，即可求出l 的方程，再由直线l 与直线10ax y +-=垂直，可建立斜率关系，即可求出a 的值. 【详解】由题意，圆22(1)(2)5x y ++-=的圆心为1,2，半径为5.若直线l 的斜率不存在，则直线l 为1x =，此时l 与圆不相切，不符合题意； 若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 为10kx y k --+=， 则22151k k k ---+=+，解得2k =，即直线l 为210x y --=，因为直线l 与直线10ax y +-=垂直，所以()21a ⨯-=-，即12a =. 故答案为：12；210x y --=.12. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.【答案】1【分析】求出双曲线的a，b，c，可设(2,0)F，可得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．【详解】双曲线22:13xC y-=的3a=，1b=，222c a b=+=，则可设(2,0)F，设双曲线的一条渐近线方程为33y x =，则F到渐近线的距离为23||31113d==+，故答案为：1．13. 已知1F、2F分别是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，P为直线32ax=上的点，21F PF是底角为30的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】3 4【详解】过点P作PA x⊥轴于点A，如图所示：由21F PF 是底角为30的等腰三角形得，21120PF F ∠=︒，所以260PF A ∠=︒，232a AF c =-，所以22122322PF AF a c F F c ==-==，所以34c a =，即离心率34e =，故答案为34．【 方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ; ②构造,a c 的齐次式，求出e ; ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; ④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据212PF F F =建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出,a c 之间的关系，求出离心率e ． 14. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =【分析】 设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据条件结合距离公式求出21m =，即可求得||OP . 【详解】由已知可得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭， |||AP PF =，222AP PF ∴=则22222211()2()2222m m m m ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，解得21m =， ∴2OP ===. . 三､解答题：15. 已知圆C ：x 2+y 2+10x+10y+34=0.（Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径； （Ⅱ）圆D 的圆心在直线x=-5上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程；（Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D 于E ，F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；（Ⅱ）(x+5)2+(y-12)2=169；（Ⅲ）x 2+y 2+5x-14y+24=0.试题分析：（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；（Ⅱ）设圆D 的半径为r ，圆心纵坐标为b ，由已知条件列出方程，求出r 与b ，由此能求出圆D 的方程；（Ⅲ）设(),M x y ，根据DM PM ⊥列出21215y y x x --⋅=-+且0,5x x ≠≠，化简可得到M 的轨迹方程.试题详细分析：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. （Ⅱ）设圆D 的半径为r ，圆心纵坐标为b ，由条件可得r 2=(r-1)2+52，解得r=13. 此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D 的方程为(x+5)2+(y-12)2=169. （Ⅲ）设M(x,y)，依题意有DM ⊥PM. 即21215y y x x --⋅=-+（x≠0且x≠-5）， 整理得x 2+y 2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意. 故所求点M 的轨迹方程为x 2+y 2+5x-14y+24=0.点睛：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设(,)M x y 是轨迹上的任意一点；②寻找动点(,)M x y 所满足的条件；③用坐标(,)x y 表示条件，列出方程0(),f x y =；④化简方程0(),f x y =为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.16. 已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【答案】（1）||AB =12t；（2）7+【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长． 【详解】（1）224y x ty x=+⎧⎨=⎩， 整理得()224410x t x t +-+=， 则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===12t；（2）由||AB =，=4t =-， 经检验，此时16320t ∆=->， 所以1215x x t +=-=， 由抛物线的定义，有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =所以AFB△的周长为7+【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.17. 已知椭圆22:14x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点. （1）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为32时，求线段OC 的长； （2）当△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.【答案】（1（2）【分析】 （1）先求出l 的方程，与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，结合韦达定理，可求出C 的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；（2）易知直线l 斜率存在，可表示出l 的方程，与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出AB 的表达式，及点O 到直线l 的距离d 的表达式，结合1·12OAB S d AB ==，可求出直线l 的斜率. 【详解】（1）因为直线l 过(0,2)-，斜率为32，所以l ：322y x =-. 联立2232214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到251260x x -+=. 由韦达定理，有121212565x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 设()00,C x y ，则120256x x x +==，003361222255y x =-=⨯-=-， 所以61,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OC ==. （2）由题意，可知直线l 斜率存在，设斜率为k ，则为l ：2y kx =-， 联立22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得到()224116120k x kx +-+=，由韦达定理，有12212216411241k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， O 到直线l 的距离为()2221d k -=+-， ()()()22221212121214AB x x y y k x x x x =-+-=+⋅+-=()()()2222222222216484116644811148414141k k k k k k k k k k -+-⎛⎫+⋅-=+⋅=+⋅ ⎪++⎝⎭+. 则()222222221164486448·12241411OAB k k S d AB k k k k ---==⨯⨯+⋅=+++-. 所以226448141k k -=+，化简得()22470k -=，解得7k =±， 所以直线l ：72y x =-或72y x =--. 18. 如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .（1）求直线PA 与AQ 的斜率之积；（2）若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直【答案】（1）12-；（2）证明见解+析【分析】（1）设()()1122,P x y A x y ,,，可得()11,Q x y --，分别表示出,PA AQ k k ，即可得到PA AQ k k ⋅的表达式，结合P ，A 都在椭圆上，可得222212121,122x x y y +=+=，代入PA AQ k k ⋅中，可求出答案；（2）易知12AQ PA k k =-，结合PQ ⊥PA ，即1PA k k =-，可得2AQ k k =，进而求出直线AQ 的方程，令0y =，可得得()112k y x x =+，结合P 在直线y =kx 上，可求出B 点的横坐标为1x x =，从而可知直线PB 与x 轴垂直.【详解】（1）设()()1122,P x y A x y ,,，则()11,Q x y --， 则21212121,PA AQ y y y y k k x x x x -+==-+，21212121·PA AQ y y y y k k x x x x -+⋅=-+， 因为P ，A 都在椭圆上，所以222212121,122x x y y +=+=. 所以()2212222221122222221212121112212·2PA AQ x x x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----. （2）因为212112AQ PA y y k x x k +==-+，又PQ ⊥PA ，即1PA k k =-， 所以2AQ k k =，所以直线AQ ：()112k y y x x +=+，令0y =，得()112k y x x =+， 因为P 在直线y =kx 上，所以11y kx =，代入得到B 点的横坐标为1x x =， 所以直线PB 与x 轴垂直.。
2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．直线l 过点P （﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝02．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线x4+y 2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝04．已知方程x 210−t+y 2t−4=1表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A ．（4，7）B ．（7，10）C ．（4，10）D ．（4，7）∪（7，10）5．已知圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣8y +7＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切6．抛物线y ＝x 2上的一动点M 到直线l ：x ﹣y ﹣1＝0距离的最小值是（ ） A ．3√28B ．38C ．34D ．3√247．直线l 过抛物线y 2＝2x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2＝3，则弦AB 的长是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．88．我们把离心率为黄金分割系数√5−12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则|PM ||AB |的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．3D ．510．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +m ，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ） A ．±2 B ．±√2 C ．±√3 D ．±311．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(13，23) B ．(12，1)C ．(23，1)D ．(13，12)∪(12，1)12．曲线C 是平面内与两个定点F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（ ） ①曲线C 过坐标原点； ②曲线关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于2； ④曲线C 与曲线x 24+y 23=1有且仅有两个交点．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝﹣1，则p ＝ ．14．已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y ＝±√33x ，则m ＝ ．15．圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ． 16．设P 为椭圆C ：x 27+y 23=1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为 ．17．若直线y ＝kx ﹣1与曲线y =−√1−(x −2)2有公共点，则k 的取值范围是 ．18．在平面直角坐标系中，定义d （S ，T ）＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|为两点S （x 1，y 1），T （x 2，y 2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ．（填序号） ①若A （0，0），B （1，1），则d （A ，B ）＝2；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O 与直线x ﹣y +3＝0上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最小值为3；④原点O 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最大值为6+√2． 三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（15分）在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y +1＝0，∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为（1，2）． （1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．20．（15分）设抛物线C 的方程为x 2＝y ，点M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0，−14)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系； （2）求证：直线AB 恒过定点． 21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，|AB |＝3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线P A ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，1），焦距为2√3．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．当|MN |＝2时，求k 的值．2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．直线l 过点P （﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝0解：直线l 过点P （﹣1，2），且倾斜角为45°， 则直线l 的斜率为k ＝tan45°＝1， 直线方程为y ﹣2＝1×（x +1）， 即x ﹣y +3＝0． 故选：D ．2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＝﹣2时，两直线方程分别为l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0与直线l 2：x ﹣y +4＝0满足，两直线平行，充分性成立．当a ＝1时，满足直线l 1：x +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +2y +4＝0平行，∴必要性不成立，∴“a ＝﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0平行”的充分不必要条件， 故选：A ． 3．直线x4+y 2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0解：直线x4+y 2=1在x ，y 轴上的截距分别为4，2，即A （4，0），B （0，2）则AB 的中点坐标为（2，1），且|AB |=2√5，∴以线段AB 为直径的圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5，即x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 故选：B ． 4．已知方程x 210−t+y 2t−4=1表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A ．（4，7）B ．（7，10）C ．（4，10）D ．（4，7）∪（7，10）解：∵方程x 210−t+y 2t−4=1表示的曲线是椭圆，∴{10−t ＞0t −4＞010−t ≠t −4，解得4＜t ＜10且t ≠7．∴t 的取值范围为（4，7）∪（7，10）． 故选：D ．5．已知圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣8y +7＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2＝1，圆心为（0，0），半径r ＝1，圆C 2：x 2+y 2﹣8y +7＝0，即x 2+（y ﹣4）2＝9，圆心为（0，4），半径R ＝3， 圆心距|C 1C 2|＝4＝R +r ，两圆外切， 故选：D ．6．抛物线y ＝x 2上的一动点M 到直线l ：x ﹣y ﹣1＝0距离的最小值是（ ） A ．3√28B ．38C ．34D ．3√24解：（法一）对y ＝x 2求导可得y ′＝2x 令y ′＝2x ＝1可得x =12∴与直线x ﹣y ﹣1＝0平行且与抛物线y ＝x 2相切的切点（12，14），切线方程为y −14=x −12即x ﹣y −14=0 由两平行线的距离公式可得所求的最小距离d =|−14+1|2=3√28（法二）设抛物线上的任意一点M （m ，m 2）M 到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =|m−m 2−1|√2=|m 2−m+1|√2=|(m−12)2+34|√2由二次函数的性质可知，当m =12时，最小距离d =34√2=3√28故选：A ．7．直线l 过抛物线y 2＝2x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2＝3，则弦AB 的长是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：∵抛物线y 2＝2x ，∴p ＝1，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1+x 2+p ＝3+1＝4， 故选：A ．8．我们把离心率为黄金分割系数√5−12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解：黄金椭圆C 中，e =ca =√5−12， b 2＝a 2﹣c 2＝a 2−(√5−12)2a 2=√5−12a 2，∴b 2a 2=√5−12， ∴b 2a 2=c a，即b 2＝ac ， ∴OB 2＝OA •OF ， 即OB OA=OF OB，∴△AOB ∽△BOF ， ∴∠ABO ＝∠BFO ，∴∠ABF ＝∠ABO +∠OBF ＝90°． 故选：A ．9．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则|PM ||AB |的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．3D ．5解：∵圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，∴（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，即圆心为（1，1），半径为2， 如图所示，连接AM ，BM ，四边形P AMB 的面积为12|PM|⋅|AB|，要使|PM ||AB |最小，则只需P AMB 的面积最小，即只需△P AM 的面积最小， ∵|AM |＝2， ∴只需|P A |最小，|AM |=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4，所以只需直线2x +y +2＝0上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离d =|2+1+2|√5=√5，此时PM ⊥l ，|P A |＝1，则此时四边形P AMB 的面积为2，即|PM ||AB |的最小值为4． 故选：A ．10．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +m ，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ） A ．±2B ．±√2C ．±√3D ．±3解：圆心C （0，0），半径r ＝2，则圆心C 到直线l 的距离d =|m|√1+k ，设弦长为a ，则由弦长公式可得d =√r 2−(a 2)2=√4−a 24， 若a 取最小值2时，则d 取最大值√4−1=√3， 即又d =|m|√1+k ，√1+k 2≥1，故d 的最大值为|m |=√3，所以m ＝±√3，故选：C ． 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(13，23) B ．(12，1)C ．(23，1)D ．(13，12)∪(12，1)解：①当点P 与短轴的顶点重合时， △F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ； ②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时， 以F 2P 作为等腰三角形的底边为例， ∵F 1F 2＝F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时， 存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c +2c ＞2a ﹣2c ， 由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞13．当e =12时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠12同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e ＞13且e ≠12时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P 这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（13，12）∪（12，1）故选：D ．12．曲线C 是平面内与两个定点F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（ ） ①曲线C 过坐标原点； ②曲线关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于2； ④曲线C 与曲线x 24+y 23=1有且仅有两个交点．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ），则|PF 1|•|PF 2|＝4，∴√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2=4，化为：[（x +1）2+y 2][（x ﹣1）2+y 2]﹣16＝0，①把x ＝y ＝0代入上述方程可得1﹣4＝0，此式不成立，因此曲线C 不过坐标原点，因此①不正确； ②把（﹣x ，﹣y ）代入上述方程中的（x ，y ），其方程不变，因此曲线关于坐标原点对称，因此②正确； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积=12|PF 1|•|PF 2|•sin ∠F 1PF 2=12×4×sin ∠F 1PF 2≤2，因此③正确； ④由曲线x 24+y 23=1，（x ∈[﹣2，2]），解得y 2＝3（1−x 24），并且代入曲线C ，化为x 2（x 2﹣32）＝0，x 2＝32舍去，∴x ＝0，解得y =±√3，可得曲线C 与曲线x 24+y 23=1有且仅有两个交点（0，±√3），因此④正确．综上可得：只有②③④正确． 故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝﹣1，则p ＝ 2 ． 解：由抛物线y 2＝2px ，得准线方程为x =−p2， 由题意，−p2=−1，得p ＝2． 故答案为：2．14．已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y ＝±√33x ，则m ＝ ﹣3 ．解：双曲线y 2+x 2m =1化为标准方程可得y 2−x 2−m =1， 所以m ＜0，双曲线的渐近线方程y ＝±√−mx ，又双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y ＝±√33x ，所以√−m=√33，解得m ＝﹣3． 故答案为：﹣3．15．圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 90° ． 解：当x ＝0时，得（y ﹣2）2＝4，解得y ＝0或y ＝4， 则AB ＝4﹣0＝4， 半径R =√8=2√2，∵OA 2+OB 2＝（2√2）2+（2√2）2＝8+8＝16＝（AB ）2， ∴△AOB 是直角三角形， ∴∠AOB ＝90°，即弦AB 所对的圆心角的大小为90°， 故答案为：90° 16．设P 为椭圆C ：x 27+y 23=1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为 （x +2）2+y 2＝28 ．解：∵P 为椭圆C ：x 27+y 23=1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PF 2|=2a =2√7，|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PQ|=|F 1Q|=2√7，∴Q 的轨迹是以F 1（﹣2，0）为圆心，2√7为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝28． 故答案为：（x +2）2+y 2＝28．17．若直线y ＝kx ﹣1与曲线y =−√1−(x −2)2有公共点，则k 的取值范围是 [0，1] ．解：曲线y =−√1−(x −2)2表示圆心为（2，0），半径为1的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx ﹣1为恒过（0，﹣1）点的直线系，根据题意画出图形，如图所示：则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．18．在平面直角坐标系中，定义d （S ，T ）＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|为两点S （x 1，y 1），T （x 2，y 2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ①③④ ．（填序号）①若A （0，0），B （1，1），则d （A ，B ）＝2；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O 与直线x ﹣y +3＝0上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最小值为3；④原点O 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最大值为6+√2． 解：对于①：坐标代入d （A ，B ）＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|＝|0﹣1|+|0﹣1|＝2，故①对．对于②：到原点的“折线距离”不大于1的点的集合{（x ，y ）||x |+|y |≤1}，如图：构成的区域面积为2×12×2×1＝2，故②不正确．对于③：设M （x ，x +3），则d （O ，M ）＝|x |+|x +3|={2x +3，x ≥03，−3＜x ＜0−2x −3，x ≤−3，函数图像如下：则d （O ，M ）最小值为3，故③正确；对于④：因为圆（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝1表示以（2，4）为圆心，1为半径的圆，设M （x ，y ），则d （O ，M ）＝|x |+|y |＝x +y ，令z ＝x +y ，即x +y ﹣z ＝0， 所以√2≤1，解得6−√2≤z ≤6+√2，即d （O ，M ）最大值为6+√2，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（15分）在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y +1＝0，∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为（1，2）．（1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．解：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点，由{x −2y +1=0y =0得{x =−1y =0，故A （﹣1，0）． 由k AC ＝﹣k AB ＝﹣1，所以AC 所在直线方程为y ＝﹣（x +1），BC 所在直线的方程为y ﹣2＝﹣2（x ﹣1），由{y =−(x +1)y −2=−2(x −1)，得C （5，﹣6）． （2）由（1）知，AC 所在直线方程x +y +1＝0，所以l 所在的直线方程为（x ﹣1）﹣（y ﹣2）＝0，即x ﹣y +1＝0．20．（15分）设抛物线C 的方程为x 2＝y ，点M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0，−14)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点．解：（1）当M 的坐标为(0，−14)时，不妨设过M 点的切线方程为y =kx −14，联立{y =kx −14x 2=y，消去y 并整理得x 2−kx +14=0， 令Δ=k 2−4×14=0，解得k ＝±1，代入切线方程中，解得B(12，14)，A(−12，14)，因为AB 的中点N(0，14)，且|NA|=|NB|=|NM|=12，所以过M ，A ，B 三点的圆的圆心为N(0，14)，半径为12， 则圆的方程为x 2+(y −14)2=14．因为圆心坐标为N(0，14)，半径为12， 所以圆N 与直线l ：y =−14相切；（2）证明：已知抛物线方程为y ＝x 2，可得y ′＝2x ，不妨设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则过点A （x 1，y 1）的切线斜率为k ＝2x 1，此时切线方程为y −x 12=2x 1(x −x 1)，即y =2x 1x −x 12， 又切线过点M （x 0，﹣m ），所以−m =2x 1x 0−x 12，①即﹣m ＝2x 1x 0﹣y 1，同理得过点B （x 2，y 2）的切线为y =2x 2x −x 22，又切线过点M （x 0，﹣m ），所以−m =2x 2x 0−x 22，②即﹣m ＝2x 2x 0﹣y 2，因为点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均满足﹣m ＝2xx 0﹣y ，所以直线AB 的方程为﹣m ＝2xx 0﹣y ，又M （x 0，﹣m ）为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，则2xx 0＝y ﹣m 对任意x 0成立，可得x ＝0，y ＝m ，故直线AB 恒过定点（0，m ）．21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，|AB |＝3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线P A ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意得：{ 2b 2a =3，c a =12，a 2=b 2+c 2，， 解得：a =2，b =√3，c =1．所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；（ II ）依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线l ：x ＝my +1（m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 假设存在点P ，设P （x 0，0），由题设，x 0≠1，且x 0≠x 1，x 0≠x 2．设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1=y 1x 1−x 0，k 2=y2x 2−x 0． 因为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在x ＝my +1上，故x 1＝my 1+1，x 2＝my 2+1．而x 轴上任意点到直线P A ，PB 距离均相等等价于“PF 平分∠APB ”，继而等价于k 1+k 2＝0．则k 1+k 2=y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=x 1y 2+x 2y 1−x 0(y 1+y 2)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=2my 1y 2+(1−x 0)(y 1+y 2)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=0． 联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x ，得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 有y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 则k 1+k 2=0=−18m−6m+6mx 0(3m 2+4)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=−24m+6mx 0(3m 2+4)(x 1−x 0)(x 2−x 0)， 即﹣4m +mx 0＝0，故x 0＝4或m ＝0（舍）．当直线l 的斜率为零时，P （4，0）也符合题意．故存在点P （4，0），使得x 轴上任意点到直线P A ，PB 距离均相等．22．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，1），焦距为2√3．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．当|MN |＝2时，求k 的值．解：（Ⅰ）由题意得，{b =12c =2√3，∴b ＝1，c =√3，a ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 2＝1．（Ⅱ）设过点P （﹣2，1）的直线为y ﹣1＝k （x +2），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），联立得{y −1=k(x +2)x 24+y 21=1，即（1+4k 2）x 2+（16k 2+8k ）x +16k 2+16k ＝0， ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k 2+8k ）]2﹣4（1+4k 2）（16k 2+16k ）＞0，∴k ＜0，由韦达定理得x 1+x 2=−16k 2+8k 1+4k 2，x 1•x 2=16k 2+16k 1+4k 2， ∵k AB =y 1−1x 1，∴直线AB 为y =y 1−1x 1x +1， 令y ＝0，则x =x 11−y 1，∴M （x 11−y 1，0），同理N （x 21−y 2，0）， ∴|MN |＝|x 11−y 1−x 21−y 2|＝|x 1−k(x 1+2)−x 2−k(x 2+2)|＝|1k （x 2x 2+2−x 1x 1+2）| ＝|1k •2(x 2−x 1)(x 2+2)(x 1+2)|＝|1k •2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]|＝|2k √(−16k 2+8k 1+4k 2)2−4(16k 2+16k)1+4k 216k 2+16k 1+4k 2−2(16k 2+8k)1+4k 2+4|＝2，∴|2k •√−64k 4|＝2，∴|√−k k|=12， ∴k ＝﹣4．。
北京汇文中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析
北京汇文中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．2. 设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，I为的内心，若，则该椭圆的离心率是( )A． B． C． D．参考答案：A3. 互不相等的三个正数a、b、c成等差数列，又x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，那么x2、b2、y2三个数（）A．成等差数列，非等比数列B．成等比数列，非等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不成等差数列，又不成等比数列参考答案：A【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】解法1：对于含字母的选择题，可考虑取特殊值法处理．比如a=1，b=2，c=3即可得结论．解法2：因为就研究三项，所以可用等差中项和等比中项的定义来推导即可．【解答】解法1：取特殊值法令a=1，b=2，c=3?x2=2，b2=4，y2=6．解法2：b2﹣x2=b2﹣ab=b（a﹣b），y2﹣b2=bc﹣b2=b（c﹣b）a﹣b=c﹣b?b2﹣x2=y2﹣b2，故x2、b2、y2三个数成等差数列．若x2、b2、y2三个数成等比数列，则与题意矛盾．故选 A．【点评】本题主要考查等差中项：x，A，y成等差数列?2A=x+y，等比中项：x、G、y成等比数列?G2=xy，或G=±．4. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在参考答案：A【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】应先从等比数2列入手，利用通项公式求出公比q，然后代入到a m a n=16a12中，可得到关于m，n的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．所以，q=2因为a m a n=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选A5. “1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A．考点：充分必要条件的判断．【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题．对于命题“若,则”是真命题,我们说,并且说是的充分条件，是的必要条件，命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键．6. 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点（－2，）到焦点的距离是5，则的值是（）（A）4 (B) 4 (C)2 (D) 2参考答案：D 7. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（）A． B． C．D．参考答案：B略8. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，别且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是DABC参考答案：C9. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心B ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好参考答案：D对于A ，回归直线一定过样本中心，正确；对于B ，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适。
2023-2024学年北京东城区汇文中学高一(上)期中数学试题及答案
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高一年级 数学学科本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题（每题5分，共60分）1. 下列关系中正确的是（ ）A. 0∈∅B. {0}∈∅C. 0N ∈D. {0}N ∈2. 已知集合{1}A x N x =∈>，{04}B x x =<<，则A B =（ ） A. {14}x x << B. {0}x x > C. {23}，D. {123}，， 3. 命题p ：21,02x R x x ∀∈++>，则命题p 的否定是（ ） A. 21,02x R x x ∃∈++≤ B. 21,02x R x x ∃∈++> C. 21,02x R x x ∀∈++≤ D. 21,02x R x x ∀∈++> 4.下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A. 13y x = B. 1()3x y = C. 23y x = D. 2()3x y = 5.若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A. 22ac bc > B. 11a b < C. 22a b > D. a c b c +>+ 6.若a 、b 均为非零实数，则不等式2b a a b +≥成立的一个充要条件为（ ） A. 0ab > B. 0ab ≥ C.0ab < D. 0ab ≤ 7. 函数()3xx f x x =⋅的图象大致为（ ）A. B. C. D.8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，(7)0f -=，则下列结论错误的是（ ）A. ()f x 在(,0)-∞上单调递减B. ()f x 的图象与x 轴只有2个公共点C. (8)0f <D.不等式()0f x >的解集为(,7)(0,7)-∞-9. 已知函数2()2f x x bx c =++（b c ，为实数），(10)(12)f f -=，若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211x x +的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 1210. 已知集合{2,1}A =-，{2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A. {1}-B. {2}C. {10,2}-,D. {1,2}-11. 若函数223,0()(2),0x x f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩ 的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A.（0，1]B.（0，1）C.（1，4）D.（2，4）12. 已知函数2()(1)22x f x m x nx =+⋅++，集合{()0,}A x f x x R ==∈，集合{[()]0,}B x f f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [1,4]-B. [1,1)-C. [3,5]-D. [0,4)二、填空题（每题5分，共30分）13.函数1()24f x x =-的定义域是______________ 14. 计算：13331()log 5log 1527+-=________ 15. 已知集合2{21,,0}A a a =-，{1,5,9}B a a =--，若满足{9}A B =，则实数a 的值为_________16. 不等式231x x ≥-的解集是__________ 17. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为1t S a +=（0a >，且1a ≠），图象如图所示．则下列结论：① 浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；② 浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的14；③ 浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50%；④ 浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到7平方米所经过的时间少．其中所有正确结论的序号是 ________18. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.1]1=．已知21()[]1x f x x -=+，(,3)(2,)x ∈-∞-+∞，则函数()f x 的值域为____________三、解答题（共60分）19. 已知二次函数2()21f x ax ax =-+（1）求()f x 的对称轴；（2）若(1)7f -=，求a 的值及()f x 的最值．20. 已知函数()22x x a f x =- 是定义在R 上的奇函数． （1）求(1)f 的值；（2）若[0,3]x ∈时，不等式2(2)()0f t x f x -+≤恒成立，求实数t 的取值范围．21. 设函数1()2x f x x +=- （3x >） （1）指出()f x 在(3,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）若()0f x a -<在(3,)+∞上有解，求a 的取值范围．22. 已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数，满足下列两个条件： ① 当0x <时，()0f x <恒成立； ② 对任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，都有()()()()y f x f y f xy f x=+ ． （1）求(1)f 和(1)f -；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明；（3）若()f x 在区间(0,1]上单调递减，直接写出关于x 的不等式21(1)()3f x x f ++≤的解集．23. 设A 是实数集的非空子集，称集合{,}B uv u v A u v =∈≠且为集合A 的生成集．（1）当{2,3,5}A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{2,3,5,6,10,16}B =，并说明理由．北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高一年级 数学学科答案：选择题：CCAAA ADBBC BB填空题：13. [1,2)(2,)-+∞ 14. 23- 15. 3-16. (1,3]17. ②④18. {1,2,3}19. （1）2()21f x ax ax =-+2(1)1a x a =-+-∴对称轴为：1x =（2）∵(1)7f -=，(1)217f a a -=-+=∴解得2a = ∴2()241f x x x =-+22(1)1x =--，∴函数()f x 的最小值为(1)1f =-，无最大值20. （1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0f = 即00202a -=，解得1a =，∴1()22x x f x =-， x R ∀∈，则11()22()22x x x x f x f x ---=-=-=-，符合题意， 3(1)2f = （2）解：因为1()22x x f x =- ， 所以()f x 在定义域上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以2(2)()0f t x f x -+≤在[0,3]x ∈恒成立，等价于2(2)()f t x f x -≤-即2(2)()f t x f x -≤-在[0,3]x ∈上恒成立， 即22t x x -≤-在[0,3]x ∈上恒成立，即22t x x ≤-+，[0,3]x ∈恒成立， 令22()2(1)1g x x x x =-+=--+，[0,3]x ∈，()t g x ≤的最小值 当[0,3]x ∈时，min ()(3)3g x g ==-∴3t ≤-21. （1）()f x 在(3,)+∞上单调递减，证明： 123x x ∀<<，1221121212113()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- ∵123x x <<，∴210x x ->，120x ->，220x ->∴12()()f x f x >∴()f x 在(3,)+∞上单调递减（2）∵3()12f x x =+-（3x >）， ∴()(1,4)f x ∈∵()0f x a -<在(3,)+∞上有解，∴1a >22. （1）解：令1x y ==，得2(1)2(1)f f = ∴(1)0f =或(1)2f =若(1)0f =，取1x y ==-，则2(1)2(1)0f f -==得(1)0f -=， 与0x <时，()0f x <矛盾，故(1)0f =舍去．∴(1)2f =， 2(1)2(1)4f f -==，又0x <时，()0f x <，∴(1)2f -=-（2）证明：取y x =，1x =-，得(1)()()()f f x f x f x -=-+-则2()2()f x f x -=-，∴()()f x f x =--，函数()f x 为奇函数．（3）[2,1]-23. （1）{6,10,15}B =（2）设12345{,,,,}A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<< ∵12131415253545a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<∴B 中元素个数至少有7个，当12345{2,2,2,2,2}A =时，3456789{2,2,2,2,2,2,2}B =，此时B 中有7个元素 所以生成集B 中元素个数的最小值为7．（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{,,,}A a b c d =，使其生成集{2,3,5,6,10,16}B =不妨设0a b c d <<<<，则ab ac bc <<，ab ac ad <<，bc bd cd <<，ad bd cd <<则有2ab =①，3ac =②，10bd =③，16cd =④，由①④32abcd =，由②③得30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{2,3,5,6,10,16}B =。
北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π4或3π42．已知直线l 经过点()1,0P ，且法向量()1,2v =，则l 的方程为（）A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．210x y +-=D ．210x y --=3．x 轴与圆()()22123x y -++=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．已知()4,5P 与()2,7Q -关于直线l 对称，则下列说法中错误的是（）A ．直线l 过P ,Q 的中点B ．直线PQ 的斜率为13C ．直线l 的斜率为3D ．直线l 的一个方向向量的坐标是()1,35．已知双曲线的两条渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（）AB ．2C D 26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若→→=AB a ，BC b →→=，1AA c →→=，则BM→可表示为（）A ．1122a b c→→→-++B ．1122a b c→→→++C ．1122a b c→→→--+D ．1122a b c→→→-+7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若12F PF 是钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎪⎝⎭B ．20,2⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8．过椭圆2219x y +=的左焦点作直线和椭圆交于A 、B 两点，且23AB =，则这样直线的条数为（）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．3210．已知直线()1:0R l kx y k +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)x y +++2=上的动点，则A 的最大值为（）A ．5+B ．8C ．6D ．711．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以相关的代数问题，可以转化为点(),A x y 与点(),B a b 之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程6=的解是（）A ．4B ．4±C ．5D ．5±12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，给出下列结论：①//DP 平面11AB D ；②三棱锥11D A DP -的体积为定值；③1DP A C ⊥；④在平面11ABC D 内，若以点A ，1D 为焦点的椭圆M 过点P ，则椭圆M 的离心率为定值.其中所有正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知向量(1,0,1)a =- ，写出一个与向量a垂直的非零向量的坐标.14．抛物线22x y =的焦点坐标是．15．已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为.16．已知圆224C x y +=：与圆224240D x y x y +-++=：相交于A ，B 两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为，公共弦AB 的长为．17．设1F ，2F 分别是双曲线2214yx -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅= ，则12PF PF +=，12PF PF += ；18．在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面α截圆柱面，当圆柱的轴与平面α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球1O ，2O 嵌入圆柱内，使它们分别位于平面α的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面α相切于1F ，2F 两点，12O O 与12F F 交于点O .过截线上的任意一点P 作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点M ，N （如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且M 就是长轴长.请将下述证明补充完整.证明：因为两球和平面α分别相切于1F ，2F 两点，那么对于每个球来说，球外一点P 向球作切线，切线长相等，即1PF PM =，2PF PN =，三、解答题19．已知平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()1,4A -，()3,0B -，()1,3C .(1)求边C 所在直线的方程；(2)求四边形ABCD 的面积.20．已知圆C 的圆心在直线20x y +=上，且过两点(2,1),(4,1)A B -．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线30x y a -+=相切，求a 的值．21．设直线l 与椭圆222:14x y C b+=相交于A ，B 两点，已知点()0,1A .(1)直接写出椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 的斜率存在，求弦长AB 关于斜率k 的表达式，并化简；(3)若设点B 的坐标为(),m n ，求弦长AB 关于n 的表达式，并化简；(4)直接写出弦长AB 的最大值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，2,1,,PD AD PD DA PD DC ==⊥⊥，底面ABCD 为正方形，,M N 分别为,AD PD 的中点．(1)求证：PA ∥平面MNC ；(2)求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值；(3)求点B 到平面MNC 的距离．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点⎛- ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，定点(2,0)P ，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，试探究在x 轴上是否存在一定点M ，使直线BQ 恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.。
北京市2020学年高二数学上学期期中试题A卷
第一学期期中联考试卷 高二数学（A 卷）考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知()e =x f x ，则(0)f '=A ．0B ．e1C ．1D ．e2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b >B ．2ab a >C ．2b ab >D ．a b <3．若等差数列{}n a 满足1320+=a a ，2440+=a a ，则公差d 等于A ．5B ．10C ．15D ．204．命题“对任意∈x N ，都有0≥x ”的否定是A ．存在∉x N ,使得0x <B ．存在∈x N ,使得0≥xC ．存在∈x N ,使得0x <D ．对任意∈x N ,都有0x <5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12()n n a a n +=∈N ，则5S 等于A ．30B ．31C ．62D ．646．按数列的排列规律猜想数列23，45-，87，16-，…的第10项是 A ．51219C ．102421D ．102421-7．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象 如图所示，设1212()()-=-f x f x k x x ，则下列不等式正确的是A ．12()()''<<k f x f xB ．12()()''<<f x k f xC ．21()()''<<f x f x kD ．12()()''<<f x f x k8. 已知函数()f x 在R 上可导，“0x =是函数()y f x =的极值点”是“(0)=0f '”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：若数列{}n x 满足12=x ，且对任意*∈n N ，点1(,)+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则2020=x A ．2B ．4C ．7D ．810．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，那么下列说法中正确的是A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．函数()()f x g x -有两个极值点C ．对于任意0x >()()≥f x g x 恒成立D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
2020-2021学年北京市汇文中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市汇文中学高二（上）期中数学试卷试题数：18，总分：01.（单选题，3分）已知A（-1，-3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A.2B.1C. 12D.不存在2.（单选题，3分）圆心为（-3，2）且过点A（1，-1）的圆的方程是（）A.（x-3）2+（y-2）2=5B.（x+3）2+（y-2）2=5C.（x-3）2+（y-2）2=25D.（x+3）2+（y-2）2=253.（单选题，3分）焦点在x轴上的椭圆x2m +y23=1的离心率是12，则实数m的值是（）A.4B. 94C.1D. 344.（单选题，3分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y-3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A. 65B.1C. 85D.25.（单选题，3分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|= 54x0，则x0等于（）A.1B.2C.4D.86.（单选题，3分）过点P （- √3 ，-1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.（0， π6 ] B.（0， π3 ] C.[0， π6 ] D.[0， π3 ]7.（单选题，3分）已知抛物线y 2=4x 的弦AB 中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（ ） A.1 B.3 C.6 D.128.（单选题，3分）直线l ：ax+ 1a y-1=0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，直线l 与圆O ：x 2+y 2=1的交点为C ，D ，给出下面三个结论：① ∀a≥1，S △AOB = 12 ； ② ∃a≥1，|AB|＜|CD|； ③ ∃a≥1，S △COD ＜ 12 ． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ② ③9.（填空题，3分）已知直线x-ay-1=0与直线y=ax 平行，则实数a=___ ． 10.（填空题，3分）双曲线 x 216 - y 29 =1的渐近线的方程为___ ．11.（填空题，3分）已知过点M （1，1）的直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=5相切，且与直线ax+y-1=0垂直，则实数a=___ ；直线l 的方程为___ ．12.（填空题，3分）已知F 为双曲线C ： x 23 -y 2=1的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为___ ．13.（填空题，3分）设F 1、F 2是椭圆E ： x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为___ ．14.（填空题，3分）已知点 A (−12，0) ，抛物线y 2=2x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|AP|= √2 |PF|，则|OP|=___ ．15.（问答题，0分）已知圆C ：x 2+y 2+10x+10y+34=0． （Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（Ⅲ）过点P（0，2）的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程．16.（问答题，0分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3 √5，求△AFB的周长．+y2=1，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，17.（问答题，0分）已知椭圆W：x24O为坐标原点．时，求线段OC的长；（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为32（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．+y2=1交于P，Q两点，过点P的18.（问答题，0分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：x22直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为A．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．2020-2021学年北京市汇文中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：01.（单选题，3分）已知A（-1，-3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A.2B.1C. 12D.不存在【正确答案】：A【解析】：根据两点坐标求出直线AB的斜率即可．=2，【解答】：解：直线AB的斜率k= 5−(−3)3−(−1)故选：A．【点评】：此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．2.（单选题，3分）圆心为（-3，2）且过点A（1，-1）的圆的方程是（）A.（x-3）2+（y-2）2=5B.（x+3）2+（y-2）2=5C.（x-3）2+（y-2）2=25D.（x+3）2+（y-2）2=25【正确答案】：D【解析】：由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】：解：∵圆心为（-3，2）且过点A（1，-1），∴圆的半径r=√(−3−1)2+(2+1)2=5，则圆的方程为（x+3）2+（y-2）2=25．故选：D．【点评】：本题考查圆的方程的求法，是基础的会考题型．3.（单选题，3分）焦点在x轴上的椭圆x2m +y23=1的离心率是12，则实数m的值是（）A.4B. 94C.1D. 34【正确答案】：A【解析】：利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出m的值．【解答】：解：焦点在x轴上的椭圆x 2m +y23=1，可知a2=m，b2=3，c2=m-3，椭圆x 2m +y23=1的离心率是12，可得m−3m =14，解得m=4．故选：A．【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．4.（单选题，3分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y-3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A. 65B.1C. 85D.2【正确答案】：C【解析】：根据直线和圆的位置关系结合弦长公式即可得到结论．【解答】：解：圆心到直线的距离d=√32+42=35，则直线l被圆O所截的弦长为2√r2−d2 = 2√1−(35)2=2√1625=2×45= 85，故选：C．【点评】：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据圆心到直线的距离结合弦长公式是解决本题的关键．5.（单选题，3分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|= 54x0，则x0等于（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：A【解析】：利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】：解：抛物线C：y2=x的焦点为F（14，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|= 54x0，∴ 5 4 x0=x0+ 14，解得x0=1．故选：A．【点评】：本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．6.（单选题，3分）过点P（- √3，-1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.（0，π6]B.（0，π3]C.[0，π6]D.[0，π3]【正确答案】：D【解析】：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得√3k−1|√k2+1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】：解：由题意可得点P（- √3，-1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+ √3），即 kx-y+ √3 k-1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得√3k−1|√k2+1≤1，即 3k2-2 √3k+1≤k2+1，解得0≤k≤ √3，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，π3]，【点评】：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．7.（单选题，3分）已知抛物线y 2=4x 的弦AB 中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（ ） A.1 B.3 C.6 D.12【正确答案】：C【解析】：由题意，设直线AB 的方程为y=kx+b ，代入抛物线y 2=4x ，再结合弦长公式|AB|= √1+k 2 |x 1-x 2|表示出|AB|，把弦长用引入的参数表示出来，再由中点的横坐标为2，研究出参数k ，b 的关系，使得弦长公式中只有一个参数，再根据其形式判断即可得出最值．【解答】：解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4，令直线AB 的方程为y=kx+b ，代入抛物线y 2=4x 得k 2x 2+2（kb-2）x+b 2=0， 故有x 1+x 2= 2(2−kb )k 2 ，x 1x 2= b 2k 2， 故有4= 2(2−kb )k 2 ，解得b= 2−2k 2k ，即x 1x 2= 4−8k 2+4k 4k 4， 又|AB|= √1+k 2 |x 1-x 2|= √1+k 2 √16−4×4−8k 2+4k 4k 4， =4 √1+k 2 √2k 2−1k 4=4 √2+[(−1k 2−12)2+14] ≤4× √94 =6．故|AB|的最大值为6， 故选：C ．【点评】：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是用弦垂公式表示出弦长，再结合题设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数，利用求最值的方法求出最值．本题比较抽象，难点在二把弦长用参数表示出来之间，需要做大量的运算，做题时要有耐心，平时要注意提高符号运算能力．8.（单选题，3分）直线l ：ax+ 1a y-1=0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，直线l 与圆O ：x 2+y 2=1的交点为C ，D ，给出下面三个结论：① ∀a≥1，S △AOB = 12 ； ② ∃a≥1，|AB|＜|CD|； ③ ∃a≥1，S △COD ＜ 12 ． 其中，所有正确结论的序号是（ ）B. ② ③C. ① ③D. ① ② ③ 【正确答案】：C【解析】： ① 当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论 ① 正确； ② 当a≥1时，反证法可得结论 ② 错误； ③ 由三角形的面积公式可得S △COD = 12 sin∠COD≤ 12 ，可得结论 ③ 正确．【解答】：解： ① 当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a ，把y=0代入直线方程可得x= 1a ，∴S △AOB = 12 ×a× 1a = 12 ，故结论 ① 正确；② 当a≥1时，|AB|= √a 2+1a 2 ，故|AB|2=a 2+ 1a 2 ， 直线l 可化为a 2x+y-a=0，圆心O 到l 的距离d= √a 4+1=a √a 4+1=1√a 2+1a2，故|CD|2=4（1-d 2）=4[1-（a 2+ 1a 2 ）]， 假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a 2+ 1a 2 ＜4（1-1a 2+1a2），整理可得（a 2+ 1a 2 ）2-4（a 2+ 1a 2 ）+4＜0，即（a 2+ 1a 2 -2）2＜0， 显然矛盾，故结论 ② 错误；S △COD = 12 |OD||OC|sin∠COD= 12 sin∠COD≤ 12 ， 故∃a≥1，使得S △COD ＜ 12 ，结论 ③ 正确． 故选：C ．【点评】：本题考查直线和圆的位置关系，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题． 9.（填空题，3分）已知直线x-ay-1=0与直线y=ax 平行，则实数a=___ ． 【正确答案】：[1]1或-1【解析】：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．【解答】：解：当a=0时，第二个方程无意义， 故a≠0，故直线x-ay-1=0可化为 1a x- 1a ，由直线平行可得a= 1a ，解得a=±1 故答案为：1或-1【点评】：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题． 10.（填空题，3分）双曲线 x 216 - y 29 =1的渐近线的方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=± 34 x【解析】：根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a 、b 的值以及焦点的位置，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【解答】：解：根据题意，双曲线的方程为 x 216−y 29=1 ，其中a=4，b=3，其焦点在x 轴上， 其双曲线的渐近线方程为： y =±34x ； 故答案为： y =±34x ．【点评】：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线渐近线方程的求法．11.（填空题，3分）已知过点M （1，1）的直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=5相切，且与直线ax+y-1=0垂直，则实数a=___ ；直线l 的方程为___ ． 【正确答案】：[1] 12 ; [2]2x-y-1=0【解析】：由题意判断点在圆上，求出M 与圆心连线的斜率，可得a 的值，与直线l 的方程．【解答】：解：因为点M （1，1）满足圆（x+1）2+（y-2）2=5的方程，所以M 在圆上， 又过点M （1，1）的直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=5相切，且与直线ax+y-1=0垂直， 所以切点与圆心连线与直线ax+y-1=0平行，所以直线ax+y-1=0的斜率为：-a= 2−1−1−1 =- 12 ，所以a= 12 ． 直线l 的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0 故答案为： 12 ，2x-y-1=0．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力． 12.（填空题，3分）已知F 为双曲线C ： x 23 -y 2=1的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：求出双曲线的a，b，c，可设F（2，0），设双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】：解：双曲线C：x 23-y2=1的a= √3，b=1，c= √a2+b2 =2，则可设F（2，0），设双曲线的一条渐近线方程为y= √33x，则F到渐近线的距离为d= |2√33|√1+13=1，故答案为：1．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．13.（填空题，3分）设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为___ ．【正确答案】：[1] 34【解析】：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x= 3a2上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】：解：设x= 3a2交x轴于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x= 3a2上一点，∴2（3a2-c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e= ca = 34故答案为：34【点评】：本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．14.（填空题，3分）已知点A(−12，0)，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|= √2 |PF|，则|OP|=___ ．【正确答案】：[1] √52【解析】：求得抛物线的焦点F，设P（12m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|= √2 |PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．【解答】：解：抛物线y2=2x的焦点为F（12，0），设P（12m2，m），由|AP|= √2 |PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（12 m2+ 12）2+m2=2[（12m2- 12）2+m2]，化简得m4-2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|= √14m4+m2 = √14+1 = √52．故答案为：√52．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．15.（问答题，0分）已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0．（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（Ⅲ）过点P（0，2）的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标与半径；（Ⅱ）由题意设圆D 方程为（x+5）2+（y+b ）2=r 2，列关于b ，r 的方程组，求解得答案； （Ⅲ）设M （x ，y ），由DM⊥PM 列关于x ，y 的关系式，化简可得M 的轨迹方程．【解答】：解：（Ⅰ）由圆C ：x 2+y 2+10x+10y+34=0，得（x+5）2+（y+5）2=16． ∴圆C 的圆心坐标为C （-5，-5），半径r=4；（Ⅱ）设圆D 方程为（x+5）2+（y+b ）2=r 2，则 {|b −5|=4+r b 2+25=r 2，解得b=-12，r=13． ∴圆D 的方程为（x+5）2+（y-12）2=169；（Ⅲ）设M （x ，y ），依题意有DM⊥PM ，即 y−2x •y−12x+5=−1 （x≠0且x≠-5）．整理得：x 2+y 2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）．当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意．∴弦EF 的中点M 的轨迹方程为x 2+y 2+5x-14y+24=0．【点评】：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．16.（问答题，0分）已知抛物线W ：y 2=4x 的焦点为F ，直线y=2x+t 与抛物线W 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t 的函数；（Ⅱ）若|AB|=3 √5 ，求△AFB 的周长．【正确答案】：【解析】：（I ）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（II ）运用抛物线的定义和（I ）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB 的周长．【解答】：解：（I ）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由 {y 2=4x y =2x +t，消元化简得4x 2+（4t-4）x+t 2=0，则 {△=16t 2−32t +16−16t 2=16−32t ＞0x 1+x 2=4−4t 4=1−t x 1x 2=t24 ， 所以 |AB |=√1+22|x 1−x 2|=√54√16(1−2t )=√5√(1−2t ) ，其中 t ＜12； （II ）由 |AB | =3√5 ， 则 √5(1−2t ) =3 √5 ，解得t=-4，经检验，此时△=16-32t ＞0，所以x 1+x 2=1-t=5，由抛物线的定义，有 |AF |+|BF |=(x 1+p 2)+(x 2+p 2)=x 1+x 2+p =5+2=7 ，又 |AB |=3√5 ，所以△AFB 的周长为 7+3√5 ．【点评】：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．17.（问答题，0分）已知椭圆W ： x 24 +y 2=1，直线l 过点（0，-2）与椭圆W 交于两点A ，B ，O 为坐标原点．（Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为 32 时，求线段OC 的长；（Ⅱ）当△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当直线l 的斜率为 32 时，直线l 的方程为y= 32 x-2，代入椭圆方程，求出C 的坐标，即可求线段OC 的长；（Ⅱ）设直线l ：y=kx-2，代入椭圆方程，利用△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率．【解答】：解：（Ⅰ）当直线l 的斜率为 32 时，直线l 的方程为y= 32 x-2．…（1分）代入椭圆方程得5x 2-12x+6=0，…（2分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 0，y 0）．则x1+x2=125，…（3分）所以点C的坐标x0=65，y0=32x0−2=−15，…（4分）所以|OC|=√(65)2+(−15)2=√375．…（5分）（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，由{x24+y2=1y=kx−2得（1+4k2）x2-16kx+12=0，…（6分）所以△=（16k）2-48（1+4k2）=16（4k2-3）…（7分）x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．…（8分）|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2 = √1+k2√(16k1+4k2)2−4×121+4k2= 4√1+k2√4k2−31+4k2．…（10分）原点O到直线l的距离d=2√1+k2．…（11分）所以△OAB面积为12|AB|d=12×4√1+k2√4k2−31+4k2•2√1+k2=4√4k2−31+4k2．因为△OAB面积等于1，所以4√4k 2−31+4k2=1，…（12分）解得k=±√72，…（13分）带入判别式检验，符合题意，所以k=±√72．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18.（问答题，0分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：x22+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为A．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．【正确答案】：【解析】：（1）设P （x 1，y 1），A （x 2y 2），联立 {x 2+2y 2=2y =kx，得（2k 2+1）x 2=2， x 2=22k 2+1 ，设Q （-x 1，-y 1），由此能求出直线PA 与AQ 的斜率之积为- 12 ．（2）由 k AQ =y 2+y 1x 2+x 1=−12k 1 ，得k AQ = k 2 ，从而直线AQ 的方程为y-（-y 1）= k 2[x −(−x 1)] ，由此能证明直线PB 与x 轴垂直．【解答】：（1）解：设P （x 1，y 1），A （x 2y 2），联立 {x 2+2y 2=2y =kx，得（2k 2+1）x 2=2， ∴ x 2=22k 2+1 ，∴P ，Q 的横坐标互为相反数，∴设Q （-x 1，-y 1），∵直线PQ 的斜率为k ，且k≠0，而 k PA =y 2−y 1x 2−x 1 ， k AQ =y 2+y1x 2+x 1 ， ∴ k PA •k AQ =y 2−y 1x 2−x 1•y 2+y1x 2+x 1 ， ∵P ，A 都在椭圆上，∴ x 122+y 12=1 ， x 222+y 22=1 ， ∴ k PA •k AQ =y 22−y 12x 22−x 12 = (1−x 222)−(1−x 122)x 22−x 12 = 12(x 12−x 22)x 22−x 12=- 12 ，∴直线PA 与AQ 的斜率之积为- 12 ．（2）证明：∵ k AQ =y 2+y 1x 2+x 1=−12k 1 ，而PQ ，PA 垂直， ∴ k 1=−1k ，∴k AQ = k 2 ，∴直线AQ 的方程为y-（-y 1）= k 2[x −(−x 1)] ，令y=0，得y 1= k 2(x +x 1 ），∵点P （x 1，y 1）直线y=kx 上，∴y 1=kx 1，代入得到B 点的横坐标为x 0=x 1，∴直线PB 与x 轴垂直．【点评】：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
北京市2020年第一学期高二数学期中试题
第一学期高二数学期中试题（时间：100分钟 满分：120分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∃∈R ，320010x x -+>”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，3210x x -+≤B ．0x ∃∈R ，320010x x -+<C ．0x ∃∈R ，320010x x -+≤D ．x ∀∈R ，3210x x -+>2.设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若m αP ，n αP ，则m n PB ．若m β⊥，n β⊥，则m n PC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若m α⊂，n α⊂，m βP ，n βP ，则αβP 3.阅读下列各式，其中正确的是（ ）A ．()0a b b c b a c ⋅=⋅≠⇒=r r r r r r rB ．00a b a ⋅=⇒=r r r 或0b =rC ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．()cos 180OA BO OA BO AOB ⋅=︒-∠u u u r u u u r u u u r u u u r4.在各项都是正数的等比数列{}n a 中，若13a ，312a ，22a 成等差数列，则6745a a a a ++的值为（ ） A ．9 B ．6C ．3D ．15.在数列{}n a 中，若()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前12项和等于（ ）A ．76B ．78C ．80D ．826.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ”，n n S na =的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC uuu r 与BD u u u rB ．DA u u u r 与PB u u u rC ．PD u u u r 与AB u u u r D ．PA u u u r 与CD uuur8.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是1F 、2F ，若1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A ．14B C ．12D 29.正方形ABCD 边长为1，点E 在正方形ABCD 外，且0EA ED ⋅=u u u r u u u r ，则EB EC ⋅u u u r u u u r的最大值是（ ）A ．2B ．1+C ．3D ．410.已知两平行平面α与β间距离为4，直线a β⊂，点A a ∈，则平面α内到点A 的距离为5，且到直线a的距离为 ） A ．一组平行线B ．两段线段C ．两端圆弧D ．四个点二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11.命题“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”的否命题是__________，该否命题的真假性是__________.（填“真”或“假”）12.在四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r __________.（用a r ，b r ，c r表示）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*1n n a S n +=∈N ，则通项n a =__________.14.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AD AA ==，2AB =，则11CC BD -=u u u u r u u u u r__________，11CC CA ⋅=u u u u r u u u r__________.15.数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+，*n ∈N ，则n a =__________，数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值为__________.16.已知曲线C 1=，给出下列4个结论： ①曲线C 是以点()4,0-和()4,0为焦点的椭圆的一部分；②曲线C 关于x 轴、y 轴、坐标原点O 对称； ③若点(),P x y 在曲线C 上，则5x <，3y <； ④曲线C 围成的图形的面积是30. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共4个小题，共50分. 17.已知等比数列{}n a 的前4项和45S =，且14a ，232a ，2a 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n . 18.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为()1,0A -，()1,0B ，一个顶点为()2,0H . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点(),0P t ，椭圆E 上存在点M ，使得MP MH ⊥，求实数t 的取值范围.19.四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AB CD P ，AD DC ⊥，2SA AD DC ===，1AB =.（Ⅰ）求证：平面SAD ⊥平面SCD ； （Ⅱ）求二面角S BC D --的余弦值；（Ⅲ）M 为SC 中点，在四边形ABCD 所在的平面内是否存在一点N ，使得MN ⊥平面SBD ，若存在，求三角形ADN 的面积；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.。
2020-2021学年北京市某校高二(上)期中数学试卷 (1)
2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。
1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( ) A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】进行交集、补集的运算即可． 【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}； ∴ (∁U A)∩B ={3, 5}． 故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（ ） A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义 复数的基本概念【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论． 【解答】解：复数z 在复平面上对应的点为(1,−1)， 则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =1. 因此只有C 正确． 故选C .3. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，那么|b →|等于（ ） A.√10B.2√3C.√11D.5【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量且a →⊥b →，求出x ，然后利用向量的模长公式求|b →|的长度． 【解答】解：因为a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，所以−1×3+2x +1×1=0，即x =1，所以b →=(3, 1, 1)， 所以|b →|=√32+12+12=√11， 故选C ．4. 设a =213，b =log 32，c =cos 100∘，则（ ） A.c >b >aB.a >c >bC.c >a >bD.a >b >c【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【解答】解：∵ a =213>20=1，0=log 31<b =log 32<log 33=1， c =cos 100∘<0， ∴ a >b >c ． 故选：D ．5. 下列函数中，在定义域内满足f(−x)+f(x)=0的是（ ） A.f(x)＝√x B.f(x)=ln |x|C.f(x)=x cos xD.f(x)＝1x−1【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由题意，函数f(x)为奇函数，再利用函数的奇偶性的定义以及判断方法，得出结论． 【解答】f(−x)+f(x)=0，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数．由于f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故f(x)不是奇函数，故排除A ； 由于f(x)=ln |x|是偶函数，故排除B ；由于f(x)=x cos x 的定义域为R ，且满足f(−x)=−x cos (−x)=−x cos x =−f(x)，故函数为奇函数，故C 满足条件；由于f(x)=1x−1的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，不是奇函数，故排除D ，6. 在下列四个命题中，正确的是（ ）A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B.四条直线中斜率最大的直线是l 3C.直线x +2y −3＝0的斜率是2D.经过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1，则m =132【答案】 D【考点】 直线的斜率 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率；对于B ，四条直线中斜率最大的直线是l 4；对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12；对于D ，利用直线的斜率计算公式求解． 【解答】对于A ，平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角，但当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，如图，四条直线中斜率最大的直线是l 4，故B 错误； 对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12，故C 错误； 对于D ，∵ 过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1， ∴ 8−mm−5=1，解得m =132，故D 正确．7. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =AA 1=1，AB =2，则BD 1→⋅AD →等于（ ）A.1B.2C.3D.√63【答案】 A【考点】空间向量的数量积运算 【解析】由向量的运算法则把向量用AB →，AD →，AA 1→表示，结合垂直关系和数量关系可得． 【解答】解：由题意可得BD 1→⋅AD →=(AD 1→−AB →)⋅AD → =(AD →+AA 1→−AB →)⋅AD →=AD →2+AA 1→⋅AD →−AB →⋅AD →由垂直关系可得AA 1→⋅AD →=AB →⋅AD →=0 故原式=12+0−0=1 故选A8. 如图，在三棱锥A −BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB =DC =2，点E 为BC 的中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，则三棱锥A −BCD 的体积等于（ ）A.23B.43C.2D.2√23【答案】D【考点】直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】确定∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角，求出DE ，可得AD ，再利用三棱锥A −BCD 的体积公式，即可得到结论． 【解答】解：∵ DB =DC =2，点E 为BC 的中点，∴ DE ⊥BC ，DE =√2 ∵ DA ，DB ，DC 两两垂直，∴ AD ⊥平面DBC ， ∴ ∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角∵ 直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，∴ ∠AED =45∘， ∴ AD =DE =√2∴ 三棱锥A −BCD 的体积等于13×12×2×2×√2=2√23故选D ．9. 已知复数z 的共轭复数z ¯=2−i1+2i ，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】先根据复数的运算法则求出z ¯，再根据共轭复数求出z ，可得z 的虚部． 【解答】z ¯=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，则z =i ，则复数z 的虚部是1，10. 在空间中，已知直线a 的方向向量为v →，平面α的法向量为n →，则“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分必要条件的定义以及直线和平面的位置关系判断即可． 【解答】若“直线a 与平面α相交”，则“v →⋅n →≠0”，是充分条件， 若v →⋅n →=0时，则直线a 和平面α平行或直线a ⊂平面α， 若v →⋅n →≠0，则直线a 与平面α相交，是必要条件； 故“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的充要条件，11. 如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为（ ）A.2√55B.√55C.45D.1【答案】 A【考点】棱柱的结构特征 【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)， ∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →=−2a +4+b −2＝0，即b ＝2a −(2) 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55． 故选：A ．12. 设空间直角坐标系中有四A ，B ，C ，D 个点，其坐标分别为A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(2, 1, 4)，D(−1, −2, 8)，下列说法正确的是（ ）A.存在唯一的一个不过点A 、B 的平面α，使得点A 和点B 到平面α的距离相等B.存在唯一的一个过点C 的平面β，使得AB // β，CD ⊥βC.存在唯一的一个不过A 、B 、C 、D 的平面γ，使得AB // γ，CD // γD.存在唯一的一个过C 、D 点的平面α使得直线AB 与α的夹角正弦值为1235【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点可判断 A 选项的正误； 推导出 AB ⊥CD 以及 A 、B 、C 、D 四点不共面，利用点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个以及 AB // β 可判断 B 选项的正误； 在 AB 、CD 的公垂线 MN 上的点作 MN 的垂面满足题意，可判断 C 选项的正误； 设平面 α 的法向量为 n →＝(1,y,z)，根据题意可得出关于 y 、z 的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 D 选项的正误． 【解答】对于 A 选项，当 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点时，点 A 和点 B 到平面 α 的距离相等， A 选项错误； 对于 B 选项，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)，∴ AB →∗CD →＝−1×(−3)+1×(−3)＝0，∴ AB ⊥CD ，∵ AC →＝(1,1,4)，AD →＝(−2,−2,8)，设 AD →＝xAB →+yAC →，则 {−x +y ＝−2x +y ＝−24y ＝8，该方程组无解，所以，A 、B 、C 、D 四点不共面， 则 AB 与 CD 异面，而过点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个，若 AB ⊂β，由于 CD ⊂β，则 AB 与 CD 共面，矛盾，所以，AB // β， B 选项正确； 对于 C 选项，由于 AB 、CD 异面，设 MN 为 AB 、CD 的公垂线段，且 M ∈AB ，N ∈CD ，在直线 MN （异于 M 、N ） 的任意一点作平面 γ，使得 γ⊥MN ，则 AB // γ，CD // γ，这样的平面 γ 有无数个， C 选项错误； 对于 D 选项，设平面 α 的一个法向量为 n →＝(1,y,z)，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)， 由题意可得 n →∗CD →＝−3−3y +4z ＝0， |cos ⟨AB →，n →⟩|＝|AB →∗n →||AB →|∗|n →|＝√2×√y 2+z 2+1＝1235，所以，{3y −4z ＝−3,|y−1|√y 2+z 2+1＝12√235， 整理得775y 2−2774y +775=0，△=27742−4×7752=27742−15502>0，即方程 775y 2−2774y +775=0 有两个不等的实数解，所以，存在两个过 C 、D 点的平面 α 使得直线 AB 与 α 的夹角正弦值为 1235，D 选项错误．13. 如图1，矩形ABCD 中，AD =√3．点E 在AB 边上，CE ⊥DE 且AE ＝1．如图2，△ADE 沿直线DE 向上折起成△A 1DE ．记二面角A −DE −A 1的平面角为θ，当θ∈(0∘, 180∘)时，①存在某个位置，使CE ⊥DA 1； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③任意两个位置，直线DE 和直线A 1C 所成的角都不相等． 以上三个结论中正确的序号是（ ）A.①B.①②C.①③D.②③C【考点】棱锥的结构特征【解析】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE 是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．【解答】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，AD=√3．点E在AB边上，CE⊥DE且AE＝1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A−DE−A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA＝90∘，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A−DE−A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．二、填空题直线y＝−x−2的倾斜角是________，在y轴上的截距为________．【答案】3π,−24【考点】直线的斜截式方程直线的倾斜角【解析】由题意利用直线的斜率，求出它的倾斜角，再根据直线的方程，求出直线在y轴上的截距．【解答】，在y轴上的截距为−2，直线y＝−x−2的斜率为−1，它的倾斜角是3π4已知直线l经过点P(1, 2)，且直线l的方向向量为a→=(2, 4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________．【答案】2,2x−y=0【考点】直线的斜率直线的点斜式方程【解析】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线l的方程．∵ 直线l 经过点P(1, 2)，且直线l 的方向向量为a →=(2, 4)，则直线l 的斜率为42=2，∴ 直线l 的方程为 y −2=2(x −1)，即 2x −y =0，已知向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则sin α＝________，cos 2α＝________． 【答案】13,79【考点】二倍角的三角函数平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，求得结果． 【解答】∵ 向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则13×1−tan α⋅cos α＝0，求得 sin α=13，故cos 2α＝1−2sin 2α=79，已知平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，且平面α经过点A(1, 2, 0)．若P(x, y, z)是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________． 【答案】x +y −z −3=0 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】求出向量AP →，利用平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，通过向量的数量积为0，求解即可． 【解答】解：由题意可知AP →=(x,y,z)−(1,2,0)=(x −1, y −2, z)； 平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，所以AP →⋅n →=0， 即：(x −1, y −2, z)(1, 1, −1)=0；x −1+y −2−z =0，即x +y −z −3=0， 所求点P 的坐标满足的方程是x +y −z −3=0． 故答案为：x +y −z −3=0．函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x ＝7π6；②点(5π6，0)时对称中心； ③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2，π]上的最小值为−12．其中所有正确的结论为________. 【答案】 ②③④ 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 命题的真假判断与应用【解析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数的性质函数的定义域和值域的关系，函数的单调区间，函数的对称性的应用判定①②③④的结论． 【解答】函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin (x +π6)的图象， 对于①：当x ＝7π6时，g(7π6)＝sin (7π6+π6)＝sin 4π3＝−√32，故①错误； ②当x =5π6时，g(5π6)=sin π=0故函数关于(5π6，0)对称，故②正确；③当x ∈(0,π3)，时，x +π6∈(π6,π2)，故函数在区间(0,π3)上为单调增函数，故③正确； ④当x ∈[π2，π]时，x +π6∈[2π3，7π6]，所以sin (x +π6)∈[−12,√32]故函数的最小值为−12，故④正确．已知f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ．（1）f(−1)＝________；（2）若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是________． 【答案】 1 [1, 2] 【考点】函数的最值及其几何意义 分段函数的应用【解析】（1）直接把x ＝−1代入已知函数解析式求得f(−1)的值；（2）令g(x)＝f(x)−f(−1)，根据题设条件求出g(x)的表达式，画出其图象，再对m 进行讨论，求出|g(x)|的最大值的表达式，进而求得结论． 【解答】∵ f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ，∴ f(−1)＝1−|−1+1|＝1；f(x)−f(−1)＝f(x)−1={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，令g(x)＝f(x)−f(−1)={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，其图象如下图所示：①当m ＝−2时，g(x)={x +1,x ∈[−2,−1]−x −1,x ∈(−1,0]，此时|g(x)|max ＝1；②当m ∈(−2, −1)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1]＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；③当m ＝−1时，g(x)={−x −1,x ∈[−1,0]x 2−2x −1,x ∈(0,1] ，此时|g(x)|max ＝2，④当m ∈(−1, 0)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1] ＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；⑤当m ＝0时，g(x)＝x 2−2x −1，x ∈[0, 2]，此时|g(x)|max ＝1．综上，若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是[1, 2]．三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin (2A +π4)的值． 【答案】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13，则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√2213=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513， ∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226． 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形【解析】(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小， (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值，(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 【解答】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13， 则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√22√13=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513，∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226．已知函数f(x)=(sin x +cos x)2+cos 2x ． (1)求f(π4)值；(2)求f(x)的最小值正周期；(3)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用【解析】(I)根据函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x，直接求得f(π4)值．(II)化简f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x为√2sin(2x+π4)+1，从而求得f(x)的最小正周期．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，求得x的范围，可得f(x)的单调递增区间．【解答】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2．（1）求证：A 1C ⊥BC ；（2）求直线AC 1和A 1B 1所成角的大小；（3）求直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【答案】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ， 则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)， 设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=8⋅2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘． 【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角【解析】（1）由BC ⊥CC 1，AC ⊥BC ，得BC ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明A 1C ⊥BC ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此直线AC 1和A 1B 1所成角的大小．（3）求出AC 1→=(−2, 0, 2)和平面ABB 1A 1的法向量，由此能求出直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【解答】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ，则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)，设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=√8⋅√2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘．如图，三棱柱ABC −DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，面BEFC ⊥面ADEB ，AB =4，∠DEB =60∘，G 是DE 的中点．（1）求证：CE // 平面AGF ；（2）求点D 到平面AGF 的距离；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．【答案】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)，设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ3+1×1=√4ℎ3+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32． 【考点】二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 直线与平面平行【解析】（1）连接CD 交AF 于H ，连接HG ，根据中位线定理可得HG // CE ，于是CE // 平面AGF ；（2）建立空间坐标系，求出平面AGF 的法向量n →，利用距离公式求出D 到平面AGF 的距离；（3）假设存在符合条件的P 点，设BP =ℎ，求出平面PGE 的法向量m →，令|cos <m →，BC →>|=√22计算ℎ，根据ℎ的值做出判断．【解答】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)， 设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ23+1×1=√4ℎ23+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32．已知n ∈N ∗，n ≥2，给定n ×n 个整点(x, y)，其中1≤x ，y ≤n ，x ，y ∈N ∗．(Ⅰ)当n ＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，求x1+x2的所有可能值；(Ⅱ)从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n2−1．(ⅰ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ⅱ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+ x1′＝x2+x2′，y1≠y2．【答案】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．【考点】归纳推理【解析】(Ⅰ)取n＝2时可表示出整点即可算出可能值；(Ⅱ)(i)用反证法可推出矛盾；(ii)利用不等关系可得∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3即可【解答】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．试卷第21页，总21页。
北京市2020年高二上学期期中数学试卷A卷
北京市2020年高二上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共15分)1. （1分）己知命题p：“∃x0＞0，3 =2”，则￢p是________．2. （1分） (2018高二上·佛山期末) 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上点作的垂线，垂足为 .设，与相交于点 .若，则的值为________．3. （1分）已知实数，满足某一前提条件时，命题“若，则”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数，应满足的前提条件是________．4. （1分）已知P:，又知非P是非Q的必要非充分条件，则m的取值范围是________5. （2分） (2016·绍兴模拟) 若实数x，y满足不等式组，则z=y﹣x最小值是________．z=的最大值是________．6. （1分）若关于x的不等式x2﹣2x+3＞a2﹣2a﹣1对一切实数都成立，则实数a的取值范围为________．7. （1分）(2017·高台模拟) 设x，y，z为正实数，满足x﹣y+2z=0，则的最小值是________．8. （1分） (2018高三上·丰台期末) 能够说明“方程的曲线不是双曲线”的一个的值是________．9. （1分） (2017高二下·雅安期末) 下列4个命题：①“若a、G、b成等比数列，则G2=ab”的逆命题；②“如果x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“若A＞B”则“sinA＞sinB”的逆否命题；④当0≤α≤π时，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对∀x∈R恒成立，则α的取值范围是0≤α≤ ．其中真命题的序号是________．10. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点.设为线段的中点，为坐标原点，则________．11. （1分） (2017高二下·大名期中) 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切．其中真命题的序号是________．12. （1分）函数的最小值为________ ．13. （1分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数的图象如图所示，设函数，则函数的定义域是________。
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2020北京汇文中学高二（上）期中
数 学
一、选择题
1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）
A. 2
B. 1
C. 21
D. 不存在
2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）
A. 5)2()3(22=-+-y x
B. 5)2()3(22=-++y x
C. 25)2()3(22=-+-y x
D. 25)2()3(22=-++y x
3. 焦点在x 轴上的椭圆2213
x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ） A. 4 B.94 C. 1 D.34
4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ） A.65 B. 1 C.85
D.2 5.已知抛物线x y C =2:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，045||x AF =
，则0x ＝（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 过点P )1,3(--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. ]6,0(π
B. ]3,0(π
C. ]6,0[π
D. ]3,0[π 7.已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
8.直线1:10l ax y a +
-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：
① 11,2
AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥< 则所有正确结论的序号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
二、填空题
9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =
10. 双曲线22
1169
x y -=的渐近线方程为_________________. 11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22
(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =_______；
直线l 的方程为__________. 12. 已知F 为双曲线2
2:13
x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 2
3=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
14. 已知点1(,0)2
A -， 抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =
三、解答题：
15.已知圆22:1010340C x y x y ++++=.
（Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）圆D 的圆心在直线5x =-上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程；
（III ）过点(0,2)P 的直线交（Ⅱ）中圆D 于,E F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程.
16.已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.
(I)将||AB 表示为t 的函数；
(II)若||AB =AFB △的周长.
17.已知椭圆2
2:14
x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为32
时，求线段OC 的长；
（Ⅱ）当∆OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.
18.如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12
x C y +=交于,P Q 两点. 过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .
(I)求直线PA 与AQ 的斜率之积；
(II)若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.。