第一章 有理数(教案)人教版(2024)数学七年级上册

第一章有理数
1．1正数和负数(2课时)
第1课时正数和负数的概念
1．了解正数和负数的产生，知道什么是正数和负数；
2．理解正负数表示的量的意义，知道0既不是正数，也不是负数；
3．会用正数、负数表示具有相反意义的量．
重点
正、负数的意义．
难点
1．负数的意义；
2．具有相反意义的量．
一、导入新课
教师投影展示教材第2页图片，让学生体验自然数的产生，分数的产生离不开生产和生活的需要，通过设置如下问题引出课题．
问题1：天气预报：北京市冬季某天的温度为－5～5℃，它的确切含义是什么？这一天北京市的温差是多少？
问题2：有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队(4∶1)，黄队胜蓝队(1∶0)，蓝队胜红队(1∶0)，如何确定三个队的净胜球与排名顺序？
问题3：某机器零件的长度设计为100 mm，加工图纸标注的合格尺寸为100±0.5(mm)，这里的0.5代表什么意思？合格产品的长度范围是多少？
活动1：游戏“说反话”；
活动2：写出至少两组生活中具有相反意义的量，并与同学交流，找到更多的具有相反意义的量．
二、探究新知
(一)正数和负数的概念
活动3：自学课本第二页内容
归纳：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫作正数．像－3，－2.7，－4.5这样在正数前面加上负号“－”的数叫作负数.0既不是正数，也不是负数．
【方法总结】：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数．
(二)用正数和负数表示具有相反意义的量
例1一物体沿东西两个相反的方向运动时，可以用正负数表示它们的运动．
(1)如果向东运动4 m记作4 m，那么向西运动5 m记作__－5_m__；
(2)如果－7 m表示物体向西运动7 m，那么6 m表明物体向__东__运动．
例2一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值．
答：小明体重增长2 kg，小华体重增长－1 kg，小强体重增长0 kg.
三、课堂练习
1．数学中采用符号来区分具有相反意义的量．
①高于海平面8848米，记作＋8848米；低于海平面155米，记作__－155__米；
②如果水位升高4 m时水位变化记作＋4 m，那么水位下降2 m时水位变化记作__－2__ m，水位不升不降时水位变化记作__0__ m.
2．升降机运行时，如果下降13米记作“－13米”，那么当它上升25米时，记作__＋25米__．
3．孔子出生于公元前551年，如果用－551年表示，那么司马迁出生于公元前145年可表示为__－145__年，欧阳修出生于公元1007年，可表示为__＋1007__年．4．某种零件，标明要求是φ：20±0.02 mm(φ表示直径，单位：毫米)，经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件__不合格__(填“合格”或“不合格”).
【方法总结】解决此类问题的关键是理解“20±0.02 mm”的含义，20是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少．
四、课堂小结
小结：这堂课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？
五、课后作业
教材P5习题1.1第4，5，6，8题．
本课是有理数的第一课时，引入负数是数的范围的一次重要扩充，学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程)，而负数相对于以前的数，对学生来说显得更抽象，因此，这个概念并不是一下就能建立的．为了接受这个新的数，就必须对原有的数的结构进行整理．负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示具有相反意义的量)，书本的例子或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点．第2课时正
数、负数的应用以及0的意义
进一步理解正、负数及0的意义，熟练掌握正负数的表示方法，会用正、负数表示具有相反意义的量．
重点
进一步理解正、负数及0表示的量的意义．
难点
理解负数及0表示的量的意义．
一、导入新课
师：我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔为－154.31 m，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？
思考：“0”为什么既不是正数也不是负数呢？
学生思考讨论，借助举例说明．
二、探究新知
活动1：尝试解释正负数的含义．
教师出示问题：
1．学生举例说明正、负数在实际中的应用．
2．在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准(规定海平面的海拔为0).通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔．珠穆朗玛峰的海拔为8848.86米，它表示什么含义？某地的海拔为－750米，它表示什么含义？
3．记录账目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额．
活动2：感受数0的含义(同学之间相互交流).
师：0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度，海拔0 m表示海平面的平均高度.0的意义已不仅是表示“没有”．
4．教师讲解教材P4例2.
三、课堂练习
1．下列语句正确的是( C )
A．0℃表示没有温度
B．0表示什么也没有
C．0是非正数
D．0既可以看作是正数又可以看作是负数
2．你能举出实际生活中0表示的实际意义吗？请举两例．
【答案】答案不唯一，如海平面平均高度为0米；0摄氏度表示冰水混合物的温度
四、课堂小结
小结：谈谈你对正数、负数和0的认识．
1．0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界．
2．具有相反意义的量应满足的条件：
①必须是同类量，而且是成对出现的；
②只要求意义相反，不要求数量一定相等．
五、课后作业
1．帮助家长记录一个月的生活收支帐目(收入计为正数，支出计为负数).
2．教材P5习题1.1第1，2，3，7题．
“数0既不是正数，也不是负数．在引入负数后，0除了表示一个也没有以外，还是正数和负数的分界．了解0的这一层意义，也有助于对正负数的理解，且对数的顺利扩张和有理数概念的建立都有帮助．教学中要让学生体验数学知识在实际中的合理应用，在体验中感悟和深化知识，通过实际例子的学习激发学生学习数学的兴趣．1.2有理数及其大小比较
1．2.1有理数的概念
1．理解有理数的意义；
2．能把给出的有理数按要求分类；
3．了解0在有理数分类中的作用．
重点
会把所给的各数填入它所属于的集合里．
难点
掌握有理数的两种分类．
一、导入新课
(1)上节课我们都学了什么知识？
(2)某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到－10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温为－3℃～7℃.
问题1：这里面出现的数是什么数？ 师：同学们都已经知道除了我们小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数．大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数．
学生讨论． 二、探究新知
师：你能列举出一些你已经学过的各类型的数吗？
学生列举：3，5.7，－7，－9，－10，0，13 ，25 ，－35
6 ，－7.4，5.2，…
师：你能说说这些数的特点吗？
学生回答，并相互补充．
师：目前我们所学的小数有哪几类？你能尝试把它们化为分数吗？ 概念归纳：可以写成分数形式的数统称为有理数. 师：思考：有理数可以怎么分类？ 按定义分⎩⎪⎨
⎪⎧整数⎩⎨
⎧正整数0
负整数分数⎩⎨
⎧正分数负分数
按性质符号分
有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎨
⎧正整数正分数
0负有理数⎩⎨⎧负整数
负分数
三、课堂练习
1．把下列各数填入相应的集合内：
3．1415926，0，2008，－1
2 ，－7.88，10%，
10．1，0.67，－89.
3.1415926，
2008，10%，10.10.67
,正有理数集合) －12
，－7.88， －89 ,负有理数集合) 2．把下列各数填在相应的大括号里：
－4，0.001，0，－1.7，15，＋1.5.
正数集合{0.001，15，＋1.5…}
负数集合{－4，－1.7…}
正整数集合{15…}
分数集合{0.001，－1.7，＋1.5…}
四、课堂小结
小结：谈一谈今天你的收获．
1．有理数的概念；
2．有理数的分类；
3．数学方法：分类思想．
五、作业
教材P16习题1.2第1题．
本课在引入了负数后对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．本节课具有开放性的特点，给学生提供了较大的思维空间，能促进学生积极主动地参加学习，亲自体验知识的形成过程，让学生了解分类的思想，避免了直接进行分类所带来的枯燥
性．1.2.2数轴
1．了解数轴的概念，知道数轴的三要素，会画数轴；
2．能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点表示的数．
重点
数轴的概念．
难点
从直观认识到理性认识，建立数轴的概念，正确地画出数轴．
一、导入新课
1．画情境图，体会方向与距离．在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东5 m 和25 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西10 m和15 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
思考：怎样简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系(方向、距离)?
提示：我们把正数、0和负数用一条直线上的点表示出来．
2．温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出温度计所表示的三个温度．
出示温度计，并让同学读出任意的三个数．
(小组讨论，交流合作，动手操作)
二、探究新知
教师：由上述两个问题我们得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？
让学生在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出可以表示有理数的直线必须满足的条件．
从而得出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.
(小组讨论，交流归纳)
类比归纳数轴的画法：画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴．做游戏：教师准备一根绳子，请8个同学走上来，把位置调整为等距离，规定第3个同学为原点，由西向东为正方向，每个同学都有一个整数编号，请大家记住，现在请第一排的同学依次发出口令，口令为数字时，该数对应的同学要回答“到”；口令为该同学的名字时，该同学要报出他对应的“数字”，如果规定第4个同学为原点，游戏还能进行吗？
问题：
1．你能举出一些在现实生活中用直线表示数的实际例子吗？
2．如果给你一些数，你能相应地在数轴上找出它们的准确位置吗？如果给你数轴上的点，你能读出它所表示的数吗？
3．哪些数表示的点在原点的左边，哪些数表示的点在原点的右边，由此你会发现什么规律？
4．每个数表示的点到原点的距离是多少？由此你会发现什么规律？
结论：所有的有理数都可以用数轴上的点表示．
三、课堂练习
1．在数轴上画出表示下列各数的点．
1，－5，－2.5，4.5，0.
练习：布置学生阅读教材，重新梳理知识，然后完成教材练习．
四、课堂小结
小结：谈一谈你对数轴的认识．
1．数轴的意义，数轴的三要素．
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．
三要素：原点、正方向、单位长度．
2．数轴的画法．
3．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限点．
五、课后作业
1．下列说法中正确的是( C )
A．在数轴上的点表示的数不是正数就是负数
B．数轴的长度是有限的
C．一个有理数总可以在数轴上找到一个表示它的点
D．所有整数都可以用数轴上的点表示，但分数就不一定能找到表示它的点
2．数轴上表示正数的点在原点的__右__边，表示负数的点在原点的__左__边，表示0的点在__原点__.
3．数轴上，在原点左边且离原点3个单位长度的点表示的数是__－3__；距离原点4个单位长度的点表示的数是__4和－4__；点A表示的数是－1，则距离点A12个单位长度的点表示的数是__11和－13__.
4．教材P17习题1.2第2题．
数轴是数形转化、结合的重要媒介，情境设计的原型来源于生活实际，学生易于体验和接受，让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概
念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，也体现出了从感性认识，到理性认识，到抽象概括的认识规律．
1.2.3相反数
1．了解相反数的意义；
2．借助数轴理解相反数的概念，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．给出一个数，能说出它的相反数．
重点
相反数的概念．
难点
相反数的识别及理解．
一、导入新课
1．什么是数轴？
2．数轴三要素．
相反数的概念的引出．
演示活动：要一个学生向前走5步，向后走5步．
提出问题：如果向前为正、向后为负，向前走5步，向后走5步各记作什么？
学生回答．
师：这位同学两次行走的距离都是5步，但两次的方向相反，这就决定这两个数的符号不同，像这样的两个数叫做互为相反数．
二、探究新知
活动：观察下列一组数＋1和－1，＋2.5和－2.5，＋4和－4，并把它们在数轴上表示出来．
思考：
(1)上述各对数之间有什么特点？
(2)请写出一组具有上述特点的数；
(3)你能得出相反数的概念吗？
(4)表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？画一数轴，在数轴上任意标出两点，使这两点表示的数互为相反数．(一个学生板演，其他学生自练)
师：这样的两个数即互为相反数，你能叙述具备什么特点的两个数互为相反数吗？
学生讨论后回答．
师指出：0的相反数是0.
提出问题：a前面加“－”表示a的相反数，－(＋1.1)表示什么？－(－7)呢？－(－9.8)呢？它们的结果应是多少？
学生活动：讨论、分析、回答．
三、课堂练习
判断题：
(1)－5是5的相反数；( √ )
(2)－5是相反数；( × )
(3)相反数等于它本身的数只有0；( √ )
(4)－5和5互为相反数．( √ )
填空题
1．－(＋4)是__4__的相反数，－(＋4)＝__－4__． 2．－(＋15 )是__15 __的相反数，－(＋15 )＝__－1
5
__.
3．－(－7.1)是__－7.1__的相反数，－(－7.1)＝__7.1__．
4．－(－100)是__－100__的相反数，－(－100)＝__100__． 学生活动：思考后口答．
学生回答后教师引导：在一个数前面加上“－”表示求这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”呢？
学生讨论后回答．
1．化简符号时，同号得正，异号得负．
2．出现多重符号时，看“－”的个数，当“－”的个数为奇数时，结果为负；当“－”的个数为偶数时，结果为正．
四、课堂小结
小结：谈谈你对相反数的认识．
(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数； (2)数轴上表示相反数的两个对应点，分别位于原点两侧，它们到原点距离相等； (3)－a 表示a 的相反数． 五、课后作业
1．－1.6是__1.6__的相反数，__－0.3__的相反数是0.3. 2. 5的相反数是__－5__；a 的相反数是__－a __．
3．若a ＝－13，则－a ＝__13__；若－a ＝－6，则a ＝__6__． 教材P12练习第1，2，3，4题．
相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征．这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，它们的和为零，在数轴上表示时，离开原点的距离相等等性质均有广泛的应用．所以本教学设计围绕数量和几何意义展开，渗透数形结合的思想．
1.2.4 绝对值
1．理解绝对值的意义； 2．会求一个数的绝对值．
重点
绝对值的意义和求一个数的绝对值的方法． 难点
绝对值概念的理解．
一、导入新课
1．什么叫互为相反数？
2．在数轴上表示互为相反数的两点和原点的位置关系怎样？ 二、探究新知
以O 为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A ，B 的位置，则A ，B 两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？
绝对值的概念
师：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，用“||”表示． 结合图片指出，数轴上表示数－10的点与原点的距离叫作数－10的绝对值，记作|－10|.然后结合图片让学生回答|10|＝__10__，|－10|__10__．
归纳：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作|a |.这里的数a 可以是正数，负数或0.
练习：根据绝对值的定义说出下列各数的绝对值：
－5，3.2，0，100，－2，－23 ，1
2
.
学生尝试解决．
师：进一步提出：以上各数中，
①正数有哪几个，它们的绝对值和这个数有什么关系？ ②负数有哪几个，它们的绝对值和这个数有什么关系？ ③0的绝对值是多少？ 引导学生讨论并归纳出：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
师：要求学生根据归纳的结果，结合教材13页内容，完成如下填空．
|a |＝⎩⎨⎧ a ；（a ＞0）
0 ；（a ＝0）
－a Ｗ．（a ＜0）
思考：相反数、绝对值的联系是什么？ 1．互为相反数的两个数的绝对值相等．
2．绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．
三、课堂练习
判断下列说法是否正确．
(1)一个数的绝对值是4，则这个数是－4.( × )
(2)|3|＞0；( √ )
(3)|－1.3|＞0；( √ )
(4)有理数的绝对值一定是正数；( × )
(5)若a＝－b，则|a|＝|b|；( √ )
(6)若|a|＝|b|，则a＝b；( × )
(7)若|a|＝－a，则a必为负数；( × )
(8)互为相反数的两个数的绝对值相等．( √ )
四、课堂小结
这节课的收获是什么？
1．数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值．
2．|a|≥0.
3．(1)如果a＞0，那么|a|＝a；
(2)如果a＜0，那么|a|＝－a；
(3)如果a＝0，那么|a|＝0.
五、课后作业
教材P14练习第1，2，3，4题．
让学生在熟悉的日常生活情境中获得数学体验，不仅加深对绝对值的理解，更感受到学习绝对值概念的必要性和激发学习的兴趣．教材中数的绝对值概念是根据几何意义来定义的(其本质是将“数”转化为“形”来解释，是难点)，然后通过练习归纳出求有理数的绝对值的规律，如果直接给出绝对值的概念，学生理解较困难，不易接受．
1.2.5 有理数的大小比较
1．通过探究得出有理数大小的比较方法．
重点
利用数轴及绝对值，比较两个有理数的大小．
难点
掌握两个负分数比较大小的方法．
一、导入新课
小学时学过比较数的大小吗？怎样比较的？
二、探究新知 星期
温度 一
0～8℃ 二
1～7℃ 三 －1～6℃ 四
－2～5℃ 五
－4～3℃ 六
－3～4℃ 日 2～9℃
①这7天的最低气温中最高的是________，最低的是________.
②你能将这七天中每天的最低气温按从低到高排列吗？
③你能在数轴上表示出这七天中的最低气温吗？
④观察，你所排列的顺序和它们在数轴上的位置有什么联系？
生：独立解决①～③小题，然后同学间交流探讨第④小题并归纳出：从低到高的顺序对应于数轴上从左到右的顺序．
师：数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即在数轴上，左边的数小于右边的数．
出示问题：根据以上规定用“大于”“小于”填空：
正数__大于__0，0__大于__负数，正数__大于__负数．
生：独立完成然后同学间交流．
师：利用数轴用“＞”“＜”填空：
－6__＜__－5，－3__＜__－2，
－12 __＞__－23
. 观察结果并讨论，两个负数比较大小时，你发现了什么规律？
生：讨论并归纳结果，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
师：出示教材例题，然后师生共同完成．
说明：两个负数比较大小，尤其是两个负分数比较大小时，学生易出错，讲解例题时教
师应当关注这一点．
观察例题，师生共同归纳：
异号两数比较大小时，只需要考虑它们的__符号__，同号两数比较大小时，要考虑它们的__绝对值的大小__. 三、课堂练习 1．比较大小．
(1)－(－1)和－(＋2)；
(2)－821 和－37
； (3)－(－0.3)和|－13
|. 【答案】(1)－(－1)＞－(＋2) (2)－821 ＞－37 (3)－(－0.3)＜|－13
| 2．(1)若a ＜0，则－a __＞__0；若a ＞0，则－a __＜__0；若a ＝0，则－a __＝__0；
(2)绝对值最小的有理数是__0__；绝对值最小的自然数是__0__；绝对值最小的负整数是__－1__．
四、课堂小结
1．说一说你对绝对值的概念的认识；
2．谈一谈有理数大小的比较方法．
五、课后作业
教材P16练习第2，3题，P17习题第5题．
比较有理数大小的方法有两种：(1)利用数轴比较大小；(2)利用绝对值比较大小．本节课的教学目标就是让学生掌握这两种方法．在教用数轴比较有理数大小的方法时，引入是采用温度的排序．根据生活常识，学生可以由低到高排列这些温度，再让学生把这些数表示在数轴上．由此可以引出利用数轴比较大小的规定，在讲解利用绝对值比较两个负数大小时，采用把两个负数在数轴上表示，利用在数轴上的数“左边的数小于右边的数”，得出“绝对值大的反而小”的结论．从而得出利用绝对值比较两个负数大小的方法．通过以上的教学，促使本节课的重、难点迎刃而解．。