高考数学一轮复习 第5章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课后作业 理

5．3 等比数列及其前n 项和
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一、选择题
1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27
答案 B
解析 依题意得a 2
7＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5
＝q 2
>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.
2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *
，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )
A ．1
B ．－1 C.12 D ．2
答案 D
解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n －2λ
.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2
λ
＝1，得λ＝2.故选D.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里
答案 B
解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝1
2，依题意有
a 1⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
61－12
＝378，解得a 1＝192，
则a 2＝192×1
2
＝96，即第二天走了96里．故选B.
4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，
S m ＋1＝21，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 C
解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1
a m
＝－2.又S m ＝
a 1－a m q 1－q
＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1
＝－16，求得m ＝5.故选C.
5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10
S 5
等于( )
A ．－3
B ．5
C ．－31
D ．33
答案 D
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 3
1－q 6＝218
，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q
5＝1＋q 5
＝33.故选D.
6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )
A ．1008
B ．2016
C ．2032
D ．4032
答案 B
解析 由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3
＋2)＝2q ＋2q 4
＝q (2q 3
＋2)，得q ＝2，所以
a n ＝2n
，S 10＝
－210
1－2
＝211
－2＝2046，S 4＝
－24
1－2
＝25
－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.
故选B.
7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，
且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前4项和为( )
A.15
8或4 B.40
27或4 C.4027 D.158
答案 C
解析 设数列{a n }的公比为q .
当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得－q 3
1－q
＝1－q 6
1－q
，解得q ＝3. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3
n －1
.
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝40
27.
8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝
1
20
，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故－q 3
1－q
＝1－q 6
1－q
，解得q ＝2，又a 1＝1
20
，
所以a n ＝a 1q
n －1
＝2n －1
20
. 因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，
故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2
n －1
20
≤1，2n
20≥1，
得n ＝5.故选C.
9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2
－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案 D
解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2
－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .
∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.
又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝a －2，ab ＝4
①或⎩⎪⎨
⎪⎧ 2a ＝b －2，ab ＝4，
②
解①得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝4，
b ＝1，
解②得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝4.
∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.
10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项
a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1
m ＋4
n
的最小值为( )
A.32
B.53
C.256 D ．不存在
答案 A
解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2
＝a 1q ＋2a 1，
即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 2
1， ∴(a 1·2m －1
)·(a 1·2
n －1
)＝16a 2
1，
∴a 2
1·2
m ＋n －2
＝16a 2
1，∴m ＋n ＝6，
∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋n ＝16⎝
⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5＋2
n m ·4m n ＝3
2(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是3
2.故选A. 二、填空题
11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若
S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．
答案 －12
解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2
＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.
12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1
＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.
答案 50
解析 因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，可解得a 10·a 11
＝e 5
.
所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10
＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5
＝50.
13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3
n －1
(n ∈N *
)，若b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________. 答案 12－13n ＋1－1
解析 由a n ＝2×3
n －1
可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以S n ＝－3n
1－3
＝3n
－1，
则b n ＝
a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则
b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－1
3n ＋1－1
. 14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．
答案 6
解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211
＝255
. 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210
＝250
， ∴抽去的一项为255
÷250
＝25
.
又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 2
6， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 11
6.故有a 11
6＝255
，即a 6＝25
. ∴抽出的应是第6项． 三、解答题
15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，
b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)若∀n ∈N *
，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 1
3
＝4，
∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，
故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *
)． 设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．
c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，
设{c n }的公比为q ，则q 3
＝c 4
c 1
＝8，故q ＝2. 则c n ＝2
n －1
，即a n －b n ＝2
n －1
.
∴b n ＝4n －2－2n －1
(n ∈N *
)．
故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2
n －1
(n ∈N *
)．
(2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项． 由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n
－4n ＋2＋2n －1
＝4－2
n －1
(n ∈N *
)．
当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3；
当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；
当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *
，都有b n ≤b k 成立．
16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *
.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54
，
且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.
(1)求a 4的值；
(2)证明：⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a n ＋1－12a n 为等比数列；
(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，
∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋32＝
8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝7
8
.
(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤S n ＋1－S n －12S n －S n －1，
∴(S n ＋2－S n ＋1)－1
2(S n ＋1－S n )
＝12⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤S n ＋1－S n －
1
2S n －S n －1， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .
又a 3－12a 2＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫a 2－12a 1，
∴⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为1
2的等比数列．
(3)由(2)知⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1
，
两边同乘以2
n ＋1
，得a n ＋1·2
n ＋1
－a n ·2n
＝4.
又a 2·22
－a 1·21
＝4，
∴{a n ·2n
}是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝n －
2
n ＝2n －12
n －1.。