高考数学一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的向量方法课件

利用向量证明平行与垂直问题
如图 7-7-2 所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中 点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC.
图 7-7-2
[证明] 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E12，1，12，F0，1，12，E→F＝－12，0，0，A→P＝ (0,0,1)，A→D＝(0,2,0)，D→C＝(1,0,0)，A→B＝(1,0,0).3 分
图 7-7-3
∵PB⊄平面 EFH，且 EH⊂平面 EFH， ∴PB∥平面 EFH.6 分 (2)P→D＝(0,2，－2)，A→H＝(1,0,0)，A→F＝(0,1,1)， ∴P→D·A→F＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，10 分 P→D·A→H＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， ∴PD⊥AF，PD⊥AH. 又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面 AHF.15 分
利用空间向量求二面角
如图 7-7-5，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点 的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°， 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°.
(1)证明：平面 ABEF⊥平面 EFDC； (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值． [解] (1)证明：由已知可得 AF⊥DF，AF⊥FE， 所以 AF⊥平面 EFDC.2 分 又 AF⊂平面 ABEF，故平面 ABEF⊥平面 EFDC.6 分
[规律方法] 1.利用向量证明平行与垂直，充分利用已知的线面垂直关系构 建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运 算．其中灵活建系是解题的关键．
2．运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何定理满足的条件，如用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，必需强调直线在平面外．
线面角与异面直线所求的角
☞角度 1 求异面直线所成的角
将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶
点的三棱锥体积最大时，异面直线 AD 与 BC 所成的角为( )
A.π6
B.π4
π
π
C.3
D.2
C [不妨以△ABC 为底面，则由题意当以 A，B，C，D 为顶点的三棱锥体
2．空间位置关系的向量表示 直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2 直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向 量为 m
平面 α，β 的法向量分别为 n，m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β
n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔n·m＝0
n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
[解] (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.5 分 (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM ＝AA1＝8， 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10. 以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系 D-xyz，则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，F→E＝(10,0,0)，H→E＝(0， －6，8).9 分
图 7-7-5
(2)过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G. 由(1)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点，G→F的方向为 x 轴正方向，|G→F|为单位长，建立如图所示 的空间直角坐标系 G-xyz.8 分 由(1)知∠DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG| ＝ 3，可得 A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0， 3)． 由已知得 AB∥EF，所以 AB∥平面 EFDC.10 分 又平面 ABCD∩平面 EFDC＝CD，故 AB∥CD，CD∥EF. 由 BE∥AF，可得 BE⊥平面 EFDC，
于是A→D＝(0,1,1)，B→C＝(－1,1,0)，
因此
cos〈A→D，B→C〉＝
→→ AD·BC →→
＝
|AD|·|BC|
1 2×
2＝12.
所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为π3.]
[规律方法] 1.利用向量法求异面直线所成的角． (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量 ν1，ν2； (3)代入公式|cos〈ν1，ν2〉|＝||νν11|·|νν22||求解． 2．两异面直线所成角的范围是 θ∈0，π2，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]， 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异 面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
☞角度 2 求直线与平面所成的角
(2015·全国卷Ⅱ)如图 7-7-4 所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝ D1F＝4.过点 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
图 7-7-4 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 【导学号：51062248】
2．(教材改编)设 u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面 α，β 的法向量．若
α⊥β，则 t＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C [∵α⊥β，则 u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，
∴t＝5.]
3．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中 点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
图 (2)设 n1，n2 分别是二面角 α-l-β 的两个面 α，β 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2) 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 所 成 的 角 就 是 直 线 与 平 面 所 成 的 角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二 面角的范围是[0，π]． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
1
2
A.10
B.5
30 C. 10
2 D. 2
C [建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，设 BC＝2，则 B(0,2,0)，A(2,0,0)，
M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以B→M＝(1，－1,2)，A→N＝(－1,0,2)，故 BM
→→
与
AN
所成角
θ
的余弦值
cos
θ＝
|BM·AN| →→
抓
基
础
·
自
主 学
第七章 立体几何
课
习
时
第七节 立体几何中的向量方法
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l __平__行__或__重__合__，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则_向__量__a_叫做平面 α 的法向量．
4．求直线与平面所成的角
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角 |a·n|
为 θ，则 sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__| ＝__|a_|_|n_|_.
5．求二面角的大小 (1)若 AB，CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二 面角的大小就是__向__量__A→_B_与__C→_间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为 1，则 A(0,0,0)，
M0，1，12，O12，12，0，N12，0，1，A→M·O→N＝0，1，12·0，－12，1＝0，∴
ON 与 AM 垂直．]
5．(2017·湖州模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若
AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________． 45° [如图，建立空间直角坐标系，设 AB＝PA＝1，则
A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面 PAB，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE⊥PD，又 CD⊥平面 PAD，
∴CD⊥AE，从而 AE⊥平面 PCD. ∴A→D＝(0,1,0)，A→E＝0，12，12分别是平面 PAB，平面 PCD 的法向量，且〈A→D， A→E〉＝45°. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45°.]
设 n＝(x，y，z)是平面 EHGF 的法向量，则nn··FH→→EE＝＝00，，
即－106x＝y＋08，z＝0，
所以可取 n＝(0,4,3)．
又A→F＝(－10,4,8)，故|cos〈n，A→F〉|＝
→ |n·AF|
→
＝4155.
|n||AF|
所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为4155.15 分
[ 变式训练 1] (2017·绍兴一模)如图 7-7-3，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD ＝2，E，F，H 分别是线段 PA，PD，AB 的中点．
求证：(1)PB∥平面 EFH； (2)PD⊥平面 AHF. [证明] 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0).3 分 (1)∵P→B＝(2,0，－2)，E→H＝(1,0，－1)， ∴P→B＝2E→H，∴PB∥EH.
3.求两条异面直线所成的角
设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则
l1 与 l2 所成的角 θ
a 与 b 的夹角〈a，b〉
范围
__0_<_θ_≤__π2__
0＜〈a，b〉＜π
关系
|a·b| cos θ＝|cos〈a，b〉|＝_|_a_||b_|__
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|
[规律方法] 1.利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影，直线的方向向量，转化为求两个方 向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的 锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 2．(1)求直线与平面所成的角，不要误认为是直线的方向向量与平面法向量 的夹角． (2)若求线面角的余弦值，要利用平方关系 sin2θ＋cos2θ＝1 求值.
积最大，即点 D 到底面△ABC 的距离最大时，平面 ADC⊥平面 ABC.
设点 O 是 AC 的中点，连接 BO，DO.
则易知 BO，CO，DO 两两互相垂直．
以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令 BO＝CO＝DO＝1.
则 O(0,0,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
(1)因为E→F＝－12A→B，所以E→F∥A→B，即 EF∥AB. 又 AB⊂平面 PAB，EF⊄平面 PAB， 所以 EF∥平面 PAB.6 分
(2)因为A→P·D→C＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， A→D·D→C＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以A→P⊥D→C，A→D⊥D→C，即 AP⊥DC，AD⊥DC.10 分 又因为 AP∩AD＝A，AP⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 DC⊥平面 PAD. 因为 DC⊂平面 PDC， 所以平面 PAD⊥平面 PDC.15 分
＝
|BM|·|AN|
3 6×
＝ 5
30 10 .]
4．如图 7-7-1 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是底
面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，
则直线 ON，AM 的位置关系是________. 【导学号：51062247】
垂直 [以 A 为原点，分别以A→B，A→D，A→A1所在直线为 x，