数学文卷·2014届浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷)(二)(2014.04)

2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）
数学文科（二）参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 【答案解析】A ．
由已知得i z i 2)21(=-，两边同乘)21(i +化简得i z 5
2
54+-=，故选A 2．【答案解析】B ．
因为N C R ={x |x
a >}，若M N C
M R
=⋂)(，则∈a (−∞，1]，故选B
3．【答案解析】D ．
若p 成立，q 不一定成立，例如取3,2,1,2-=-===d c b a ，反之，若q 成立，p 也不一定成立，如2,3,1,2=-==-=d c b a ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D 4．【答案解析】C ．
该程序运行后输出的值是3，故选C 5． 【答案解析】C ．
由
ππ
k ax =+4
，当π=x 时，4
1
-
=k a )(Z k ∈，因为0>a ，所以当1=k 时，正数a 取得最小值
4
3
，故选C 6． 【答案解析】A ．
设3个红球为A ，B ，C ，2个白球为X ，Y ，则取出2个的情况共有10种，其中符合要求的有3种，所求的概率为10
3
，故选A 7． 【答案解析】D ．
函数)2()2(x f y x f y -=-=与的图象关于直线2=x 对称，命题D 是错误的，故选D 8.【答案解析】D.
由于 x y x 222++=1])1[(22-++y x ，而点（-1，0）到直线01243=-+y x 的距离为35
12
3)1(=-⨯-=
d ，所以22)1(y x ++的最小值为3，所以x y x 222++的最小值为
8132=-，故选D
9． 【答案解析】C
设BC 的中点为O ，由4=⋅AC AB ，
即4)()(==+⋅+，
因为3=，
4
9=，
425=，而⋅=2
2OM AO -，
由已知21=，所以2
2OM AO -=64
1425=-，所以⋅=6，故选C
10. 【答案解析】D.
如图，取AC 中点为G ，结合已知可得GF //AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，
所以GE ⊥GF,所以2
22GF GE EF +=，当四面体绕AB 旋转时，因为GF //平面α，GE
与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，
此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21
，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为2
1
，11F E 取
得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [2
1，22]，故选D
11. 【答案解析】6
5π
θ=. 由已知得21sin =
θ，因为 )2
3,2(ππθ∈，所以65πθ= 12． 【答案解析】a =2.
作出平面区域，由题设画图分析可知，当⎩⎨⎧=-=a
y a x 10
5时，y x z 52-=取得最小值，由此
求得2=a .
13． 【答案解析】
3
32. 由题意，该几何体为一个四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为2，体积为
3
3224312=⨯⨯ 14. 【答案解析】),1(+∞.
由于函数)(x f y =的图象关于y 轴对称，且在0≥x 上为增函数，所以当
)2()(t f t f ->时，t t ->2，由此解得1>t ，所以t 的取值范围是),1(+∞
15. 【答案解析】42014=a .
由2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈）．可得：)
2()
2(2
)2(12-=-=
-++n n n a a a （*N n ∈），所以，数列{}n a 是一个周期数列，周期为2，由于2
2
212-=
-a a ，31=a ，
所以2a =4，由周期性得2014a =4 16. 【答案解析】
22
3
<<m . 由⎩
⎨⎧>>-0022m m m ，（1）当10<<m 时，)1,21(2122
22
∈--=--=m m m m m m e ，φ∈m 当1>m 时，)1,2
1
()1(22
∈-=-=
m m m m e ，223<<m 17. 【答案解析】)
0,49
(-.
如图，直线y=x-a 与函数1)(-==x
e x
f y 的图象在0≥x 处有一个切点，
切点
坐标为（0，0），此时0=a ；直线a x y -= 与函数
x x y 22
--=)0(<x 的图象有一个切点，切点坐标是)43,23(-，此时相应
49-
=a ，观察图象可知，方程a x x f -=)(有三个不同的实根时，实数a 的取值范围是)
0,49
(-.
18．（本小题满分14分）
【答案解析】（Ⅰ）()x x f 22cos 60cos -=︒x x 2cos 2
1
4322cos 141+=++=
，由 ππππ2222+≤≤+k x k )(Z k ∈，可得函数()f x 的单调递增区间为
)](,2
[Z k k k ∈++
πππ
π，当且仅当)(Z k k x ∈+=ππ时，函数()f x 取得最大值，其最大
值是
4
5
. （Ⅱ）．由余弦定理3
cos
22
2
2
π
bc a c b =-+得3=bc ，由此可得
4
3
32323sin 21=⨯==
∆A bc S ABC .
19．（本小题满分14分）
【答案解析】（Ⅰ）设1+=n n a c ，则数列⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧n c 1是一个等差数列，其首项为21，公差也是21
，
所以
221)1(211n n c n =-+=，所以12
-=n
a n ， （Ⅱ）由（1）得1
22
1
221-==
+=n n n n a b ，所以数列{}n b 的前10项和10
S
9
10
92212]211[22121211⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=ΛΛ5121023
= 20．（本小题满分15分）
【答案解析】（Ⅰ）因为0
90=∠ACB ，所以BC AC ⊥，当PC AC ⊥
时，PBC AC 平面⊥，
而PBC PB 平面⊂，所以PB AC ⊥，此时，63322=+=+=PC AC PA ，即当
PA=6时，PB AC ⊥
（Ⅱ）在PBC ∆中，因为PC=3，︒=∠60PBC
BC=1，所以PC BC ⊥，当PAB ∆的面积取得最大值时，︒
=∠90PBA ，（如
图）在PBA Rt ∆中，因为AB=PB=2，由此可求得BD=2，又在BCD Rt ∆中，BC=1，所以CD=1，由于BCD PA 平面⊥，所以PBA BCD 平面平面⊥，所
以CBD ∠就是直线BC 与平面PAB 所成角，在BCD Rt ∆中，因为BC=CD=1，所以
︒=∠45CBD ，所以直线BC 与平面PAB 所成角的大小为︒45 18．（本小题满分15分）
【答案解析】 （Ⅰ）令022)(=-='x
e x
f ，得0=x .当0≥x 时，0)(≥'x f ；当0<x 时，
0)(<'x f ，故函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增，函数)(x f y =在区间)0,(-∞上单
调递减.
（Ⅱ）m x x e x h x
---=2
22)(，x e
x h x
222)(--='
令x e x g x 222)(--=，当]3,0[∈x ，0)1(2)(>-='x e x g ，所以)(x g 在]3,0[∈x 上为增函数，对于任意]3,0[∈x ，有)0()(g x g >，即0)0(222)(='>--='h x e
x h x
，所以
)(x h 在]3,0[∈x 上是增函数，)(x h 的最大值m e h --=152)3(3
，故函数)(x h y =有
零点时，实数m 的最大值是1523
-e
.
22．（本小题满分14分）
【答案解析】 （Ⅰ）直线p x 2=与抛物线y 2=2p x 的两个交点坐标分别是：M ()p p 2,2，
N ()p p 2,2-，弦长)0(4>=p p MN ，故三角形ABO 是∆Rt ，所以过A ，B ，O 三点的圆方程是：2
2
2
4)2(p y p x =+-
（Ⅱ）解：设点),2(),,2(22
2
121y p
y B y p y A ，直线AB 的方程为：b my x +=，它与抛物线相
交，由方程组⎩⎨
⎧=+=px
y b my x 22
消去x 可得0222
=--pb mpy y ，故mp y y 221=+，pb y y 221-=，
这样，tan =4π
()212121122
12122
111tan tan 1tan tan tan y y x x y x y x x x y y x y x y -+=-+
=-+=+βαβαβα()2
212142p y y y y p -+=
即1=
p b mp
p pb mp p 2242222
+-=--⋅，所以mp p b 22--=，所以直线AB 的方程可以写成为：
mp p my x 22--=，即()p y m p x 22-=+，所以直线AB 过定点()p p ，
22- .
题号：03
“数学史与不等式选讲”模块（10分）
解(Ⅰ)由于1=++c b a ，所以222)3()2()1(+++++c b a
)642()14(c b a c b a ++++++=)32(215c b a +++=，由柯西不等式 14))(941()32(2=++++≤++c b a c b a ，当且仅当
3
21c
b a =
=时， )32(c b a ++取得最大值14，又因为1=++c b a ，由此可得：当
149,144,141=
==c b a 时，222)3()2()1(+++++c b a 取得最大值14215+
(Ⅱ)因c b a ,,是正实数，故⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+
+a bc c ab c ab b ac b ac a bc c ab b ac a bc 21 1)(=++≥b a c ，
又因222c b a ca bc ab ++≤++，所以1)()(32=++≤++c b a ca bc ab 所以
)(3ca bc ab c
ab
b a
c a bc ++≥++．
题号：04
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分) 解(Ⅰ)①当切线l 垂直于x 轴时，由题设可求得)712,712(
A ，)7
12
,712(-B ，
（或)712,712(-
'A ，)7
12
,712(--'B ）
，故1-=⋅OB OA k k ，所以OB OA ⊥； ② 当切线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：m kx y +=，解方程组
⎩
⎨⎧
=-++=012432
2y x m kx y 01248)43(2
22=-+++⇒m kmx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=
++-=22122214384312
4k km x x k m x x ，
2212122121)())((m x x mk x x k m kx m kx y y +++=++=，所以
22
222
2121)438()43124)(1(m k
km
mk k m k y y x x ++-++-+=+ （*），因为直线m kx y +=与圆71222=
+y x 相切，所以712
12
=+k m ，即)1(71222k m +=，代入方程（*）化简得02121=+y y x x。