创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第八章 平面解析几何 第8节 精品
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[答案] C
3．已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－
1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的
轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0
B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0
[解析] 设 Q(x，y)，则 P(－2－x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0
【名师说“法”】
定义法求轨迹方程： (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹 符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨 迹方程． (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其 中的变量x或y进行限制．
跟踪训练 已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A， B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程． [解] 由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF| ＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点 F 的轨 迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的下支．又 c＝7，a ＝1，b2＝48，故点 F 的轨迹方程为 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
[解] 设动圆 P 的半径为 r，∴|PM|＝r＋ 2，|PN|＝r－ 2. ∴|PM|－|PN|＝2 2，又 M(－4,0)，N(4,0)，∴|MN|＝8.∴2 2＜ |MN|.由双曲线定义知，P 点轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的 右支．∵a＝ 2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴方程为x22－1y42 ＝ 1(x≥ 2)．
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝ (R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左，右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点 除外)，其方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．
[延伸探究] 本例中圆 M，N 方程分别变为“圆 M：(x＋4)2 ＋y2＝2；圆 N：(x－4)2＋y2＝2”其余条件不变，求 C 的方程．
考点三 相关点法(代入法)求轨迹方程(重点型考点——师 生共研)
【例 2】 已知 P 是椭圆ax22＋by22＝1 上的任意一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，若O→Q＝P→F1＋P→F2，则动点 Q 的轨迹方程是________．
[解析] 由O→Q＝P→F1＋P→F2，又P→F1＋P→F2
则 l 的方程为 y＝kx＋1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点
[答案] 以点(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆
[方法点睛] (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简 捷．但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手．(2)个别 考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终 结论．(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数， 参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内 在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后， 即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹 的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程．
[答案] A
2．已知动点 P(x，y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率 之 积 等 于 常 数 λ(λ≠0) ． 则 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 为 ________________________．
[解析] 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零， 所以 kPM·kPN＝x＋y 1·x－y 1＝λ，整理得 x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)．即 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)．
＝2|PB|，所以 x＋12＋y2＝2 x－12＋y2.两边平方，得(x＋1)2
＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
整理，得 x2＋y2－130x＋1＝0，即x－532＋y2＝196.故动点 P
的轨迹方程为x－532＋y2＝196.
[答案] x－532＋y2＝196
考点二 定义法求轨迹方程(重点型考点——师生共研) [一题多变]
[答案] D
2．(2015·高考浙江卷)如图，斜线
段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，B 为斜
足，平面 α 上的动点 P 满足∠PAB＝30°，
则点 P 的轨迹一支
[解析] 由题意知，当点 P 运动时，在空间中，满足条件 的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成 60°角的平 面截圆锥，所得图形为椭圆，故选 C.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
3．求轨迹方程的五个常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先 根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线， 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
[小题查验]
1．方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
[解析] 原方程可化为x2－x＋3≥3y－0 1＝0， 或 x－3－1＝0， 即 2x＋3y－1＝0 (x≥3)或 x＝4，故原方程表示的曲线是一条射 线和一条直线．
F→P·F→Q，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( )
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
[解析] 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)．∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即 2(y＋1)＝x2－2(y －1)，整理得 x2＝4y，∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.
方程为 y＋4pk＝1k－1 k(x－4pk2)，即1k－ky＋4p＝x，
①
直线 OM 的方程为 y＝－1k－kx.
②
可知 M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去 k 得 4px＝ x2＋y2，即(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，当 k＝±1 时，容易验证 M 点的坐标仍适合上述方程．
故点 M 的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，其轨迹是以 点(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆．
＝P→M＝2P→O＝－2O→P，设 Q(x，y)，则O→P＝－
12O→Q＝－12(x，y)＝－2x，－2y，即 P 点坐标为
－2x，－2y，又 P 在椭圆上，则有－a22x2＋－b22y2＝1，
即4xa22＋4yb22＝1.
[答案] 4xa22＋4yb22＝1
跟踪训练
已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1 的左，右焦点，点 P
[解析] 设点 M 的坐标为(x，y)，直线
OA 的方程为 y＝kx，显然 k≠0，则直线 OB
的方程为 y＝－1kx.
由
y＝kx， y2＝4px，
解得 A 点的坐标为
4kp2 ，4kp，类似地可得 B 点的坐标为(4pk2，－4pk)，
从而知当 k≠±1 时，kAB＝44ppk11k2－＋kk2＝1k－1 k.故得直线 AB 的
(4)代入法(相关点法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0， y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的 轨迹方程；
(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到， 也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数) 表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
由
三
角
形
重
心
坐
标
关
系
可
得
x＝x0－31＋1， y＝y30.
即
x0＝3x， y0＝3y.
代入x420＋y302＝1
得重心 G 的轨迹方程为94x2＋3y2＝
1(y≠0)．
动点所满足的条件不易得出，但形成轨迹的动点 P(x，y) 却随另一动点 Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 x′，y′表示成 x，y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，整理化简即得动点 P 的轨 迹方程．
直接法求轨迹方程的解题策略 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出 方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条 件寻找等量关系，得出方程．
[题组集训]
1．(2016·杭州调研)已知点 F(0,1)，直线 l∶y＝－1，P 为平
面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝
第八章 平面解析几何 第8节 曲线与方程
◆考纲·了然于胸◆ 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题 的基本方法． 3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方 程．
[要点梳理] 1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二 元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立如下的对应关系：
思想方法 18 利用参数法求轨迹方程 典例 已知抛物线 y2＝4px(p＞0)，O 为顶点，A、B 为抛物 线上的两动点，且满足 OA⊥OB，如果 OM⊥AB 于 M 点，则点 M 的轨迹为________．
审题视角 (1)点 M 的运动是由 A 点的运动引起的，而 A 的变动又和 OA 的斜率有关．(2)若 OA 的斜率确定，A 的坐标 确定，M 的坐标也确定，所以可选 OA 的斜率为参数．
为椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( )
A.3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B.49x2＋y2＝1(y≠0)
C.94x2＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋43y2＝1(y≠0)
[解析] 依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x，
y)
，
则
跟踪训练 设椭圆方程为 x2＋y42＝1，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，O 是坐标原点，点 P 满足O→P＝12(O→A＋O→B)，当 l 绕点 M 旋转时，动点 P 的轨迹方程为__________________．
[解析] 直线 l 过点 M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为 k，
[答案] y2＋5x＋5＝0
5．设 P 为双曲线x42－y2＝1 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是____________．
[解析] 设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－ 4y2＝1，即为所求．
[答案] x2－4y2＝1
考点一 直接法求轨迹方程(基础型考点——自主练透) [方法链接]
[答案] x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
3．已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，试建立恰当的平 面直角坐标系，动点 P 的轨迹方程为____________．
[解析] 如图所示，以 AB 的中点 O 为原点，
直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标
系，则 A(－1,0)，B(1,0)．设 P(x，y)，因为|PA|
【例 1】 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲 线 C.求 C 的方程．
[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.
得 2x－y＋5＝0.
[答案] D
4．已知点 A(－2,0)，B(－3,0)，动点 P(x，y)满足P→A·P→B＝ x2＋1，则点 P 的轨迹方程是____________．
[解析] 由题意得P→A＝(－2－x，－y)，P→B＝(－3－x，－y)， ∴P→A·P→B＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1.即 y2＋5x＋5＝0.
3．已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－
1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的
轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0
B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0
[解析] 设 Q(x，y)，则 P(－2－x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0
【名师说“法”】
定义法求轨迹方程： (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹 符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨 迹方程． (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其 中的变量x或y进行限制．
跟踪训练 已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A， B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程． [解] 由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF| ＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点 F 的轨 迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的下支．又 c＝7，a ＝1，b2＝48，故点 F 的轨迹方程为 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
[解] 设动圆 P 的半径为 r，∴|PM|＝r＋ 2，|PN|＝r－ 2. ∴|PM|－|PN|＝2 2，又 M(－4,0)，N(4,0)，∴|MN|＝8.∴2 2＜ |MN|.由双曲线定义知，P 点轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的 右支．∵a＝ 2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴方程为x22－1y42 ＝ 1(x≥ 2)．
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝ (R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左，右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点 除外)，其方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．
[延伸探究] 本例中圆 M，N 方程分别变为“圆 M：(x＋4)2 ＋y2＝2；圆 N：(x－4)2＋y2＝2”其余条件不变，求 C 的方程．
考点三 相关点法(代入法)求轨迹方程(重点型考点——师 生共研)
【例 2】 已知 P 是椭圆ax22＋by22＝1 上的任意一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，若O→Q＝P→F1＋P→F2，则动点 Q 的轨迹方程是________．
[解析] 由O→Q＝P→F1＋P→F2，又P→F1＋P→F2
则 l 的方程为 y＝kx＋1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点
[答案] 以点(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆
[方法点睛] (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简 捷．但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手．(2)个别 考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终 结论．(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数， 参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内 在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后， 即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹 的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程．
[答案] A
2．已知动点 P(x，y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率 之 积 等 于 常 数 λ(λ≠0) ． 则 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 为 ________________________．
[解析] 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零， 所以 kPM·kPN＝x＋y 1·x－y 1＝λ，整理得 x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)．即 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)．
＝2|PB|，所以 x＋12＋y2＝2 x－12＋y2.两边平方，得(x＋1)2
＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
整理，得 x2＋y2－130x＋1＝0，即x－532＋y2＝196.故动点 P
的轨迹方程为x－532＋y2＝196.
[答案] x－532＋y2＝196
考点二 定义法求轨迹方程(重点型考点——师生共研) [一题多变]
[答案] D
2．(2015·高考浙江卷)如图，斜线
段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，B 为斜
足，平面 α 上的动点 P 满足∠PAB＝30°，
则点 P 的轨迹一支
[解析] 由题意知，当点 P 运动时，在空间中，满足条件 的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成 60°角的平 面截圆锥，所得图形为椭圆，故选 C.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
3．求轨迹方程的五个常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先 根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线， 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
[小题查验]
1．方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
[解析] 原方程可化为x2－x＋3≥3y－0 1＝0， 或 x－3－1＝0， 即 2x＋3y－1＝0 (x≥3)或 x＝4，故原方程表示的曲线是一条射 线和一条直线．
F→P·F→Q，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( )
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
[解析] 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)．∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即 2(y＋1)＝x2－2(y －1)，整理得 x2＝4y，∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.
方程为 y＋4pk＝1k－1 k(x－4pk2)，即1k－ky＋4p＝x，
①
直线 OM 的方程为 y＝－1k－kx.
②
可知 M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去 k 得 4px＝ x2＋y2，即(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，当 k＝±1 时，容易验证 M 点的坐标仍适合上述方程．
故点 M 的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，其轨迹是以 点(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆．
＝P→M＝2P→O＝－2O→P，设 Q(x，y)，则O→P＝－
12O→Q＝－12(x，y)＝－2x，－2y，即 P 点坐标为
－2x，－2y，又 P 在椭圆上，则有－a22x2＋－b22y2＝1，
即4xa22＋4yb22＝1.
[答案] 4xa22＋4yb22＝1
跟踪训练
已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1 的左，右焦点，点 P
[解析] 设点 M 的坐标为(x，y)，直线
OA 的方程为 y＝kx，显然 k≠0，则直线 OB
的方程为 y＝－1kx.
由
y＝kx， y2＝4px，
解得 A 点的坐标为
4kp2 ，4kp，类似地可得 B 点的坐标为(4pk2，－4pk)，
从而知当 k≠±1 时，kAB＝44ppk11k2－＋kk2＝1k－1 k.故得直线 AB 的
(4)代入法(相关点法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0， y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的 轨迹方程；
(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到， 也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数) 表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
由
三
角
形
重
心
坐
标
关
系
可
得
x＝x0－31＋1， y＝y30.
即
x0＝3x， y0＝3y.
代入x420＋y302＝1
得重心 G 的轨迹方程为94x2＋3y2＝
1(y≠0)．
动点所满足的条件不易得出，但形成轨迹的动点 P(x，y) 却随另一动点 Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 x′，y′表示成 x，y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，整理化简即得动点 P 的轨 迹方程．
直接法求轨迹方程的解题策略 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出 方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条 件寻找等量关系，得出方程．
[题组集训]
1．(2016·杭州调研)已知点 F(0,1)，直线 l∶y＝－1，P 为平
面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝
第八章 平面解析几何 第8节 曲线与方程
◆考纲·了然于胸◆ 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题 的基本方法． 3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方 程．
[要点梳理] 1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二 元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立如下的对应关系：
思想方法 18 利用参数法求轨迹方程 典例 已知抛物线 y2＝4px(p＞0)，O 为顶点，A、B 为抛物 线上的两动点，且满足 OA⊥OB，如果 OM⊥AB 于 M 点，则点 M 的轨迹为________．
审题视角 (1)点 M 的运动是由 A 点的运动引起的，而 A 的变动又和 OA 的斜率有关．(2)若 OA 的斜率确定，A 的坐标 确定，M 的坐标也确定，所以可选 OA 的斜率为参数．
为椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( )
A.3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B.49x2＋y2＝1(y≠0)
C.94x2＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋43y2＝1(y≠0)
[解析] 依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x，
y)
，
则
跟踪训练 设椭圆方程为 x2＋y42＝1，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，O 是坐标原点，点 P 满足O→P＝12(O→A＋O→B)，当 l 绕点 M 旋转时，动点 P 的轨迹方程为__________________．
[解析] 直线 l 过点 M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为 k，
[答案] y2＋5x＋5＝0
5．设 P 为双曲线x42－y2＝1 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是____________．
[解析] 设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－ 4y2＝1，即为所求．
[答案] x2－4y2＝1
考点一 直接法求轨迹方程(基础型考点——自主练透) [方法链接]
[答案] x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
3．已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，试建立恰当的平 面直角坐标系，动点 P 的轨迹方程为____________．
[解析] 如图所示，以 AB 的中点 O 为原点，
直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标
系，则 A(－1,0)，B(1,0)．设 P(x，y)，因为|PA|
【例 1】 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲 线 C.求 C 的方程．
[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.
得 2x－y＋5＝0.
[答案] D
4．已知点 A(－2,0)，B(－3,0)，动点 P(x，y)满足P→A·P→B＝ x2＋1，则点 P 的轨迹方程是____________．
[解析] 由题意得P→A＝(－2－x，－y)，P→B＝(－3－x，－y)， ∴P→A·P→B＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1.即 y2＋5x＋5＝0.