【初中数学】第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 [人教版九年级上册] (练习题)

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式[人教
版九年级上册] (2912)
1.已知二次函数的图象经过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是（）
A.y=2x2+x+2
B.y=x2+3x+2
C.y=x2−2x+3
D.y=x2−3x+2
2.已知二次函数y=ax2+bx的图象过点(6，0)，(−2，8).
(1)求此二次函数的解析式；
(2)写出该函数图象的对称轴和顶点坐标
3.顶点为M(−2，1)，且经过原点的抛物线的解析式是（）
A.y=(x−2)2+1
B.y=−1
4
(x+2)2+1
C.y=(x+2)2+1
D.y=1
4
(x−2)2+1
4.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，−1)，那么这个二次函数的解析式可以是．
5.已知抛物线的顶点坐标是(3，−1)，与y轴的交点坐标是(0，−4)，则这个抛物线的函数解析式为
6.已知二次函数的图象经过点(4，−3)，并且当x=3时，函数有最大值4，求出对应的二次函数解析式．
7.已知一抛物线与x轴交于点A(−2,0)，B(1,0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为.
8.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1，0)，且经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点M的坐标
9.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=1
2
x2−4x+3相同，顶点坐标为(−2，1)，则该抛物线的函数解析式为（）
A.y=1
2(x−2)2+1 B.y=1
2
(x+2)2−1
C.y=1
2(x+2)2+1 D.y=−1
2
(x+2)2+1
10.二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点是(−1,−3)，则b、c的值为（）
A.b=2，c=4
B.b=2，c=−4
C.b=−2，c=4
D.b=−2，c=−4
11.抛物线经过点A(2,0)，B(−1,0)，且与y轴交于点C．若OC=2，则该抛物线解析式为（）
A.y=x2−x−2
B.y=−x2−x−2或y=x2+x+2
C. −y=−x2+x+2
D.y=x2−x−2或y=−x2+x+2
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点及点(−2，−2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．
13.已知二次函数y=1
2
x2+bx+c的图象经过点A(c，−2)，
求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3.
题目中矩形方框部分是一段被墨水污损了无法辨认的字.
(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中二次函数的解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.
(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形方框中添加一个适当的条件，把原题补充完整
14.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点C和点D的坐标；
(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．
注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(−b
2a ,4ac−b2
4a
)．
参考答案
1.【答案】:D
【解析】:设函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
则{a+b+c=0,
4a+2b+c=0,
c=2,解得{
a=1,
b=−3,
c=2,
∴该函数的解析式为y=x2−3x+2
2
(1)【答案】解：因为二次函数y=ax2+bx的图象过点(6，0)，(−2，8)，
所以{36a+6b=0，4a−2b=8，
解得{
a=1
2
，b=−3，
所以此二次函数的解析式为y=1
2
x2−3x.
(2)【答案】因为y=1
2x2−3x=1
2
(x−3)2−9
2
，
所以该函数图象的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，−9
2
).
3.【答案】:B
4.【答案】:y=2x2−1(答案不唯一)
【解析】:因为抛物线的顶点坐标为(0，−1)，
所以可设该抛物线的解析式为y=ax2−1.
又因为二次函数的图象开口向上，
所以a>0，
所以这个二次函数的解析式可以是y=2x2−1(答案不唯一).
5.【答案】:y=−1
3
(x−3)2−1
【解析】:因为抛物线的顶点坐标是(3，−1)
所以设抛物线的函数解析式为y=a(x−3)2−1.
又因为抛物线过点(0，−4)
所以−4=a(0−3)2−1，
解得a=−1
.
3
(x−3)2−1.
所以这个抛物线的函数解析式为y=−1
3
6.【答案】:∵当x=3时，函数有最大值4，
∴函数的顶点坐标为(3,4)，
设此函数的解析式是y=a(x−3)2+4.
再把(4，−3)代入函数解析式中，
得a×(4−3)2+4=−3，
解得a=−7，
故二次函数的解析式是y=−7(x−3)2+4，
即y=−7x2+42x−59
【解析】:根据二次函数的图象与性质，得出函数的顶点坐标为(3,4)，
利用顶点式设出二次函数解析式，再将(4，−3)代入，计算出二次函数的解析式
7.【答案】:y=2x2+2x−4
8
(1)【答案】解：直线y=x−3与x轴，y轴的交点坐标分别是(3,0)，(0，−3)，
∵抛物线过点(−1，0)，(3，0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x−3)(x+1).
把(0，−3)代入，得−3=−3a，
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x−3)(x+1)，即y=x2−2x−3.
(2)【答案】∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4,
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,−4).
9.【答案】:C
【解析】:已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y=a(x−ℎ)2+k，
x2−4x+3相同，
又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y=1
2
所以a=1
，
2
所以该抛物线的函数解析式是y=1
2
(x+2)2+1
10.【答案】:D
【解析】:因为二次函数y=−x2+bx+c的二次项系数−1<0，
所以该函数图象的开口方向向下，
所以二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点坐标(−1，−3)就是该函数图象的顶点坐标.又因为二次项系数为−1，
所以二次函数的解析式为y=−(x+1)2−3.
化为一般形式，得y=−x2−2x−4，所以b=−2，c=−4.
故选D.
11.【答案】:D
【解析】:设抛物线的解析式为y=a(x−2)(x+1)(a≠0)
∵OC=2
∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，−2）
①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得2=a(0−2)(0+1)
解得a=−1
∴抛物线解析式为y=−1(x−2)(x+1)，即y=−x2+x+2
②当抛物线和y轴交点的为（0，−2）时，−2=a(0−2)(0+1)
解得a=1
∴抛物线解析式为y=(x−2)(x+1)，即y=x2−x−2.
故选：D．
12.【答案】:y=1
2x2+2x或y=−1
6
x2+2
3
x
【解析】:∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为(−4，0)或(4，0)，
①当这个交点坐标为(−4，0)时，
{
c=0,
4a−2b+c=−2,
16a−4b+c=0,
解得{
a=1
2
,
b=2,
c=0,
∴该二次函数的解析式为y=1
2
x2+2x；
②当这个交点坐标为(4，0)时，
{
c=0,
4a−2b+c=−2,
16a+4b+c=0,
解得{
a=−1
6
,
b=2
3
,
c=0,
∴该二次函数的解析式为y=−1
6x2+2
3
x．
故这个二次函数的解析式为y=1
2x2+2x或y=−1
6
x2+2
3
x
13
(1)【答案】解：能.
由结论中的对称轴是直线x=3，
得−b
2×12
=3，则b=−3.
因为图象经过点A(c，−2)，
所以1
2
c2−3c+c=−2，
c2−4c+4=0，
(c−2)2=0，
所以c=2，
所以二次函数的解析式为y=1
2
x2−3x+2.
(2)【答案】可添加条件：B(0，2).(答案不唯一)
14
(1)【答案】解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，
∴{−1−b+c=0,
−9+3b+c=0，
解得{
b=2, c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3
【解析】:∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，
∴{−1−b+c=0,
−9+3b+c=0，
解得{
b=2, c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3 (2)【答案】∵x=0时，y=3
∴点C的坐标为(0，3)．
y=−x2+2x+3
=−(x2−2x+1)+4 =−(x−1)2+4，
∴点D的坐标为(1，4)
【解析】:∵x=0时，y=3
∴点C的坐标为(0，3)．
y=−x2+2x+3
=−(x2−2x+1)+4
=−(x−1)2+4，
∴点D的坐标为(1，4)
(3)【答案】设点P(x，y)，其中x>0，y>0，
S△COE=1
2×3×1=3
2
,
S△ABP=1
2
×4y=2y,
S△ABP=4S△COE,
∴2y=4×3
2
,
∴y=3.
∴−x2+2x+3=3，
解得x=2(x=0舍去)．
∴点P的坐标为(2，3)
【解析】:设点P(x，y)，其中x>0，y>0，
\(S_{\triangle COE}={\dfrac{1}{2}}\times 3\times 1={\dfrac{3}{2}}, S_{\triangle ABP}={\dfrac{1}{2}}\times 4y=2y\),
S△ABP=4S△COE, ∴2y=4×3
2
,
∴y=3.
∴−x2+2x+3=3，
解得x=2(x=0舍去)．
∴点P的坐标为(2，3)。