三角函数公式和积化和差公式汇总

三角函数公式和积化和差公式汇总
三角函数公式的积化和差是解决三角函数的重要方法，可以将不同角度的三角函数表示为同一角度的三角函数的和或差。

下面是一些常用的三角函数公式：
两角和公式：
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式：
tan2A = 2tanA/(1-tan2A)
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式：
sin3A = 3sinA-4(sinA)3
cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana·tan(π/3+a)·XXX(π/3-a)
半角公式：
sin(A/2) = √[(1-cosA)/2]
cos(A/2) = √[(1+cosA)/2]
tan(A/2) = √[(1-cosA)/(1+cosA)]
cot(A/2) = √[(1+cosA)/(1-cosA)]
和差化积：
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sina-sinb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cosa+cosb = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cosa-cosb = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb= (sin(a+b))/(cosacosb)
积化和差：
sinasinb = -(1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = (1/2)[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = (1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = (1/2)[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式：
sin(-a) = -sina
cos(-a) = cosa
sin(π/2-a) = cosa
cos(π/2-a) = sina
sin(π/2+a) = cosa
cos(π/2+a) = -sina
三角函数公式的积化和差、和差化积以及诱导公式都是解决三角函数问题的重要方法，掌握这些公式可以更加方便地计算三角函数的值。

cos（π/2+α）= -sinα，XXX（π/2+α）= -cotα，cot（π/2+α）= -tanα，sin（π/2-α）= cosα，cos（π/2-α）= sinα，XXX（π/2-α）= cotα，cot（π/2-α）= tanα，sin（3π/2+α）= -cosα，cos
（3π/2+α）= sinα，tan（3π/2+α）= -cotα，cot（3π/2+α）= -
tanα，sin（3π/2-α）= -cosα，cos（3π/2-α）= -sinα，tan（3π/2-α）= cotα，cot（3π/2-α）= tanα（其中k∈Z）。

这些是物理中常用的三角函数公式，可以用来简化计算。

例如，如果需要求π/2+α的cos值，可以直接使用-cosα，而不
需要重新计算。

下面是一些常见的数学公式，包括乘法与因式分解、三角不等式、一元二次方程的解、以及根与系数的关系等。

另外，还有两角和公式和差公式，可以用来计算两个角度的三角函数值之和或差。

例如，sin(A+B)可以表示为XXX。

最后，还有tan和ctg的和差公式，可以用来计算两个角度的tan或ctg值之和或差。

例如，tan(A+B)可以表示为(tanA+tanB)/(1-XXX)。

r是半径
倍角公式：
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
可以改写为：
倍角公式：
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
半角公式：
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)
sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 可以改写为：
半角公式：
sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=±√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积：
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) 2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 可以改写为：
和差化积：
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
某些数列前n项和：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3可以改写为：
某些数列前n项和：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n^2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n^3=n^2(n+1)^2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理：
b^2=a^2+c^2-2accosB
注：角B是XXX和边c的夹角
正切定理：
a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程：
x-a)^2+(y-b)^2=r^2
注：（a,b）是圆心坐标，r是半径
圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F>0.
抛物线的标准方程有y²=2px、y²=-2px、x²=2py和x²=-2py。

直棱柱的侧面积为S=c*h，斜棱柱的侧面积为S=c'*h。

正棱锥的侧面积为S=1/2c*h'，正棱台的侧面积为
S=1/2(c+c')h'。

圆台的侧面积为S=1/2(c+c')l=π(R+r)l，球的表面积为
S=4πr²。

圆柱的侧面积为S=c*h=2πh，圆锥的侧面积为
S=1/2c*l=πr*l。

弧长公式为l=a*r，其中a是圆心角的弧度数，r>0.扇形面积公式为s=1/2*l*r。

锥体体积公式为V=1/3*S*H，圆锥体体积公式为
V=1/3πr²h。

斜棱柱体积为V=S'L，其中S'是直截面面积，L是侧棱长。

柱体体积公式为V=s*h，圆柱体的体积为V=πr²h。

三角函数的积化和差和差化积公式可以用两角和差的正余弦来推导：
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，cos(A-
B)=cosAcosB+sinAsinB
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
将这两式相加或相减，可以得到4组积化和差公式：
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2，
sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2，
sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
记不住公式也可以临时推导，正加正正在前，正减正余在前，XXX都是余，XXX没有余还负，正余正加余正正减，余余余加正正余减还负。

在三角形中，有一些结论：
1)anA+tanB+tanC=XXX
2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1
4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
已知三角形ABC，求证cos2A+cos2B+cos2C=-
4cosAcosBcosC-1.
证明：根据三角形的余弦定理，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab。

将其代入左边的式子，得到
cos2A+cos2B+cos2C=2+2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA。

再将cosA、cosB、cosC代入右边的式子，得到-
4cosAcosBcosC-1=-(b²+c²-a²)(a²+c²-b²)(a²+b²-c²)/(8a²b²c²)-1.
将两边的式子化简，可得到它们是相等的，因此原命题成立。

已知sinα=m sin(α+2β)，|m|<1，求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。

证明：将sinα=m sin(α+2β)展开，得到
sinα=m(sinαcos2β+cosαsin2β)，化简可得tanα=2m/(1+m²)tanβ。

再将tan(α+β)展开，得到tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，代入上式可得tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。

因此，原命题成立。

诱导公式：
1.si n(α+k•360°)=sinα，cos(α+k•360°)=cosα，
tan(α+k•360°)=tanα。

2.sin(180°+β)=-sinα，cos(180°+β)=-cosα。

3.sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα。

4*。

tan(180°+α)=tanα，tan(-α)=tanα。

5.sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα。

6.sin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosα。

7.sin(π/2-α)=cosα，cos(π/2-α)=sinα。

8*。

Sin(3π/2-α)=-cosα，cos(3π/2-α)=-sinα。

9*。

Sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+a)=-sinα。

10*.sin(3π/2+α)=-cosα，cos(3π/2+α)=sinα。

两角和与差的三角函数：
1.两点距离公式。

2.S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，C(α+β):
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

3.S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，C(α-β): cos(α-
β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

4.T(α+β): tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，T(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

5*。

sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α。

1.辅助角公式：
根据三角函数的定义，可以得到以下辅助角公式：
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ
其中，tanφ=b/a或a/b，其终边过点(a,b)或(b,a)。

2.降次、配方公式：
根据三角函数的平方和差公式，可以得到以下降次公式：sin2θ=(1-cos2θ)/2
cos2θ=(1+cos2θ)/2
根据平方公式和平方差公式，可以得到以下配方公式：1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]²
1+cosθ=2cos²(θ/2)
1-cosθ=2sin²(θ/2)
3.三倍角公式：
根据三角函数的平方和差公式，可以得到以下三倍角公式：sin3θ=3sinθ-4sin³θ
cos3θ=4cos³θ-3cosθ
4.万能公式：
根据三角函数的定义和平方和差公式，可以得到以下万能公式：
sin²α+cos²α=1
1+tan²α=sec²α
1+cot²α=csc²α
5.和差化积公式：
根据三角函数的定义和平方和差公式，可以得到以下和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)
cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)
cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)
6.积化和差公式：
根据三角函数的定义和平方和差公式，可以得到以下积化和差公式：
sinαsinβ=1/2[cos(α-β)-cos(α+β)]
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]。