一元函数积分学第2-5节定积分
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把区间 [a, b] 分成 n个
小区间 [ xi-1 , xi ],
y
长度为 D xi xi - xi-1;
(2) 近似替代
在每个小区间 [ xi-1 , xi ]
上任取一点 xi,
o a b x1 x2 xi-1xixi xn-1
x
以 [ xi-1, xi ]为底,f (xi ) 为高的小矩形面积为 Ai f (xi )Dxi
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx.
(a < b)
证 - f (x) f (x) f (x),
b
b
b
- a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
说明:| f ( x)|在区间[a, b]上的可积性是显然的.
则对于每一个取定的 x值,定积分都有一个对应值,
所以它在 [a, b]上定义了一个函数,
记为:
故 a a2 - x2 dx a 2
0
4
a
表示半径为 a 的圆面积的四分之一(第一象限部分)
用上述方法求定积分只适用于特殊情形,
一般情形,需另谋出路 —— 牛—莱公式
四、定积分的性质 和牛顿—莱布尼茨公式
对定积分的补充规定:
(1)当a
b时, b a
f
(
x)dx
0;
(2)当a
b
b 时, a
f
在区间[a, b]上至少存在一个点x ,
使
f
(x)
b
1 -
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a
f
(
x
)dx
f (x )(b - a).
(a x b)
积分中值公式的几何解释:
y
f (x )
o
ax
在区间[a, b]上至少存在一
个点x ,使得以区间[a, b]为
底边,以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f (x ) b x 的一个矩形的面积。
中值定理的应用: 原函数存在定理
——积分上限函数的性质 先引入积分上限函数的概念
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续,
并且设 x 为[a,b]上的一点,
考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a,b]上任意变动,
且只有有限个间断点,
则 f ( x)也一定在区间[a,b]上可积.
若不特别申明,我们以后只讨论连续函数的定积分
1
例1 利用定义计算定积分 0 xdx.
解
将[0,1]n 等分,分点为xi
i ,(i n
1,2,L, n )
小区间[ xi-1 ,
xi ]的长度Dxi
1 ,(i n
1,2,L, n )
取xi xi (i 1,2,L, n)
-
-
1
例2
利用几何意义计算定积1分 -π
1)
xdx.
0π
6 4
2
2) sin x dx.
0a
-31)
a 22
-
x2
4
dx.
6
-
0
解 1) 1 xdx 1 1 1 1 表示
0
2
2
由 x = 0, x = 1, y = 0, y = x
所围成的直角三角形的面积
1
2) sin x dx = 0 -
b
则a f ( x)dx
b
a
g(
x)dx.
(a < b)
证 f ( x) g( x), g( x) - f ( x) 0,
b
a[g( x) - f ( x)]dx 0,
b
b
a g( x)dx - a f ( x)dx 0,
于是
b
a f ( x)dx
b
a
g(
x)dx.
性质5的推论:
(2)
证
bkf a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(xi )Dxi
n
n
lim k 0 i1
f (xi )Dxi
k lim 0 i1
f (xi )Dxi
b
k a f ( x)dx.
定积分对于积分区间
性质4 假设a < c < b
具有可加性
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
即: (1)分割 T1 t0 < t1 < t2 < L < tn-1 < tn T2
Dti ti - ti-1
(2) 近似替代 Dsi v( i )Dti
某小段路程值
某时刻的速度
(3)求和
n
s v( i )Dti
i 1
(4)取极限 max{Dt1,Dt2 ,L,Dtn }
路程的精确值
性质6 设 M 及m分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值,
则
m(b
-
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
-
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b - a) a f ( x)dx M(b - a).
性质6常用于估计积分值的大致范围
n
n
n
则: f (xi )Dxi x i Dxi
i 1
i 1
i 1
i1 nn
1
n2
n
i
i 1
1 n(n 1) 1
n2
2
(n ) 2
1
n
故:
xdx lim
0
0 i1
f (xi )Dxi
1 2
这显然与实际吻合
1
但类似的计算非常困难,参见教材P123 例1
因此,要寻找求定积分的更好的方法 —— 牛—莱公式
lim
0
ห้องสมุดไป่ตู้
[
i 1
f
(xi
)
g(xi
)]Dxi
n
n
lim
0
i 1
f
(xi )Dxi
lim
0
i 1
g(xi )Dxi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
性质3
abkf
(
x
)dx
k
b
a
f
(
x
)dx
(
k 为常数).
常数可与定积分交换顺序 常数是“自由人”
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(xi )Dxi
2 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t ) 是时间间隔[T1 ,T 2 ]上 t 的一个连续函数,且 v(t ) 0 ,
求物体在这段时间内所经过的路程S.
思路: 因为速度是变化的,故无法直接求出路程S,于是 (1)把整段时间分割成若干小段, (2)每小段上速度看作不变,求出该小段上路程的近似值 (3)将各小段的路程相加,便得到路程的近似值, (4)通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.
0
0
解 令 f ( x) e x - x, x [-2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x - x)dx 0, -2
0 e xdx
0
xdx,
-2
-2
于是
-2 e xdx <
-2
xdx.
0
0
性质5常用于定积分的大小比较
性质5的推论:
(1)如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x),
相应曲边梯形面积的近似值为 Si f (x i )Dxi
(3) 求和
将所有小曲边梯形的面积相加可得
n
曲边梯形面积A的近似值为 A f (xi )Dxi
(4) 取极限
i 1
要得到A的精确值 必须利用极限工具,
为此必须让所有区间的长度都无限缩小
设λ为所有小区间长度的最大值
即: λ max{Dx1, Dx2 ,L , Dx n } 则当λ→ 0 时,就有
A?
bx
直接求A是困难的 要设法近似取代,且要尽量精确
方法: 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
(四个小矩形)
(九个小矩形)
显然,小矩形越多,
矩形总面积越接近曲边梯形面积.
由此得出求曲边梯形面积A的一般思路:
曲边梯形如图
(1) 分割 在区间[a,b]内插入若干个分点,
a x0 < x1 < x2 < L < xn-1 < xn b,
记为 [a, b] 积分区间
积分上限
b
f ( x)dx
a
I
n
lim 0 i1
f (xi )Dxi
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达
积 分 变 量
式
积分和
附注:
(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量字母的选取无关.即
b
a
f
(
x
)dx
b
a
f
(t
)dt
b
a f (u)du
(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
例 45
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解
1 f ( x) 3 sin3 x ,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
性质7(定积分中值定理)
第二节 定积分的概念与性质
一、两个实例 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质与N-L公式
返回
一、两个实例
矩形面积 梯形面积
1 曲边梯形的面积
曲边梯形 由连续曲线
y
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
与两条直线 x a 、x b
和 y 0 所围成
oa
( x)dx
a
-b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中,假定定积分都存在,
且不考虑积分上下限的大小.
性质1
b
a
1
dx
b
a
dx
b-a.
b
b
b
性质2 a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx .
证
b
a[ f ( x) g( x)]dx
n
函数的和与差可与 定积分交换顺序
(3)当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时,
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
怎样的函数 f ( x)才在区间[a,b] 上可积呢?.
存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时,
f ( x)一定在区间[a, b]上可积. 定理2 设函数 f ( x)在区间[a,b]上有界,
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 x ,
使
b
a
f
(
x
)dx
f (x )(b - a).
(a x b)
积分中值公式
证
m(b -
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
-
a)
m
1b
b - a a
f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
性质7 常用于 有关 定积分的 证明题中
在[a, b]中任意插入若干个分点
a x < x < x <L< x < x b
0
1
2
n-1
n
把区间[a, b]分成n个小区间,
各小区间的长度依次为 Dxi xi - xi-1,(i 1,2,L),
在各小区间上任取一点xi (xi Dxi ), 作乘积 f (xi )Dxi (i 1,2,L)
n
并作和 S f (xi )Dxi ,
i 1
记 max{Dx1, Dx2 ,L, Dxn },
如果不论对[a, b]怎样的分法,
也不论在小区间[ xi-1 , xi ]上点xi 怎样的取法, 只要当 0时,和S 总趋于确定的极限I ,
我们就称这个极限 I 为函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分,
b
则a f ( x)dx 0.
(a < b)
证 f ( x) 0, f (xi ) 0, (i 1,2,L,n)
n
Dxi 0, f (xi )Dxi 0,
i 1
max{Dx1,Dx2 ,L,Dxn }
n
lim
0
i 1
f
(xi )Dxi
b
f ( x)dx 0.
a
例 34 比较积分值 -2 e xdx 和 -2 xdx 的大小.
三、定积分的几何意义
f ( x) 0,
f ( x) < 0,
b
a
f
( x)dx
A
表示曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx - A
表示曲边梯形面积的负值
f (x) 任意
A1
A2
A3
A4
- - b
a f ( x)dx A1
A2 A3
A4 表示曲边梯形面积的代数和
即:
它是介于 x 轴、函数 f ( x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和. 在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
补充:不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a < b < c,
c
a
f ( x)dx
b
a f ( x)dx
c
b f ( x)dx
则
b
a
f
(
x)dx
c
a
f
(
x)dx
-
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
性质1、2、3常用于定积分的计算
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0,
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)Dti
返回
从以上两例可以看出: 两个背景完全不同的例子,却有着完全类似的解决方案 (1)分割 (2)近似替代 (3)求和 (4)取极限 当我们忽略两例的背景,而把上述解题的思路抽象出来, 就可以得到以下重要的定积分的概念