高中数学 第二章单元检测(A)(含解析)北师大版选修11

第二章 圆锥曲线与方程(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12
，则此椭圆的方程为( )
A.
x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 2
48＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.
x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2
27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2
9＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )
A ．1
B ．a 2
C ．b 2
D ．c 2
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 24
＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 2
4＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2
a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )
A ．(2，2)
B ．(2，5)
C ．(2,5)
D ．(2，5)
7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
8.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|
＋|FB →|＋|FC →|等于( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
9．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(1,2]
B ．(1,2)
C ．
19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，
求弦AB 的长．
20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF 1F 2的面积．
21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52
p ，求AB 所在的直线方程．
22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．
(1)写出C 的方程；
（2）OA →⊥OB →，求k 的值．
第二章 圆锥曲线与方程(A)
1．A
2．B
∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.
∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.]
3．B
4．D ，
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22
＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．
|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)
＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2
≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2
.]
5．B
6．B
7．B
8．B
＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.]
9．C
10．B
11．B
12．D 13.3
2
解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝3
2.
14．2x －y －15＝0
解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 2
2＝4，
两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.
因为线段AB 的中点为P (8,1)，
所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.
所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，
代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0.
即2x －y －15＝0. 15.22
解析 由题意，得b
2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ， 因此e ＝c a
＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22
. 16．③④ 解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52
时，方程表示圆；验证可得③④正确．
17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．
∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 20
9
＝1. ∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2， 把⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝y 2
代入x 2
036＋y 2
09＝1，得x 236＋y 236
＝1，即x 2＋y 2
＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36. 18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1. 由椭圆x 28＋y 24
＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.
又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，
∴b a ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，
∴双曲线C 的方程为x 2－y 23
＝1. 19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠04k ＋82－16k 2>0
，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k
2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)
由弦长公式得：
|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924
＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
则b 2＝a 2－c 2
.因为PF 1⊥PF 2，
所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c ＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
a 2－25
＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，
所以9a 2＋16a 2－25
＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5.
又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．
故所求椭圆方程为x 245＋y 220
＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，①
又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，②
①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，
所以S △PF 1F 2＝12
|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解 焦点F (p 2
，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52
p ，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，
则直线AB 的方程为y ＝k (x －p
2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －p 2，y 2＝2px ，
消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2
＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝
x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝
1＋1k 2·y 1－y 22 ＝ 1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2
＝2p (1＋1k 2)＝52
p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2
)． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，
它的短半轴b ＝22－
32＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 2
4
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y
24＝1，
y ＝kx ＋1.
消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3
k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2
x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2
k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。