2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角恒等变形练习理北师大版

4.3 三角恒等变形
核心考点·精准研析
考点一三角函数式的化简求值
1.(2020·阜阳模拟)若sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,且α为第二象限角,则tan=
( )
A.7
B.
C.-7
D.-
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos2α+1,则sin α=()
A. B. C. D.
3.化简:= .
【解析】1.选B.因为sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=,
即-cos(α-β+β)=-cos α=,所以cos α=-.
又因为α为第二象限角,所以tan α=-,
所以tan==.
2.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.
3.原式=
===1.
:1
答案
2.三角函数式化简的方法
弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.
【一题多解】
倍角降次解T3,原式=
====1.
三角形法解T2,因为α∈,所以sin α>0,cosα>0,由2sin 2α
=cos 2α+1得4sin αcosα=2cos2α,即2sin α=cosα,tan α=,画直角三角形如图
,
不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sin α=.
考点二条件求值问题
命题精解读1.考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.
(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.
2.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.
学霸好方法条件求值的四个必备结论
(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)公式变形:tan α±tanβ=tan(α±β)(1∓tan αtanβ).
(4)辅助角公式:asin x+bcos x=
sin(x+φ)其中sin φ=,cos φ=给角求值
【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:-= .
【解析】-==
==4.
:4
答案
提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.
(2)观察名,尽可能使函数统一名称.
(3)观察结构,利用公式,整体化简.
给值求值
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.
2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tan α=.
【解析】1.由sin α+cosβ=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α
+2sin αcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sin αcosβ
+2cos αsinβ=1,所以sin(α+β)=-.
答案:-
2.因为tan=tan=,
所以=,解得tan α=.
答案:
给值求值问题如何求解?
提示:(1)化简所求式子.
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
给值求角
【典例】(2020·长春模拟)已知sin α=,sin(α-β)=-,
α,β均为锐角,则角β值是.
【解析】因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.
又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.
又sin α=,所以cos α=,sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=,所以β=.
答案:
如何选取合适的三角函数求角?
提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是
(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.
(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.
1.(2020·滁州模拟)若锐角α,β满足tan α+tan β=-tan αtanβ,则α+β=. 【解析】由已知可得=,即tan(α+β)=.又因为
α+β∈(0,π),所以α+β=.
答案:
2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2+cos=,且
sin B=,则A+B= ()
A. B. C. D.
【解析】选C.因为sin 2+cos =,
所以+cos A-sin A=,
即-sin A=,解得sin A=.
因为A为钝角,所以cos A=-=-=-.由sin B=,且B为钝角,
得cos B=-=-=-.所以cos(A+B)=cos Acos B
-sin Asin B=×-×=.又A,B都为钝角,即
A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.
3.(2020·佛山模拟)已知cos α=,α∈(-π,0),则cos= ( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为cos α=,α∈(-π,0),
所以sin α=-=-,
所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=-.
1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°= ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.
sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)
=sin215°-cos215°=-cos 30°=-.
2.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β= .
【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)==,而cos α=,所以
sin α=,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-
cosαsin(α-β)=×-×=,所以β=.
答案:
考点三三角恒等变换的综合应用
【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM ⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.
【解析】连接BP,设∠CBP=α,
其中0≤α<,
则PM=1-sin α,PN=2-cos α,
则周长C=6-2(sin α+cos α)
=6-2sin,
因为0≤α<,所以≤α+<,
故当α+=,即α=时,周长C有最小值6-2.
2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.
(2)求函数y=+的值域.
【解题导思】
序号联想解题
(1) 看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)
看到“求函数y=+的值域”,想到先化简
(2)
y=+
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有
sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或.
(2)y=+
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此,函数的值域是.
1.三角函数应用题的处理方法
(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答
问题.
2.三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用
(1)图像变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图像变换.
(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;
②利用公式T=(ω>0)求周期;
③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的单调区间.
1.如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,求α为何值时矩形的面积最大,
并求出最大值.
【解析】因为∠SOP=α,所以PS=sin α,SR=2cosα,故S矩形PQRS=SR·PS =2cos α·sin α=sin2α,故当α=时,矩形的面积有最大值1.
2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】(1)由已知得f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin.
因为-≤x≤,所以-≤2x-≤,
所以当2x-=-,
即x=-时,f(x)有最小值-;
当2x-=,即x=时,f(x)有最大值.
所以f(x)在上的最大值为,最小值为-.。