线性代数-行列式(完整版)

思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶
性20 ，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.
||
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 一 半, 各 为n! . 2
32
例２
2
3
设 D

,
31
(1)当 为何值时， D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解 2 3 0 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 称为三阶行列式. a31 a32 a33
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1a2 j2 anjn 并冠以符号 (1)N ( j1 j2 jn ) 的项的和.
((决ii)i)定行a1每j标1a一2按j2项自的然an符j顺n 是号序取；排自列不，同列行标、排不列同的列奇的偶n性个元N(素j1的j2 乘j积n ) ； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
9
例4 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
a, b 满足什么条件时有
解 a b0
b a 0 a2 b2
1 01
由题可得，即使
a2 b2 0, a, b R, a b 0.
即 a b 0 时，给定的行列式为零．
例7 a 1 0 1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 411
解a10
1 a 0 a21
n
N (i1i2 in ) tn tn1 t1 t j j 1
例2 N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
N(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：对换在一个排列i1…is…it …in中，若其中某 两排数 列iis1和…iitt互…换is …位i置n,这, 其种余变各换数称位为置一不个变对得换到, 记另为一 ( is it).
17
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。
考虑元素 i j (i 1,2 n),
如果比
i
大，且排在
j

i
前面的元素有
j
t
j
个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
321
213
132
3
1
1
a a a (1)N ( j1 j2 j3 ) j1 j2 j3取遍所有的
1 j1
2 j2
3 j3
三级排列
a11 a12 a11a22 a12a21
(1) N ( j1 j2 )a1 j1 a2 j2
a21 a22
12
21 j1 j2 取12
0
1 和21
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
16
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2 奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
例3
( 31)
(42)
(43)
342114231243 1234
N 5 N 2 N 1 N 0
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成
…kj… (2)
此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未
(iii)项数为 3！=6
24
“-” 321 213 132 （奇排列）
a11 a12 a13
0
123
2
231
2
312
a21 a22 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
从而
此即
23
N (x1x2 xn ) N (xn xn1 x1)
(n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2
N (xn xn1
x1)
n(n 1) 2
I.
（二）n阶行列式定义
分析：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2(2) 21(3) (4)(2) 4 (4) 2(3) 2(2)(2) 11 4
4 6 32 24 8 4 14
10
例5
1 23
4 0 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0
它表示数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
即
7
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
推广之，有如下n 阶行列式定义
定义：
n2个元素aij (i, j 1, 2,, n)排成的n阶行列式
a11 D a21

a12 a22
a1n
a2n

记
(1)N ( j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
Det(aij )
an1 an2 ann
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
26
例1 证明下三角行列式
a11 0 0
a21 a22 0
D a31 a32 a33

0 0 0 a11a22 ann
an1 an2 an3 ann
证： 由定义
D
(1)N ( j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
a11 a12 a13 a1n
0 a22 a23 a2n
D 0 0 a33 a3n a11a22 ann

0 0 0 ann
其中aii 0 (i 1,2,n)
特殊情况: 对角形行列式
a11 0 0 0
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：
0 0
a22 0 0 a33
0
0
a11a22 ann

0 0 0 ann
例2 计算
0 0 D 0
n
0 0
n1
0
0 1 2 0
00 00
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32

(1) a a a N ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
乘积构成，除符号外可写为 a a a 1 j1 2 j2 3 j3 (ii)符号为 (1)N( j1 j2 j3) “+” 123 231 312 （偶排列）
注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.
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(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2
1 0 6 3 0 (1) 246 150
10 48 58
1 0 1
0 2 1 1 2 3 01 (1) 1 0 0
1 0 3 1 2 (1) 00 3 1 01 628
例6 a, b R,
a b0 b a 00 1 01
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、
特征多项式的重要工具.本章介绍了n
阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克
莱姆法则.
第1章 行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
n(n 1) 2
依题意，有
此即
22
N (xn xn1
x1)
n(n 1) 2
I.
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
anjn
和式中,只有当 jn n, jn1 n 1, , j2 2, j1 1时，
所以
a1 j1 a2 j2 anjn 0
D (1)N(123 n) a11a22 ann a11a22 ann
下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积
27
.
同理可得 上三角形行列式
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖 排 称 为 列,
aij中i称 为 行 标, j称 为 列 标, aij 表示第i行第j列元素,
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
例１ 5 1
5 2 (1) 3 13
2
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第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22