G3上期初2015-2016学年2中(文)

青岛二中2015-2016学年第一学段高三期初考试
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设2a >，则1
2
a a +-的最小值是 A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．设全集
R I =，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则 A ．A B ⊆ B ．A
B A =
C ．A B =∅
D ． ()I A C B ≠∅
3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所 剩数据的平均数和方差分别为
A ．5和1.6
B ．85和1.6
C ．85和0.4
D ．5和
4．“*12N ,2n n n n a a a ++∀∈=+”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则
正视图中的x 的值是 A ．2 B ．92 C ．3
2
D ．3
6．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一
个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为
A ．221205x y -=
B ．221520x y -=
C ．2233125100x y -=
D ．22
33110025
x y -=
第5
题图
正视图 侧视图
x
7．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ
C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥
D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 8．函数4cos x
y x e =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是
A B C D 9．已知ABC ∆的三边分别为4,5,6，则ABC ∆的面积为 A
B
C
D
10．已知点G 是ABC ∆的外心，,,GA GB GC 是三个单位向量，且20GA AB AC ++=，如图所示，ABC ∆的顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，则G 点的轨迹为
A ．一条线段
B ．一段圆弧
C ．椭圆的一部分
D ．抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =， 则()f m -= ；
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ； 13.在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形,邻边长分别等于线段,AC CB 的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为 ；
14. 设z x y =+，其中实数,x y 满足20
00x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最大值为6，
则z 的最小值为 ；
15. 设函数()[],f x x x =-其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2,[] 3.π-=-=若直线
(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图像恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围
是 ．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人.
（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； （Ⅱ）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率. 17．（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin()6
f x x x a π
ωω=⋅+
+(0)ω>图象上最高点的纵坐标为2，且图象上
相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求a 和ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
//AD BC ,90BAD ∠=︒, 1BC =
，
AB =13AD AA ==,1E 为11 A B 中点. （Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E ；
（Ⅱ）证明：平面1ACD ⊥平面11BDD B .
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1028a =，892S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有123
131n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+成立.
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n n
n n
a b c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . A 1A
B
1B
C
1C D
1D
1E
20．（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上顶点为A ，右顶点为B
，离心率e =O 为坐标
原点，圆222
:3
O x y +=与直线AB 相切.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线:(2)0)l y k x k =-≠（与椭圆C 相交于E 、F 两不同点，若椭圆C 上一点P 满足
//OP l .求EPF ∆面积的最大值及此时的2k .
21．（本小题满分14分）
已知函数2()(2)x f x ax x a e =+-，1
()(ln )2
g x f x =
，其中R a ∈， 2.71828e =为自然对
数的底数.
（Ⅰ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线过坐标原点，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围.
（Ⅲ）当0a =时，对于满足120x x <<的两个实数12,x x ，若存在00x >，使得
12012
()()
()g x g x g x x x -'=
-成立，试比较0x 与1x 的大小．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B A B C D A C A B B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 4028 12. 132 13. 23 14．3- 15．111
(1,][,)243--⋃
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为111,,A B C ;222,,A B C 则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有121212(,),(,),(,),A A A B A C 12(,),B A
12(,),B B 12(,),B C 121212(,),(,),(,)C A C B C C 共9种 ……………………………4分
其中选出的两个表演项目相同的事件3种，所以31
93
P =
= ………………………6分 （Ⅱ）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为112123,,,,,a b b c c c 则从甲社区表演队中选2人的基本事件有1112111213(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a c a c a c
1211(,),(,),b b b c 1213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)b c b c b c b c b c c c c c c c 共15种
…………………………10分 其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种，所以93
155
P == ………………………12分 17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）1
()4cos sin()4cos cos )6
2
f x x x a x x x a π
ωωωωω=⋅+
+=⋅++
2cos 2cos 112cos 21x x x a x x a ωωωωω=+-++=+++
2sin(2)1.6
x a π
ω=+++ …………………………………………………………… 4分
当sin(2)16
x π
ω+
=时，()f x 取得最大值213a a ++=+
又()f x 最高点的纵坐标为2， 32a ∴+=，即 1.a =- ………………………………6分 又()f x 图象上相邻两个最高点的距离为π,∴()f x 的最小正周期为T π=
所以222T
π
ω=
=, 1ω= …………………………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2sin(2)6
f x x π
=+
由3222,Z.2
6
2
k x k k π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈ 得
2,Z.63k x k k π
π
ππ+≤≤
+∈ ……………………………………………………10分 令0k =，得：
26
3
x π
π≤≤
. 所以函数()f x 在[,]ππ-上的单调递减区间为2[,]63
ππ
………………………………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ， 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以四边形11ADD A 为平行四边形， 所以G 为1A D 的中点，
又1E 为11
A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线， 所以11//B D E G ……………………………………………………………………………4分 又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，
所以1//B D 平面11AD E ． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设AC
BD H =，
因为//AD BC ，所以BHC DHA ∆∆
又 1BC =，3AD =，所以
3AH DH AD
CH BH BC === //AD BC ,090BAD ∠=,所以090ABC ∠=
∴2AC ==
，BD ==
从而1
2
CH =
，2BH =,
所以2
2
2
CH BH BC +=，CH BH ⊥,即AC BD ⊥ ……………………………………9分 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱，1AA ⊥底面ABCD H A
1A
B
1B
C
1C
D
1D
1E G
所以侧棱1BB ⊥底面ABCD ，又AC ⊂底面ABCD ,所以1BB AC ⊥ ………………10分 因为1
BB BD B =，所以AC ⊥平面11BDD B …………………………………………11分
因为AC ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD ⊥平面11BDD B ．……………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，
则101928,a a d =+=8187
8922
S a d ⨯=+⨯= 解得11,3a d ==，所以13(1)32n a n n =+-=-…………………………………………4分
又因为123131n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+，
所以123
132(2)n b b b b n n -⋅⋅=-≥ 两式相除得31
(2)32
n n b n n +=≥-
因为当1n =时14b =适合上式，所以31
(N )32
n n b n n *+=∈-………………………………8分 （Ⅱ）由已知31
22
n n n n n a b n c ⋅+=
=， 则234710312222n n
n T +=++++ 2311473231 22222
n n n n n T +-+=++++ 所以231133331
2 +()22222
n n n n T ++=+++- ……………………………………………10分
从而1111[1()]
131422 +312212
n n n n T -+-+=⨯--，即3772n n n T +=-…………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，直线AB 的方程为：1x
y
a b
+=
，即为0bx ay ab +-= 因为圆O 与直线AB =222223a b b a =+
…… ①……………2分 设椭圆的半焦距为c ，因为2
2
2
b c a += ，2
c e a =
=， 所以
2221
2
a b a -= …… ② …………………………………………………………………3分 由①②得：22
2,1a b ==
所以椭圆C 的标准方程为：2
212
x y +=……………………………………………………5分
（Ⅱ）由2
212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
可得：2222
(12)8820k x k x k +-+-=
设11(,)E x y ，22(,)F x y
则2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k -=+………………………………………………………7分
所以12EF x =-==又点O 到直线EF
的距离d =
//OP l ，∴12EPF EOF S S EF d ∆∆=
==分 又因为22181602k k ∆=->⇒<，又0k ≠，2
102k ∴<<
令2
12(1,2)t k =+∈，则
222222(12)113131()12)22416k k k t t t -=--+=--++（， 所以当241,36t k ==时, 2222(12)12)k k k -+（最大值为1
16
所以当2
1
6
k =
时,EPF ∆
的面积的最大值为2 ………………………………………13分
21．（本小题满分14分） 解: （Ⅰ）
2()(2)x f x ax x a e =+-，2()[2(1)2]x f x ax a x a e '∴=+++-
则2(2)(76)f a e '=+，2
(2)(34)f a e =+
∴函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线为：2(2)(76)(2)y f a e x -=+-
切线过坐标原点，20(2)(76)(02)f a e -=+-，即22
(34)2(76)a e a e +=+
8
11
a ∴=-
………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）2()[2(1)2]x
f x ax a x a e '=+++-
要使()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，只要2
2(1)20ax a x a +++-≥
令2
()2(1)2x ax a x a Γ=+++-
①当0a =时，()22x x Γ=+，在[1,1]-内()(1)0x Γ≥Γ-=，∴()0f x '≥
函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数………………………………………………………4分
②当0a >时，2
()2(1)2x ax a x a Γ=+++-是开口向上的二次函数，
其对称轴为1
(1)1x a
=-+<-，∴()x Γ在[1,1]-上递增，为使()f x 在[1,1]-上单调递增，必
须min ()(1)20x a Γ=Γ-=-≥0a ⇒≤ 而此时0a >，产生矛盾
∴此种情况不符合题意 ………………………………………………………6分
③当0a <时，2
()2(1)2x ax a x a Γ=+++-是开口向下的二次函数，
为使()f x 在[1,1]-上单调递增，必须()0f x '≥，即()0x Γ≥在[1,1]-上恒成立，
∴(1)0(1)0Γ≥⎧⎨Γ-≥⎩ ⇒24020a a +≥⎧⎨-≥⎩
又0a <，20a ∴-≤<
综合①②③得实数a 的取值范围为[2,0]- ………………………………………………8分
（Ⅲ）1
()(ln )ln 2
g x f x x x ==，()ln 1g x x '=+．
因为对满足120x x <<的实数12,x x ,存在00x >，使得12012
()()
()g x g x g x x x -'=-成立，
所以12012()()ln 1g x g x x x x -+=-，即1122
012ln ln ln 1x x x x x x x -+=-，
从而1
122
01112
ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---
212221
12
ln ln x x x x x x x x -+-=-112212
ln
11x x x x x x +-=-．…………………………………………11分
设()ln 1t t t ϕ=+-，其中01t <<，则1
()10t t
ϕ'=->，因而()t ϕ在区间(0,1)上单调递增，
()(1)0t ϕϕ<=，
120x x <<，1201x x ∴<<，从而111222()ln 10x x x x x x ϕ=+-<,又12
10x
x -<
所以01ln ln 0x x ->，即01x x >………………………………………………………。