裂项相消法求和

裂项相消法求和
常见的拆项公式有： ○
1()1
1
111+-
=+n n n n
○
2()()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+=++211
1121211n n n n n n n
○
3()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-1211212112121n n n n
○
4(
)b
a b
a b a --=
+1
1
○
5()!!1!n n n n -+=⋅
○6m
n m n m n C C C -=+-11
○
7()21≥-=-n S S a n n n ○
8()()112
+<<-n n n n n ，
()()
11
1112-<
<+∴
n n n n n ， 即
n
n n n n 1
1111112--<<+- 例1、已知数列{}n a 的各项如下：1，211+，3211++，…………，
n
++++ 3211。

求它
的前n 项和n S 。

解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++++=
1112122
113211n n n n n n n a n
所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=111
413131212112321n n a a a a S n n
121112+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=n n n 例2、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，且123=S ,63=a 。

○1求数列
{}n a 的通项公式；
○2求证：
11111321<++++n
S S S S 解析：○1n a d a d a d a S a n 22
2123362126
11133=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒==
○2()()()1
1
111112
222642+-
=+=⇒
+=+=
++++=n n n n S n n n n n S n n
所以
11
11111413131212111111321<+-=+-++-+-+-=++++n n n S S S S n 例3、数列{}n a 的通项公式是12-=n
n a ，如果数列{}n b 是1
2++=n n n
n a a b ，试求{}n b 的前n
项和n S 。

解析：121211-=∴-=++n n n n
a a
()
()()
1
2
1212121
212
21
21221
1
1----+----=
-+-=
+++n n
n n
n n
n
n
n
n
n b
(
)()1212
2121221
212121221
1
11---=----=+-----=
++++n n n
n n n n n n n n
1212121212121231221---++---+---=+++=+n n n n b b b S
1121212111--=---=++n n
例4、设正数数列的前n 项和n S 满足()214
1
+=
n n a S 。

○1求数列
{}n a 的通项公式；
○2设11+⋅=
n n n
a a
b ，记数列
{}n b 的前n 项和n T 。

解析：○1()()211214
1141
+=⇒+=
--n n n n
a S a S ， ()()()214
11412
121≥+-+=-=--n a a S S a n n n n n ，
化简：
()()0211=--+--n n n n a a a a ，又0>n a
21=-∴-n n a a ，而()21114
1
+=
a S ，即11=a ，12-=∴n a n ○2()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-==
-121121*********n n n n a a b n n n
n n b b b T +++=∴ 21
1
2121121121121513131121+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=n n
n n n 例6、（06年湖北，理科17）已知函数()x f y =的图象经过坐标原点，其导数为()26'-=x x f ，
数列
{}n a 的前n 项和n S ，点()n S n ,均在函数()x f y =的图象上，
○1求数列{}n a 的通项公式； ○2设1
3
+=n n n a a b ，记数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得20m T n <
对所有*
N n ∈都成立的最小正
整数m 的值。

解析：○1依题意设
()()0,2≠+=a bx ax x f ，则()b ax x f +=2'，由()26'-=x x f 可得：
2,3==b a ，n n S n 232-=∴，当2≥n 时，561-=-=-n S S a n n n ，
且11
,1S a n ==，因此()*56N n n a n ∈-=
○
2()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-==+161561211656331n n n n a a b n n n
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=+++=∴161121161561131717112121n n n b b b T n n
要使20m T n
<
对所有*
N n ∈都成立，即10
21161121m n ≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，故10≥m ，所以满足要求的最小正整数m 为10。