2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题

2
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)

2
(2)


解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4

s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态;其次分析该状态下物体的受
力特点;最后结合圆周运动知识,应用运动学和牛顿运动定律综合分析。
f
a= ,Ff=μ2mg
解得 a=μ2g=2.25 m/s2
小物体在餐桌上滑动的初速度为 v0=ωr=3 m/s
由运动学公式 2 − 0 2 =-2ax 可得 x=2 m
由几何关系可得餐桌半径的最小值为 R= 2 + 2 =2.5 m。
(3)当小物体滑离餐桌时,开始做平抛运动,平抛的初速度为小物体在餐桌上
2025
第4讲
高考总复习
专题提升 圆周运动中的临界、极值问题
专题概述:本专题主要解决圆周运动的临界、极值问题,主要包括水平面内
和竖直面内圆周运动的临界、极值问题。水平面内的临界、极值问题主
要涉及静摩擦力和绳子拉力的突变分析,以及静摩擦力或绳子拉力与向心
力的关系;竖直面内的临界、极值问题主要涉及“轻绳”和“轻杆”模型,包括
擦力,当圆盘的角速度增大时,b的静摩擦力先达到最大值,所以b一定比a先开始
滑动,故A、B错误;当b刚要滑动时,物块所受静摩擦力达到最大,则有
2
kmg=mb0 ×2l,解得 b 开始滑动的临界角速度为 ωb0=

,故
2
C 正确;当 a 刚
要滑动时,物块所受静摩擦力达到最大,则有 kmg=ma0 2 l,解得 a 开始滑动的
2
kmg=m1 ·
2l,解得 ω1=

。
2
(2)当 a 所受静摩擦力为 0 时,对 b 有 kmg+FT=m2 2 ·
2l,对 a 有 FT=m2 2 l,联
立可得 ω2=

。

典题2 如图所示,餐桌中心是一个半径为r=1.5 m的圆盘,圆盘可绕中心轴转
动,餐桌其余部分不转动,近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间
典题1 (多选)如图所示,两个质量均为m的木块a和b(均可视为质点)放在水
平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴OO'的距离为2l。木块与圆盘间
的最大静摩擦力为木块重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开
始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的
是( CD )
A.a可能比b先开始滑动
答案 (1)

2
(2)
2
3
解析 (1)当 b 达到最大静摩擦力时,轻绳开始有拉力,kmg=m·
2l1 2 ,解得
ω1=

。
2
(2)开始角速度较小,两木块都靠静摩擦力提供向心力,b先达到最大静摩擦
力,角速度继续增大,则轻绳出现拉力,角速度继续增大,a的静摩擦力增大,
当增大到最大静摩擦力时,开始发生相对滑动,a、b相对于转盘会滑动,
B.a、b所受的静摩擦力始终相等
C.ω=

是
2
D.当 ω=

3
b 开始滑动的临界角速度
时, a
1
所受摩擦力的大小为 kmg
3
解析 两个木块的最大静摩擦力相等,木块随圆盘一起转动,木块所受静摩擦力提
供向心力,由牛顿第二定律得,木块所受的静摩擦力Ff=mω2r,由于两个木块的m、
ω相等,a的运动半径小于b的运动半径,所以b所受的静摩擦力大于a所受的静摩
增大。当静摩擦力最大时,小物体即将滑落,此时圆盘的角速度达到最大,
有Ffm=μ1FN=mrω2,FN=mg
两式联立可得 ω=
1
=2

rad/s。
(2)由题意可得,当小物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零,对应的餐桌半径
取最小值。设小物体在餐桌上滑动的位移为x,在餐桌上做匀减速运动的加
速度大小为 a,则
获取信息
近似认为圆盘与餐桌在同一水平
面内且两者之间的间隙可忽略不 物体从圆盘滑到餐桌时速度大小、方向均不变
计
μ1=0.6,μ2=0.225,小物体与圆盘以
及餐桌之间的最大静摩擦力等于
滑动摩擦力
可确定小物体在圆盘上不滑动时的最大向心加
速度和在餐桌上做匀减速直线运动的加速度
小物体从圆盘上甩出,为使小物 餐桌半径最小时,小物体滑到餐桌边缘的速度
临界角速度为 ωa0=

,因为 ω=


3
<

=ωa0,所以 a 相对圆盘静止,此时 a

物块所受摩擦力是静摩擦力,则有 Ff'=mω2l,解得 a 所受摩擦力的大小为
1
Ff'=3kmg,故
D 正确。
拓展变式 1
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a、b相对于转盘会滑动?
为使小物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大?
(3)若餐桌半径R'= 2 r,则在圆盘角速度缓慢增大时,
小物体从圆盘上被甩出后做平抛运动的水平位移为多少?
答案 (1)2 ra解析 (1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体
的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力