离散型随机变量的均值PPT课件(人教版)

问题提出
某商场将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果 按3︰2︰1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量X的概率散布列：
X
18
24
36
3
2
1
P
6
6
6
思考：每1kg混合糖果的合理定价与这个散布列有什么关系？
合理定价＝随机变量的每个取值×其对应的概率
已知离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的散布列是什么？ （2） EY= aEX b
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
例题选讲
【例1】已知离散型随机变量 ξ的散布列为：
ξ
0
P
1/4
1/2
1/4
求η1=3ξ+2与 η2=ξ2 的散布列和期望。
期望的运算只能用于线性关系的情况
例题选讲
【例2】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分 X的均值是多少？
基本结论
1、若随机变量X服从两点散布，则 EX=p 2、若X～B(n，p)，则 EX＝np
概念生成
一般地，若离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
Pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变 量X的均值（mean）或数学期望（mathematical expectation）.
离散型随机变量的均值反应了随机变量取值的平均 水平
探究新知
2.3.1离散型随机变量的均值
复习引入
1、离散型随机变量X的散布列
若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下 列表格称为X的散布列.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
Pn
2、离散型随机变量散布列的性质：
例题选讲
【例5】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合 格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约 定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人 面试合格的概率都是0.5，且面试是否合格互不影响，求： （1）至少有1人面试合格的概率； （2）签约人数ξ的散布列和数学期望.
则 ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)， 所以，Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，则学生甲和乙在这次英语测验中的成绩
分别是5ξ和5η．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
例题选讲
Eξ＝2
例题选讲
【例7】一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标 有数字2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同 的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子中任取一张 卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其 上面的数记为y，记随机变量η＝ｘ＋ｙ，求η的散布列和数学 期望.
（1）pi≥0，i＝1，2，…； （2）p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
3、两点散布与二项散布
两点散布：随机变量X只有0和1两个取值，其散布列为：
X
01PFra bibliotek1－p
p
二项散布：每次实验的结果只有A产生和A不产生两种可能， 其散布列为：
P(X k) Cnkpk(1 p)n k ，k＝0，1，2，…，n.
【例4】根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇 到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为 保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元. 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施，希望不产生洪水. 试比较哪一种方案好.
（2）求η的散布列及期望Eη.
归纳小结
1、离散型随机变量的散布列只反应随机变量在各取值点的概 率，离散型随机变量的均值反应了随机变量取值的平均水平.
2、离散型随机变量的均值由随机变量的散布列所惟一确定， 且随机变量的均值与随机变量有相同的单位.
3、离散型随机变量的均值是常数，样本数据的平均值随着样 本的不同而变化，它是一个随机变量.样本数据均值随着样本 容量的增加而趋近于随机变量的均值，即总体的均值（如抛 掷骰子所得点数的均值）.
Eξ＝1
例题选讲
【例6】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为 基础设施工程，民生工程和产业建设工程三类，这三类工程 所含项目的个数分别占总数的1/2，1/3，1/6，现有3名工人独 立地从中任选一个项目参与建设. （1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工 程的人数，求ξ的散布列和数学期望.
例题选讲
【例3】一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选 项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错得0 分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率都为0.9，学生乙则 在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求甲、乙 两个学生在这次测验中所得成绩的期望值。 解:设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选 择题个数分别是 ξ 和 η ，
Eη＝8
随堂练习
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付 款期数ξ的散布列为：
x
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元, 分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5期付款， 其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有一位 采用1期付款” 的概率P(A)；