金融工程作业答案

第二阶段作业
一、选择题：
1、某公司三个月后有一笔100万美元的现金流入，为防范美元汇率风险，该公
司可以考虑做一笔三个月期金额为100万美元的（）。

A．买入期货B．卖出期货C．买入期权D．互换
答案：B
解题思路：投资者通过买入期货来防止价格上涨的风险，卖出期货防止价格下跌的风险。

2、通过期货价格而获得某种商品未来的价格信息，这是期货市场的主要功能之
一，被称为（）功能。

A．风险转移B．商品交换C．价格发现D．锁定利润
答案：C
解题思路：期货市场的两大功能为风险规避和价格发现，从题目中可以判断本题为价格发现功能。

3、期权的最大特征是（）。

A．风险与收益的对称性B．卖方有执行或放弃执行期权的选择权
C．风险与收益的不对称性D．必须每日计算盈亏
答案：C
解题思路：期权的买方有执行或者放弃期权的权力，而卖方只有义务没有权力，风险与收益的不对称是期权合约的最大特征。

4、当期货合约愈临近交割日时，现期价格与期货价格渐趋缩小。

这一过程就是
所谓（）现象。

A．转换因子B．基差C．趋同D．Delta中性
答案：C
解题思路：随着交割日的临近，现期价格与期货价格渐趋缩小，这种趋同作用是联系现货市场与期货市场的重要纽带，否则将会出现套利机会。

5、期货交易的真正目的是（）。

A．作为一种商品交换的工具B．转让实物资产或金融资产的财产权
C．减少交易者所承担的风险D．上述说法都正确
答案：C
解题思路：期货市场最初建立就是为了规避现货市场上的风险。

二、解答题：
1、什么是B-S模型，有什么作用？
答案：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。

1973年5月，布莱克与斯科尔斯在“政治经济杂志”
1
N 发表了《期权和公司负债的定价》一文，推导出无红利支付股票的任何衍生产品的价格必 须满足的微分方程，并成功地得出了欧式看涨期权和看跌期权定价的精确公式，是期权的 定价有了突破性的进展，从而成为期权定价的经典模型。

c = SN (
d 1 ) - X
e -r (T -t )
N (d 2 )
其中，
d 1 =
d 2 =
ln(S / X ) + (r + σ 2
/ 2)(T - t )
σ T - t
ln(S / X ) + (r - σ 2
/ 2)(T - t )
σ T - t
= d 1 - σ T - t
含义：首先，从推导过程可以看出，N(d 2)是在风险中性世界中 S T 大于 X 的概率，或 者说式欧式看涨期权被执行的概率，e -r(T -t)XN(d 2)是 X 的风险中性期望值的现值。

SN(d 1)= e -r(T -t)S T N(d 1)是 S T 的风险中性期望值的现值。

其次， ∆ = （d 1) 是复制交易策略中股票的数量，SN （d 1)就是股票的市值, -e -r(T -t)
XN(d 2)则是复制交易策略中负债的价值。

最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset -or -noting call option ）多头和现金或无价值看涨期权（cash -or -nothing option ）空头， SN(d 1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e -r(T -t)XN(d 2)是 X 份现金或无价值看涨期权空头的 价值。

2、期货定价理论有哪些？
答案：二叉树模型和 B-S 模型。

二叉树模型：把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ∆t ，并假设在每一个时间间隔 ∆t 内证券价格只有两种运动的可能：从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；下降到 原先的 d 倍，即 Sd 。

其中， u > 1 ， d < 1 。

价格上升的概率假设为 p ，下降的概率假设
为1- p 。

相应地，期权价值也会有所不同，分别为 f u 和 f d 。

当时间间隔非常小的时候， 资产价格只有这两个运动方向，因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运 动来模拟连续的资产价格运动。

B-S 模型： c = SN (d 1 ) - Xe -r (T -t )
N (d 2 )
其中，
d 1 =
d 2 =
ln(S / X ) + (r + σ 2
/ 2)(T - t )
σ T - t
ln(S / X ) + (r - σ 2
/ 2)(T - t )
σ T - t
= d 1 - σ T - t
3、 简述凸性与久期的区别与联系。

答案：区别：凸性准确地描述了债券收益率与价格之间的非线性反向关系，而久期描述了 债券收益率与价格之间的线性反向关系，是一个近似的计算。

联系：凸性与久期都涉及了债券收益率的变动与债券价格变动之间的联系，二者均描 述了债券收益率与价格之间的反向关系。

当债券收益率变动幅度比较小时，凸性与久期两 者的误差也比较小。

4、 如何理解二叉树数值定价方法？
2
答案：二叉树模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随即漫步模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。

同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率p是风险中性概率，从而为期权定价。

当二叉树模型相继两部之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克—斯科尔斯偏微分方程。

二叉树与布莱克—斯科尔斯模型的另一个相似点在于：两者都可以通过需选取适当的△值，构造一个由△份的标的资产多头和一份期权空头组成的无套利组合，并利用无套利组合为期权定价。

5、简述基差风险的含义以及如何通过选择期货合约来规避基差风险。

答案：基差=拟套期保值资产的现货价格一所使用合约的期货价格
如果要套期保值的资产与期货的标的资产一致，则在期货合约到期日基差应为零，而在到期日之前基差可能为正值或负值。

如果要套期保值的资产与期货的标的资产不一致，则不能保证期货到期日基差等于零。

当套期保值期限已到，而基差不为零时，套期保值就存在基差风险。

产生基差风险的主要原因：第一、期货合约的标准化的交割数量和交割时间难以与其基础资产实际的交易量和交易时间相符；第二、需要对冲其价格风险的资产与期货合约的标的资产可能并不完全一样。

为了降低基差风险，我们要选择合适的期货合约，它包括两个方面：①、选择合适的标的资产。

选择标的资产的标准是标的资产价格与保值资产价格的相关性。

相关性越好，基差风险就越小。

因此选择标的资产时，最好选择保值资产本身，若保值资产没有期货合约，则选择与保值资产价格相关性最好的资产的期货合约。

②、选择合约的交割月份。

在选择合约的交割月份时，要考虑是否打算实物交割。

对于大多数金融期货而言，实物交割的成本并不高，在这种情况下，通常应尽量选择与套期保值到期日相一致的交割月份从而使基差风险最小。

三、计算题：
1、某交易商拥有1亿日元远期多头,远期汇率为0.008美元/日元.如果合约到期时汇率分别为0.0074美元/日元和0.0090美元/日元,请计算该交易商的盈亏状况.
答案：买入1亿日元远期合约，该交易商支付0.008亿美元；若到期时汇率为0.0074美元/日元，则该交易商的1亿日元价值1×0.0074=0.0074亿美元，交易商亏损=0.008-
0.0074=0.0006美元；若到期时汇率为0.0090美元/日元，则该交易商的1亿日元价值
1×0.0090=0.0090亿美元，交易商盈利=0.0090-0.0080=0.001美元。

2、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息,该股票目前市价等于30,所有期限的无风险连续复利年利率均为6%,某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头,请问:该远期价格等于多少?3个月后,该股票价格涨到38元,无风险利率仍为6%,此时远期价格和该合约空头价值等于多少?
答案：⑴、先计算该股票已知现金收益的现值：
pv=1e-0.06⨯2/12+1e-0.06⨯5/12=1.9654元，由公式F=(S-Pv)e r(T-t)，可得
F=(30-1.9654)e0.06⨯6/12=28.89元。

⑵、同样计算已知现金收益的现值：
3
年利率分别为：
A 公司需要的是浮动利率贷款，
B 公司需要的是固定利率贷款。

请设计一个利率互换，其 期汇率计算价值很接近。

市场对这两个公司的报价如下：
请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是 50 个基点，而且要求互换对双方具有同 pv = 1e
-0.06⨯2
/12
= 0.99 ，则 F = (38 - 0.99)e
0.06⨯6/12
=38.14 元
合约多头价值： f = S - Pv - Fe -r (T -t ) = 38 - 0.99 - 38.14e -0.06⨯6/12 =-0.00279
相应合约空头的价值为 0.00279 元。

3、A 公司和 B 公司如果要在金融市场上借入 5 年期本金为 2000 万美圆的贷款，需支付的
中银行作为中介获得的报酬是 0.1%的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

答案：A 公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但 A 公司想借的是浮动利率贷款。

而 B 公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但 A 公司想借的是固定利率贷款。

这 为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在固定利率贷款上的年利差是 1.4%，在浮动利 率贷款上的年利差是 0.5。

如果双方合作，互换交易每年的总收益将是
1.4%－0.5%=0.9%。

因为银行要获得 0.1%的报酬，所以 A 公司和 B 公司每人将获得 0.4% 的收益。

这意味着 A 公司和 B 公司将分别以 LIBOR －0.3%和 13%的利率借入贷款。

合适 的协议安排如图所示。

12%
LIBOR+0.6%
LIBOR
LIBOR 4、X 公司希望以固定利率借入美元，而 Y 公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即
样的吸引力，汇率风险由银行承担。

答案：X 公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y 公司在美元市场上有比较优势但 想借入日元。

这为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在日元贷款上的利差为 1.5%， 在美元贷款上的利差为 0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为 1.5%－0.4%=1.1%。

因 为银行要求收取 0.5%的中介费，这样 X 公司和 Y 公司将分别获得 0.3%的合作收益。

互换 后 X 公司实际上以 9.6%－0.3%=9.3%的利率借入美元，而 Y 实际上以 6.5%－0.3%=6.2% 借入日元。

合适的协议安排如图所示。

所有的汇率风险由银行承担。

日元 5%
日元 6.2%
日元 5%
10%
美元 9.3% 美元 10%
4
⨯1000 ⨯1.0251 + 2250 = 8272.46 94
5、美国长期公债面额 10 万美元，票面利率为 9%，其转换因子是 1.0251，应记利息为 2250。

若该债券期货的到期结算价为 94-2，请问交割时，买方需给卖方多少钱？ 答案：空方收到的现金=期货报价⨯交割债券的转换因子+交割债券的累计利息
根据此式，空方收到的现金为：
2
32
也就是说，买方需要给卖方 8272.46 美元。

6、 某财务公司在 3 月 15 日时预计将于 6 月 10 日收到 1000 万美元，该公司打算到时将其 投资于 3 个月的定期存款。

3 月 15 日时的存款利率是 7.65%，该公司担心到 6 月 10 日时 利率会下降，想采取套期保值交易来降低风险，如何进行？ 答案： 日期 现货市场
期货市场
3 月 15 日
预计将于 6 月 10 日收到 1000 万欧元，打算 到时将其转为 3 个月起定期存款，当日存款 利率为 7.65%。

6 月 10 日 存款利率跌到 5.75%，收到 1000 欧元，以此 利率存入。

以 92.40 的价格买进 10 张 6 月份到期的 3 个月欧元利率 期货合约。

以 92.29 的价格卖出 10 张 6 个月到期的 3 个月欧元利率
期货合约。

盈亏状况 亏损：47500 欧元 盈利：47250 欧元
总头寸盈亏
净亏损：250 欧元
由于存款利率下跌，公司减少了利息收入 47500 欧元，但由于事先在期货市场上进行了 对冲交易，因此而获利 47250 欧元，弥补了大额的损失。

7、 某公司持有一份可口可乐的股票买权，股价 55 元，报酬率变动率为 10%，无风险利 率为 8%，执行价格为 57 元，执行日期 3 个月，请用 B -S 模型计算该买权的价格。

答案：S=55 元，X=57 元，σ = 10% ，r=8%，T -t=3/12=0.25
c = 55N (
d 1 ) - 57
e -0.08⨯0.25
N (d 2 ) = 55N (d 1 ) - 55.87N (d 2 )
d 1 =
ln(55 / 57 ) + ( 0.08 + 0.01 / 2) ⨯ 0.25 0.1⨯ 0.25
= -0.2894
d 2 = d 1 - σ T - t = -0.2894 - 0.1⨯ 0.25 = -0.3394
通过查累积正态分布函数 N （x ）的数据表，我们可以得出： c=55⨯0.386-55.87⨯0.37=0.56 元。

因此该买权的价格为 0.56 元。

8、 6 月 5 日，某投资者以 5 点的权利金(每点 250 美元)买进一份 9 月份到期、执行价格 245 点的标准普尔 500 股票指数美式看涨期权合约，当前的现货指数为 249 点。

6 月 10 日， 现货指数上涨至 265 点，权利金价格变为 20 点，若该投资者将该期权合约对冲平仓，则交 易结果是？
5
答案：投资者进行对冲平仓，即卖出一份9月分到期、执行价格为245点的标准普尔500
股票指数美式看涨期权合约，权利金为20点。

所以投资者获利（20-5=）15点。

投资者并没有进行现货交易，所以现货价格对投资者的收益没有直接影响。

投资者的盈利=15×250=3750（美元）
9、某投资者在5月份以5.5美元/盎司的权利金买入一份执行价格为430美元/盎司的6月份黄金看跌期权，又以4.5美元/盎司的权利金卖出一张执行价格为430美元/盎司的6月份黄金看涨期权，再以市场价格428.5美元/盎司买进一张6月份黄金期货合约。

那么当合约到期时该投机者的净收益是？
答案：到期时，投资者有三种选择：
①、不执行看跌期权且不履行看张期权，就意味着到期时黄金价格为430美元/盎司。

这时，投资者的期货合约盈利=430-428.5-5.5+4.5=0.5美元/盎司。

②、执行看跌期权，就意味着到期日黄金价格下跌，期货和约多头头寸用于执行看跌期权。

这时总盈利=430-428.5-5.5+4.5=0.5美元/盎司。

③、履行看涨期权，意味着到期日期权价格上涨，期货合约多头用以履行看涨期权。

这时总盈利=430-428.5-5.5+4.5=0.5美元/盎司。

可见，在任何情况下，投资者的净收益均为0.5美元/盎司。

10、假设有一揽子股票组合与某指数构成完全对应，该组合的市值为100万，假定市场年利率为6%，且预计1个月后可收到1万元的现金红利，则该股票组合三个月的合理
价格应该是？
答案：首先计算该股票的持有成本：
资金占用成本=100×6%×3/12=1.5（万元）
红利负成本=-1×6%×2/12=-0.01（万元），本利和共1.01万元
净持有成本=1.5-1-0.01=0.49万元
则，该股票组合三个月的合理价格为100+0.49=100.49（万元）=1004900元。

6。