初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点

九上数学第21章《一元二次方程》知识点
1.一元二次方程的定义及一般形式：
(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：
形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得
x a +=或者x a +=，∴x a =-。

注意：若b<0，方程无解
(2)因式分解法：
一般步骤如下：
①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3)配方法：
用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解
(4)公式法：
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac
∆=-
0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a
-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根
0∆<⇔方程无实根
3.韦达定理(根与系数关系)
我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：
1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a
4.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

1.下列方程属于一元二次方程的是()
2
2.下列方程中属于一元二次方程是()
3.将方程(4-x)2=6x-24化为一元二次方程的一般形式为________________，其中二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______.
4.已知x=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，则m=______.
5.已知方程x2+mx+2=0m=________.
6.解下列方程.
(1)(t -2)2+(t +2)2=10
(2)x 2-2x +1=4
(3)x 2-6x +9=0
(4)9x 2-30x +25=0
7.解下列方程.
(1)x 2-2x =2x +1
(2)(2x -1)2=x (3x +2)-7.
8.已知关于x 的方程x 2+2(2m +1)x +(2m +2)2=0.当m 取什么值时，方程有两个相等的实数根？
9.当k 取什么值时，关于x 的方程x 2+kx +k +3=0有两个相等的实数根？10.解下列方程：
(1)241440x -=；(2)(25)410x x x -=-；(3)22(1)(32)x x -=-.
11.设x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，利用根与系数的关系求值：
(1)(x 1+1)(x 2+1)；(2)x 12x 2+x 1x 22；(3)2112x x x x +；(4)(x 1x 2)2.
12.商店试销某种产品，每件的综合成本为5元.若每件产品的售价不超过10元，每天可销售400件，设每件产品的售价为x 元.
(1)当每件产品的售价不超过10元时，求该商店每天销售该产品的利润为y (元)与x 的函数关系式；
(2)经市场调查发现：若每件产品的售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40件，该店把每件产品的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到2160元？若能，求出每件产品的售价应定为多少元时，既能保证纯收入又能吸
引顾客？若不能.请说明理由.
13.一列火车以20m/s的速度行驶，司机发现前方40m处铁路边有人以1m/s的速度横穿铁道，列车宽2.5m.
(1)列车不减速，此人是否有生命危险？为什么？
(2)若列车需刹车，则从刹车后到停车平均每秒车速减少多少？
(3)刹车后列车滑行到25m时约用多少时间(精确到0.1s)
14.一个小球以10m/s的速度开始滑动，并且均匀减速，滑动10m后小球停下来.
(1)小球滑动了多少时间？
(2)小球滑动过程中，平均每秒速度的变化量是多少？
(3)小球滑动到6m时约用了多少时间？(精确到0.1s)
【解惑】
1.【答案】C
【解析】A.方程中含有无理式，不是一元二次方程；
B.方程中分母含有分式，不是一元二次方程；
C.方程整理得(-1)x2+(6x+9-9=0，是一元二次方程；
D.方程整理得x2+2x-8=x2，即2x-8=0，不是一元二次方程.
故选C.
2.【答案】D
【解析】A.2x2+y=0中含有两个未知数，故错误；
=0不是整式方程，故错误；
B.3x2-3
2x
C.方程整理得5x-4=0是一元一次方程，故错误；
D.方程整理得a2-3a=0是一元二次方程，故正确.
故选D.
3.【答案】x2-14x+40=0，1，-14，40
【解析】去括号得16-8x+x2=6x-24，
移项、合并得x2-14x+40=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为-14，常数项为40.
4.【答案】-4
【解析】把x=-1代入方程x2+mx-5=0得(-1)2-m-5=0，∴m=1-5=-4.
5.【答案】
-
x2+mx+2=0得到)2+2=0，解得m=-
【解析】把x
(2)将方程进行整理，得(x-1)2=4，∴x-1=±2，∴x1=3，x2=-1；
(3)将方程进行整理，得(x-3)2=0，∴x-3=0，∴x1=x2=3；
.
(4)将方程进行整理，得(3x-5)2=0，∴3x-5=0，∴x1=x2=5
3
7.【解析】(1)x2-2x=2x+1，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
(x-2)2=5，
x-2=±
∴x1=2+x2=2-.
(2)(2x-1)2=x(3x+2)-7，
4x2-4x+1=3x2+2x-7，
x2-6x=-8，
(x-3)2=1，
x-3=±1，
∴x1=2，x2=4.
8.【答案】3
4-
【解析】∵方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0有两个相等的实数根，∴△=[2(2m+1)]2-4(2m+2)2=0，解得m=34-，
∴m=3
4-
时，方程有两个相等的实数根.
9.【答案】6或-2
【解析】∵△=k2-4(k+3)=k2-4k-12，
又∵原方程有两个相等的实数根，
∴k2-4k-12=0，
解得k1=6，k2=-2，
当k=6或k=-2，原方程有两个相等的实数根. 10.【解答】(1)因式分解，得(212)(212)0
x x
+-=，于是，得2120
x+=或2120
x-=，
∴
16
x=-，26
x=；
(2)因式分解，得(25)2(25)
x x x
-=-，
移项，得(25)2(25)0x x x ---=，
因式分解，得(2)(25)0x x --=，
于是，得20x -=或250x -=，
∴12x =，252
x =；
(3)移项，得22(1)(32)0x x ---=，
因式分解，得[(1)(32)][(1)(32)]0x x x x -+----=，
于是，得(1)(32)0x x -+-=或(1)(32)0x x ---=，
∴12x =，243x =.
11.【解答】由题意，得x 1+x 2=2-，x 1x 2=32-，则
(1)原式=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=52-；
(2)原式=x 1x 2(x 1+x 2)=3；
(3)原式=221212x x x x +=221212121222x x x x x x x x ++-=2121212()2x x x x x x +-=143-；(4)原式=x 12+x 22-2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2-4x 1x 2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10.
12.【解答】(1)y =(x -5)×400=400x -2000；
(2)依题意知：每件产品售价提高到10元以上时，
(x -5)[400-(x -10)×40]=2160，
解得x 1=14，x 2=11，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取x =11，x =14不符合题意，故该产品售价应定为11元.
13.【解答】(1)行人穿过铁路所用的时间为2.5÷1=2.5秒，火车行驶40米所用的时间为40÷20=2秒，
∵2.5＞2，∴此人有生命危险；(2)2002.5
-=8(m/s)，答：从刹车到停车平均每秒车速减少8m/s ；
(3)设刹车后汽车滑行25m 时约用了x s 时间，根据题意，得20(208)252
x x +-⋅=，解得x 1=x 2=2.5，所以x =2.5，即刹车后汽车滑行25米用了2.5秒.
14.【解答】(1)设小球滑动的时间是x s ，根据题意，得(1002
-)x =10，解得x =2，答：小球滑动的时间是2s ；
(2)设平均每秒速度的变化量是a m/s ，依题意，得
10=0+a •2，解得a =5，
答：平均每秒速度的变化量是5m/s ；
(3)设用的时间是t 秒，题意，有
10-6=10t 12-×5×t 2，
解得t =2041010+≈3.2s ，t =2041010-≈0.7s ，当t =3.2时，3.2＞2不合题意，舍去，
因此滑动到6m 用的时间是0.7秒.。