《数学物理方法》第一章作业参考解答

《数学物理方法》第一章作业参考解答
1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数
),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为
∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρ
ϕ
ρρu v v
u 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，
z z f z z f ∆−∆+)
()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，
（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z
.
ϕ
ϕ
ρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆
∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=
∆−∆+),(),()
,(),(),(),(),(),(lim
（2）沿半径为ρ的圆周，()
()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e z
ϕ
ϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v i
e iv u iv u e e iv u iv u z
f f −∆→∆
∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=
−−−∆++∆+=
∆−∆+1),(),()
,(),(),(),()
1()
,(),(),(),(),(),(lim
以上两式应相等，因而，
ϕρρ∂∂=∂∂v
u 1 ϕ
ρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。

如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？
解：
0)(2=∇xy xy y x u =∴),(
由C-R 条件可得
C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂222
1)()()(2
1),(
C y x y x v +−−=)(21
),(22电场线族为：
（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=
22212
1
),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得
C y x y x v +−−=)(2
1
),(22）
iC z i i C y x xy +−=
+−−+=2222)(21w 复势为：
若虚部为电势，则
xy y x v =),(
同理由C-R 条件可得
C
x x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2
22
1)()()(2
1
),(
C y x y x u +−=
)(2
1),(22
C z ixy C y x +=++−=2222
1
)(21w 复势为：
3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）
解：
考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时
2)(ax z f = )
1()1(||||lim )()(lim
00
+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia a
ia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值
所以该函数在z=0处不可导
4.判断函数()()111)(2−++
=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支
)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：
可能的支点为∞−=,1,1,0z 。

1/ 0=z 点邻域，ϕρi e z =，1<<ρ，
()(
)
211)(π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ρρρρi
i i i i e e e e
e
z f +≈−++
=，不是支点；
2/ 1−=z 点邻域，ϕρi e z +−=1，1<<ρ，
()()
2
/2/2111111)(πϕϕ
ϕϕ
ϕρρρρρi i i i i i e
e e e
e z
f +++−≈−+−++−+
+−=，一阶支点；
3/ 1=z 点邻域，ϕρi e z +=1，1<<ρ，
()()
2
/2111111)(ϕϕ
ϕϕ
ϕρρρρρi i i i i e
e e e
e z
f ++≈−++++
+=，一阶支点；
3/ ∞=z 点邻域，ϕρi e z =，1>>ρ，
()()
ϕϕϕϕ
ϕ
ρρρρρi i i i i e e e e
e
z f +≈−++
=11)(，不是支点；
因此，1,1=−=z z 是)(z f 的两个支点。

从11→−作割线，)(z f 有两个单值分支。

我们选定)(z f 的一个单值分支)(0z f 如下：
规定在割线的上岸I ：()01arg =+=z θ，πϕ=−=)1arg(z ，则在割线的上岸有，()00111i i e x e z z +=+=+，ππi i e x e z z )1(11−=−=−，因此， ()()22
2
01111)(x i x e
x x e
x e x x z f i
i i −+=−+=−++
=π
π
（上岸I ）
当I 上的点x z =绕过左端点（1−=z ）回到下岸II 上具有相同坐标x 点时，
()πθ21arg =+=z ，πϕ=−=)1arg(z ，即在割线的下岸II 上，有 ()ππ22111i i e x e z z +=+=+，ππi i e x e z z )1(11−=−=−，因此， ()()22
32
201111)(x i x e
x x e
x e x x z f i
i i −−=−+=−++
=π
π
π
（下岸II ）
（当然，我们也可以从I 上的x 点绕过割线的右端点1=z 回到II 上的对应点，这时，0arg ==z θ，πϕ−=−=)1arg(z ，即有，
()00111i i e x e z z +=+=+，ππi i e x e z z −−−=−=−)1(11，因此，
()()22
2001111)(x i x e
x x e x e x x z f i
i i −−=−+=−++
=−−π
π
（下岸II ）。

现在来求)(0i f −的值。

在点i z −=处，4
7)1arg(π
θ=
+=z ，4
5)1arg(π
ϕ=
−=z （从上岸绕过点1−=z 到i z −=），因此，4
74
7211ππi i
e
e
z z =⋅+=+，4
54
5211ππi
i
e
e
z z =−=−，因此，
()()i i e
i e
e
i z z z i f i
i
i
222211)(2
34
54
70−−=+−=⋅+
−=−++
=−πππ
（如果从上岸绕过点1=z 到i z −=，则有4
)1arg(π
θ−=+=z ，4
3)1arg(π
ϕ−
=−=z ，
因此，4
4
211π
π
i
i
e
e
z z −−=⋅+=+，
4
34
3211ππi
i
e
e
z z −−=−=−，因此，
()()i i e
e
i z z z i f i
i
22211)(4
34
0−−=⋅+
−=−++
=−−−ππ
).。