海门市第二次调研考试复习试卷(1)

海门市第二次调研考试复习试卷（1）
班级___________姓名____________学号____ 试题Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．
. 1
．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ．0 2．已知复数1i z =-+（为虚数单位），计算：
z z
z z
⋅-= ．i - 3．在△ABC 中，∠A =45o ，∠C =105o ，BC
，则AC 的长度为 ．1
4．设a R ∈，s ：数列{}
2()n a -是递增数列；t ：a 1≤，则s 是t 的 条件． 必要不充分
5．设等差数列}{n a 的公差为正数，若15321=++a a a ，80321=a a a ，则
=++131211a a a ．105
6．将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则
f (x )=__________．2sin x
7．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，函数x
y e =的图像与y 轴的交点为B ，P 为函
数x
y e =图像上的任意一点，则OP AB ⋅u u u r u u u r
的最小值 ．1
8．已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
，表示平面区域M ，若-4≤a ≤t 时，当a 变化时，
动直线x +y=a 扫过平面区域M 的面积为7．则t= ．2
9．已知函数f (x )＝x 2＋a
x ，若x < 0时恒有f (x )≥3，则实数a 的取值范围是 ．
(－∞，-2]
10．已知函数f (x )＝32
,
2,(1),02x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<<⎩
，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是 ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最大值为
．4+
12．已知数列{}n a 满足143a =，()*
11226n n a n N a +-=∈+，则11n
i i
a =∑= ．
232
4
n n ⋅-- 13．若对于给定的正实数k ，函数()k
f x x
=
的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是 ．)2
9
,0(
14．设P (x ，y )为函数21y x =
-(x >图象上一动点，记3537
12
x y x y m x y +-+-=+
--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ．(2，3)
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量(sin ,1)m x =-u r
，向量1
,)2
n x =r ，函数()()f x m n m =+⋅u r r u r ．
（1）求f （x ）的最小正周期T ； （2）若不等式f （x ）－t =0在[
,]42
x ππ
∈上有解，求实数t 的取值范围．
16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A -，(,1)B a -，(,0)C b -，且0,0>>b a . （1）若点A 、B 、C 在直线l 上，求u =
b
a 2
1+的最小值，并求此时直线l 的方程； （2）若以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长相等，且()5OA AB AC ⋅-=u u u r u u u r u u u r
，
求a 、b 的值.
解：（1）Q (1,1)AB a =-u u u r
，()1,2AC b =--u u u r ， ……..1分
A 、
B 、
C 三点共线，2(1)1a b ∴-=--，即21a b += ……..2分
0,0a b >>Q ，12124()(2)48b a
u a b a b a b a b
∴=
+=++=++≥ 当且仅当4b a a b =，即14
12
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号．min 8u ∴=， ……..5分
此时1(,0)2C -，又(1,2)A -，4
3l k ∴=-， ……..6分
直线l 的方程为41
()32
y x =-+，即：4320x y ++=． ……..8分
（2）由条件得AB AC ⊥，所以0AB AC ⋅=u u u r u u u r
， ……..9分
而(1,1)AB a =-u u u r
，()1,2AC b =--u u u r
30ab a b ∴+--= ① ……..11分 又()5OA AB AC ⋅-=u u u r u u u r u u u r
，30a b ∴+-= ② ……..13分
由①②得21a b =⎧⎨=⎩或30a b =⎧⎨=⎩（舍去），2
1a b =⎧∴⎨=⎩
． ……..15分
17．已知圆C 过点P （1,1），且与圆M ：)0()2()2(2
22>=+++r r y x 关于直线
02=++y x 对称．
（1）求圆C 的方程；
（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求⋅的最小值；
（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜
解：（1）设圆心⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+-+-001220222
22),,(b a a b b a b a C 则，则圆的方程为22
2=+y x ．
（2）设则),,(y x Q 22
2
=+y x ，且)2,2()1,1(++⋅--=⋅y x y x MQ PQ .2-+=y x 可以用线性规划的、三角代换、基本不等式等多种方法，求出MQ PQ ⋅的最小值为4- （3）由题意知，直线PB PA ,的斜率均存在，且互为相反数，故可设)1(1:-=-x k y PA
),1(1:--=-x k y PB 由02)1()1(2)1(2)1(12
222
2=--+-++⇒⎩⎨⎧=+-=-k x k k x k y x x k y A B A B AB
B A x x x k x k k k k k x k k k x --=⇒+-+=+--=∴)1-(-)1-(11
2,1122
222同理= OP A
B A B k x x x x k k ==-+-1)
(2，所以直线AB 和OP 一定平行．
18．某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产
量）x 万件与年促销费用0m
m ≥()万元满足31
k
x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，
∴231x m =-
+，每件产品的销售价格为8161.5x
x
+⨯元. ∴2013年的利润)168(]1685.1[m x x x
x y ++-+⨯=
m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(1
16
[≥++++-=m m m ……8分
（2）∵0m ≥
时，
16
(1)81
m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当16
11
m m =++，即3m =时，max 21y =.…………15分
答：该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.…16分
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明:对一切正整数n ,有
1211132
n a a a +++<L ． 解:（1）由()()12123213
23
2725a a a a a a a a ⎧=-⎪
+=-⎨⎪
+=+⎩,解得11a =.
（2）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+(2n ≥),
两式相减,可得122n n n n a a a +=--,即132n n n a a +=+,即()1
12
32n n n n a a +++=+,
所以数列{}
2n n a +(2n ≥)是一个以24a +为首项,3为公比的等比数列. 由1223a a =-可得,25a =,所以2293n n n a -+=⨯,即32n n n a =-(2n ≥), 当1n =时,11a =,也满足该式子,所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-. （3）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=,所以1323n n n --≥,所以
1113
n n a -≤, 于是112111111131331113323213
n
n
n n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫
⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-L L .
20．已知函数0)ln()(2
=--+=x x x a x x f 在处取得极值． （1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程b x x f +-=2
5
)(在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；
（3）证明：对任意正整数n ，不等式21
1ln
n
n n n +<+都成立．
解：（1）,121
)(--+=
'x a
x x f 0=x Θ时，)(x f 取得极值， ,0)0(='∴f 故
010201
=-⨯-+a
，解得a=1， 经检验a=1符合题意. （4分） （2）由a=1知,2
5
)(,)1ln()(2
b x x f x x x x f +-=--+=由 得,02
3
)1ln(2
=-+
-+b x x x 令,2
3)1ln()(2
b x x x x -+-+=ϕ
则]2,0[2
5
)(在b x x f +-=上恰有两个不同的实数根等价于
0)(=x ϕ在[0，2]上恰有两个不同的实数根。

（5分） ,)
1(2)1)(54(23211)(+-+-=+-+=
'x x x x x x ϕ （6分） 当)1,0()(,0)(,)1,1(在于是时x x x ϕϕ>'∈上单调递增 当)2,1()(,0)(,)2,1(在于是时x x x ϕϕ<'∈上单调递减。

依题意有⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≤-+-+=>-+-+=≤-=,
034)21ln()2(,0231)11ln()1(,0)0(b b b ϕϕϕ.212ln 13ln +≤≤-∴b
（3）x x x x f --+=2
)1ln()(的定义域为},1|{->x x 由（1）知,1)32()(++-=
'x x x x f 令2
3
0,0)(-==='x x x f 或得（舍去）
， )(,0)(,01x f x f x >'<<-∴时当单调递增；当x>0时，)(,0)(x f x f <'单调递减。

),1()()0(+∞-∴在为x f f 上的最大值。

0)1ln(),0()(2≤--+≤∴x x x f x f 故（当且仅当x=0时，等号成立） 对任意正整数n ，
取01>=n x 得，.1
1ln ,11)11ln(22n
n n n n n n +<++<+故
试题Ⅱ（附加题）
21．已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若πθ≤≤0，函数)(θ+x f 是偶函数，求θ的值． 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+Q
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
+-+
221cos 22sin cos 2x x x x =
+-
1cos 22cos 22x x x =
- sin(2)6
x π
=-．
2T 2
π
π=
=周期∴． （2）由)6
22sin()(π
θθ-
+=+x x f 是偶函数得，y 轴是这个函数图象的对称轴，
所以，当0=x 时，)(θ+x f 取得最值．
.
3
2,3],,0[,3
21.2
6
2,1)6
2sin(π
πθπθπ
πθπ
ππ
θπ
θ=
∴∈∈+=
∴+
=-
∴±=-
∴ΘZ k k k
22．已知函数2
()(8),f x ax b x a ab =+---且()0f x >的解集为(3,2)-． （1）求()f x 的解析式；（2）当1x >-时，求()21
1
f x y x -=+的最大值．
答案：(1)()18332
+--=x x x f ；(2)-3．
23．已知3333
1111()1234f n n =+
+++L ，231
()22g n n
=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明． 解：（1）1)1(=f ，1)1(=g ，所以)1()1(g f =；
89)2(=
f ，811)2(=
g ，所以)2()2(g f <； 278251)3(⨯=
f ，278312
)3(⨯=g ，所以)3()3(g f <． （2）猜想：当1=n 时，)()(n g n f =；当*
,2N n n ∈≥时，)()(n g n f <． 证明：①由（1）可知，当2,1=n 时，猜想成立． ②假设当)2,(*
≥∈=k N k k n 时，猜想成立，即33332
111131
123422k k ++++<-
L ． 当1+=k n 时，
3
23333)1(1
2123)1(1131211)1(++-<++++++
=+k k k k k f Λ， 下面只要证明：
232)
1(21
23)1(12123+-<++-k k k ， 只要证明：
2
2321)1(21)1(1k k k <+++，
只要证明：3
2
2
)1()1(2+<++k k k k ，
只要证明：013>+k ．这显然成立． 这说明，当1+=k n 时，猜想也成立．
由①、②可知，对于任何正整数n ，猜想都成立．
24．已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . （1）求a 的值；
（2）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2
()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值； 解：（1）()f x 的定义域为(,)a -+∞
()ln()f x x x a =-+11
()101x a f x x a a x a x a
+-'⇒=-
==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-
得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设2
2
()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）
(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>
1(221)
()2111x kx k g x kx x x +-'=-+
=
++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k
g x x x g x g k -'≤⇔≤≤=⇒<=与
（*）矛盾；
②当1
2
k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 所以，实数k 的最小值为1
2
．
海门市第二次调研考试复习试卷（1）
班级___________姓名____________学号____ 试题Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．
. 1
．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ． 2．已知复数1i z =-+（为虚数单位），计算：
z z
z z
⋅-= ． 3．在△ABC 中，∠A =45o ，∠C =105o ，BC
，则AC 的长度为 ．
4．设a R ∈，s ：数列{}
2()n a -是递增数列；t ：a 1≤，则s 是t 的 条件． 5．设等差数列}{n a 的公差为正数，若15321=++a a a ，80321=a a a ，则
=++131211a a a ．
6．将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则
f (x )=__________．
7．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，函数x
y e =的图像与y 轴的交点为B ，P 为函
数x
y e =图像上的任意一点，则OP AB ⋅u u u r u u u r
的最小值 ．
8．已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
，表示平面区域M ，若-4≤a ≤t 时，当a 变化时，
动直线x +y=a 扫过平面区域M 的面积为7．则t= ．
9．已知函数f (x )＝x 2＋a
x
，若x < 0时恒有f (x )≥3，则实数a 的取值范围是 ．
10．已知函数f (x )＝32
,
2,(1),02x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<<⎩
，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，u u u u r u u u r
12．已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11n i i
a =∑= ． 13．若对于给定的正实数k ，函数()k f x x
=
的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是 ． 14．设P (x ，y )为函数21y x =
-(x >图象上一动点，记353712
x y x y m x y +-+-=
+--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量(sin ,1)m x =-u r
，向量1,)2
n x =r ，函数()()f x m n m =+⋅u r r u r ． （1）求f （x ）的最小正周期T ；
（2）若不等式f （x ）－t =0在[,]42
x ππ∈上有解，求实数t 的取值范围．
16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A -，(,1)B a -，(,0)C b -，且0,0>>b a .
（1）若点A 、B 、C 在直线l 上，求u =b
a 21+的最小值，并求此时直线l 的方程； （2）若以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长相等，且()5OA AB AC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，
求a 、b 的值.
17．已知圆C 过点P （1,1），且与圆M ：)0()2()2(2
22>=+++r r y x 关于直线02=++y x 对称．
（1）求圆C 的方程；
（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求⋅的最小值；
（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．
18．某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产
量）x 万件与年促销费用0m m ≥()万元满足31
k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）证明:对一切正整数n ,有
1211132
n a a a +++<L ．
20．已知函数0)ln()(2=--+=x x x a x x f 在处取得极值．
（1）求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程b x x f +-
=25)(在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；
（3）证明：对任意正整数n ，不等式211ln
n
n n n +<+都成立．
试题Ⅱ（附加题）
21．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ
=-+-+． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若πθ≤≤0，函数)(θ+x f 是偶函数，求θ的值．
22．已知函数2()(8),f x ax b x a ab =+---且()0f x >的解集为(3,2)-．
（1）求()f x 的解析式；（2）当1x >-时，求()211
f x y x -=
+的最大值．
23．已知33331111()1234f n n =++++L ，231()22g n n
=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系；
（2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．
24．已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .
（1）求a 的值；
（2）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值；。