北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起

第一章解直角三角形
課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時
一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並
讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯
子的傾斜程度即傾斜角的大小。

2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。

重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。

難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。

二、教學和活動過程：
（一）教學準備：制做相應的課件
（二）教學過程：
第一環節：引入新課：
課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解
課件展示梯子實物，提問下列問題：
實例1：
（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？
你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：
2.5m
2m
5m 5m
F
E
D
C
B
A
（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？
學生四人小組討論 設計意圖：
1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三
角形。

2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小
2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。

3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空
間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。

實例3： 想一想：
如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們
可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，
連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。

假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？
(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?
1.3m 1.5m
3.5m 4m
F
E
D
C
B
A C 2
B 2
C 1B 1
A
(2)
111AC C B 和2
22AC C
B 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1
C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。

在Rt △ABC 中,如果銳角A 確定,那麼∠A 的對邊與鄰邊的比隨之確定,這個比叫做∠A 的正切,記作tanA,即 tanA=的邻边
对边的A A ∠∠
tanA 的值越大,梯子越陡.
注意：正切是兩直角邊之比，而且是對邊比鄰邊。

練習：1、tanM=
2、tan =
BC AC
tan
=BC 3、 tan α =DB
tan =
AC
第三環節：例題：
例1、如圖甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？
（甲） （乙）
13m
5m
6
m
8m
P
N
M
C
B
A
D
C
B
A
解：甲梯中，tan 12
551352
2=
-=
α 乙梯中，tan 4
386==β
因為tan β＞tan α，所以乙梯更陡。

正切也經常用來描述山坡的坡度。

例如，有一山坡在水準方向上每
前進100米，就升高60米，那麼山坡的坡度（即tan α），就是
5
3
10060= 坡面的鉛直高度與水準寬度的比稱為坡度（或坡比） 坡度就是坡角的正切值 坡度越大，坡面越陡
例2、如圖，攔水壩的坡度i=1：3，若壩高為20米，求坡面AB
的長。

解：∵ 3
1=
i ，即
3
1
=AC BC ∵20=BC ∴320=AC
A
B
C
在Rt △ABC 中，由畢氏定理得， 40)320(202222=+=+=AC BC AB ∴坡面AB 長為40米。

第四環節：隨堂練習：
1、如圖，△ABC 是等腰直角三角形，你能根據圖中所給資料求出tanC 嗎？
3
1.5
D C
B
A
(第1題) （第2題） 2、 如圖，某人從山腳下的點A 走了200米後到達山頂的點B ，已知點B 到山腳的垂直距離為55米，求山的坡度（結果精確到0.001） 第五環節：課堂小結：
在Rt △ABC 中,如果銳角A 確定,那麼∠A 的對邊與鄰邊的比隨之確定,這個比叫做∠A 的正切,記作tanA,即 tanA=的邻边
对边的A A ∠∠
tanA 的值越大,梯子越陡.
課後反思： 1、
三角函數是學生從沒接觸的新知識，作為本章的起始課時，本
節課立足學生原有的認知結構，達到新知識的順利引入。

從梯子
的實物分析起，引起學生的興趣，效果較好。

2、課本給出的圖中梯子的兩邊是不平行的，需要更多的立體幾何
的知識，所以在實際教學中用的圖形梯子的兩邊都是平行的。

3、給出正切的概念之後，教師的強調是必要的，尤其是加的一組變式練習，達到了理解、強化概念的目的。