微分方程习题及答案

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. 
（1）y
x y y x C y xy x -=¢-=+-2)2(,22（2）ò¢=¢¢=+y 0222t -)
(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C ,,C C 均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；
（2）x C x C y 2cos 2sin 21
+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x ,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P (
)y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解
（1）2211y y x -=¢-；
（2）0tan sec tan sec 22=×+×xdy y ydx x ；
（3）23xy xy dx
dy =-；（4）0)22()22
(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解
（1）0,02==¢=-x y x y e
y ；（2）21
,12==+¢=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解
（1）)1(ln
+=¢x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 
4. 求下列微分方程的特解求下列微分方程的特解
（1）1 ,022=-==x y y
x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(02
2==+-=x y
xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程
（1）2)(y x y +=¢；
（2）)ln (ln y x y y y x +=+¢
（3）11+-=¢y
x y （4）0)1()1(2
2=++++dy y x xy x dx xy y
6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2
a . 
7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 
8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？变化的规律，此人胰脏是否正常？
9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
B 
A 
P(x ,y ) 
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解．求下列微分方程的通解
（1）2x x
y y =-¢； （2）0cos 2)1(2=-+¢-x xy y x ；
（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；
（4）)(ln 2x y y y -=
¢； （5）1sin 4-=-x e dx
dy y 2．求下列微分方程的特解．求下列微分方程的特解
（1）0
,sec tan 0==-¢=x y x x y y ； (2)1|,sin 0==+¢=x y x x
x y
y
3．一．一
曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x j 满足方程满足方程
ò+=+ x
0 1sin )(2cos )(x tdt t x x j j ，求)(x j . 
5．设有一个由电阻W =10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 
6．求下列贝努利方程的通解．求下列贝努利方程的通解
(1) 6
2y x x y y =+¢
（2）x y x y y tan cos 4+=¢
（3）0ln 2
=-+y x x dy dx
y （4）2
121xy x xy y +-=
¢
§4 可降阶的高阶方程 1.求下列方程通解。

求下列方程通解。

(1)y y x ¢¢¢=+；
（2）122+¢=¢¢x y x y ；2(3)20yy y ¢¢¢-=()341y y ¢¢= ()2
002.1,0,1
x x y y y y ==¢¢¢¢===-求下列方程的特解
（2）0 ,0 ,2002=¢==¢+¢¢==-x x x y y e y x y
3．求x y =¢¢的经过)1 ,0(且在与直线12+=x
y 相切的积分曲线相切的积分曲线
4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 
证明：0,0(,)1(232=¹=¢+¢
¢K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负可取正或负
5．枪弹垂直射穿厚度为d 的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？
§5 高阶线性微分方程
1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+¢+¢¢的解，试证)()(21x y x y -是0)()(=+¢+¢¢y x q y x p y 的解的解
2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+¢+¢¢的三个特解x e y x y x y 33221 ,
,===，试求此方程满足3)0(
,0)0(=¢=y y 的特解. 3．验证1
,121+=+=x
e y x y 是微分方程1)1(=+¢-¢¢-y y x y x 的解，并求其通解. §6 二阶常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解
（1）02=-¢+¢¢y y y ；
（2）0136=+¢+¢¢y y y ；
（3）044=+¢+¢¢y y y ；
（4）02)
4(=+¢¢+y y y . 
2．求下列微分方程的特解．求下列微分方程的特解
（1）10y ,6
,0340x 0=¢==+¢-¢¢==x y y y y （2）5y
,2 ,0250x 0=¢==+¢¢==x y y y （3）3y
,2
,01340x 0=¢==+¢-¢¢==x y y y y 3.设单摆摆长为l ，质量为m ，开始时偏移一个小角度0q ，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移q 随时间t 变化的规律. 
4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s ，求
浮筒质量.。

5.长为6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m ，问需多少时间链条全部滑过桌面. 
§7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解
（1）x xe y y y -=+¢+¢¢323；
（2）x y y y 2345-=+¢+¢¢；
P 
mg q l
O x
)(t p
O 
)(t x
x
（3）x x y y cos 4=¢+¢¢；
（4）x y y 2sin =-¢¢；
（5）)4(2+=¢-¢¢+¢¢¢x
e x y y y . 
2．求下列微分方程的特解．求下列微分方程的特解
（1）2(0)y ,6)0( ,523=¢==+¢-¢¢y y y y ；
（2）1)(y ,1)( ,02sin =¢==++¢¢p p y x y y
3.设连续函数)(x f 满足满足 ò-+=x x dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f . 
4.一质量为m 的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k ），求此物体之运动规律. 
5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间. 
6.大炮以仰角a 、初速0v 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线. O 
)(t x
P 
O 
)
(t x P 
x
§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组
1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解
（1）3
2322x y y x y x y x =-¢+¢¢-¢¢¢；
（2）x
x y x y y 22=+¢-¢¢. 
2．求下列微分方程组的通解求下列微分方程组的通解
（1）ïîïíì-+=-++-=+33y x dt
dy dt dx y x dt dy dt dx
（2）ï
ïîïïíì=++=--00432222
y x dt
y d y x dt x d
自测题
1.求下列微分方程的解。

求下列微分方程的解。

（1）x
y x y y tan +=¢； （2）0)2(2=-+dy x y x ydx ； a
))(),(()(t y t x t p =
x y
（3）x
xy y y y -+=
¢222；
（4）x x y y 2sin =¢-¢¢. 
2．求连续函数)(x j ，使得0>x 时有ò=1 0 )(2)( x dt xt j j . 
3．求以x e x x C C y 2221)(-++=为通解的二阶微分方程. 
4．某个三阶常系数微分方程．某个三阶常系数微分方程
0=+¢+¢¢+¢¢¢cy y b y a y 有两个解x e 和x ，求c b a , ,. 
5．设)()(x f y x p y =¢+¢¢有一个解为x
1，对应齐次方程有一特解2x ，试求：，试求： （1）)( ),(x f x p 的表达式；的表达式；
（2）该微分方程的通解. 
6．已知可导函数)(x f 满足关系式：满足关系式：
1)(1)()( 1 2-=+òx f dt t f t f
x 求)(x f . 
7．已知曲线)(x y y =上原点处的切线垂直于直线012=-+y x ，且)(x y 满足微分方程
x e y y y x
2cos 52=+¢-¢¢，求此曲线方程. 
微分方程习题答案
§1 基本概念
1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. 
（1）y x y y x C y xy x -=¢-=+-2)2(,22
y x y y x y y y x y x -=¢-=¢+¢--2)2(:0
22::移项求导解 故所给出的隐函数是微分方程的解故所给出的隐函数是微分方程的解
（2）ò¢=¢¢=+y 0 222t -)(,1e
y y y x dt . 解：隐函数方程两边对x 求导求导
0122=+¢-y e
y
方程两边再对x 求导求导 ()0][2
2
=¢¢+¢¢--y y y y e
y
指数函数非零，即有指数函数非零，即有 2)(y y y ¢=¢¢
故所给出的隐函数是微分方程的解故所给出的隐函数是微分方程的解
2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(2
2=++y C x ； ()1
2)(2:222=+¢¢-=+=¢++y y y y y c x y y c x 代入原方程得解出求导得
（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 
4:,2cos 42sin 4:)2sin (22cos 2:212121=+¢¢--=¢¢-+=¢y y c c x c x c y x c x c y 得消去再求导得求导得
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

解：设曲线为解：设曲线为 y = y ( x )则曲线上的点()y x ,处的切线斜率为y ¢，由题意知所求方程为2
x y =¢
（2）曲线在点P ()
y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

轴平分。

解：曲线上的点()y x ,处法线方程：()
1
Y y X x y -=--¢。

故法线x 轴的交点为Q 坐标应为(),0yy x ¢+，又PQ 为y 轴平分，故()102yy x x ¢++=éùëû， 便得曲线所满足的微分方程：便得曲线所满足的微分方程：
02=+¢x y y
（3）曲线上的点P (()
)y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

解：点P ()
y x ,处切线方程：()Y y y X x ¢-=- 故Q 坐标为()
0,y y x ¢-，则有，则有 ()()2202PQ x y y y x ¢=
-+--=éùëû
则得初值问题为：则得初值问题为： 222(1)40x x y y =¢ì+=ïí=ïî §2可分离变量与齐次方程 1．求下列微分方程的通解．求下列微分方程的通解
（1）2
211y y x -=¢-；
解:分离变量分离变量
c
x y x dx
y dy
x dx
y dy
+=-=--=-òòarcsin arcsin 11,112
222得两边积分 （2）0tan sec tan sec 2
2=×+×xdy y ydx x ； 解:分离变量分离变量 22sec sec tan tan xdx ydy x y
=-Þ(tan )(tan )tan tan d x d y x y =-Þòò1ln tan ln tan x y C =-+Þ
1ln tan tan x y C =
1
ln tan tan x y
C e
e =Þ
1
tan tan C x y e =Þ
1
tan tan C x y e =±Þ
tan tan x y C =其中1
C C e =±
（3）2
3xy xy dx
dy =-；
解
: 
23dy
xy xy dx
-=Þ(3)dy
xy y dx
=+分离变量得
(3)dy xdx y y =Þ+(3)
dy xdx y y =
Þ
+(3)dy xdx y y =
+ò
ò
133dy dy xdx
y y éù-=Þêú+ëûòòò2111ln ln 332
y y x C é-+ù=+Þëû2
13ln
33
2
y x C y =+Þ+
2
1
3ln 33
2
y x C y e
e
++=Þ21
332
3x C y
e e
y =±Þ
+
232
3
x y Ce
y =+其中1
3C C e
=±
（4）0)22
()22(=++-++dy dx y
y
x x
y
x . 
解
：
分
离
变
量
得
222121y
x
y
x dy dx =-Þ-+222121y
x
y x dy dx =-Þ-+òò()()21212121
y
x
y x d d --=-Þ-+òò 1ln 21ln 21y
x
C -=-++Þ(
)(
)
1ln 2121y
x
C -+=Þ
(
)(
)1
ln 2121
y x
C e e -+=Þ
()()
1
ln 2121C y
x
e -+=Þ()()1
2121C y
x
e -+=±Þ()()
2
121y
x
C
-+=其中1
C C e =±
2．求下列微分方程的特解．求下列微分方程的特解
（1）0
,02==¢=-
x y
x y e
y ；
)
1(2
121
02
1
20222+===+====ò
ò
x
y
x x
y
x
y x
y e e c y c
e e dx
e dy e dx e dy e 所以特解为：解得由解：
（2）2
1
,12
=
=+¢=x y y y y x
解：分离变量得2dy
dx y y x =Þ-òò11()1dx dy y y x
-=Þ-òò 11ln ln y x C y -=+
1
1ln ln
y x C y
e
e
-+=Þ1
1C
y e
x y
-=Þ11C
y e x y
-=±Þ
1
y Cx y
-=，其中1
C C e
=±，
由1
1
2
x y
==
得1C =-，故特解为1y xy =- 3．求下列微分方程的通解．求下列微分方程的通解 （1）)1(ln
+=¢x
y y y x ；
解：方程变形为齐次方程(ln 1)dy y y
dx x x =+，y u x =令，则dy du u x dx dx
=+
，故原方程变为(ln 1)dy u x u u dx +=+，分离变量得ln du dx u u x =
，两边积分ln du dx u u x
=òò，即ln ln d u
u òdx x =ò
，故1ln ln ln u x C =+，得1
ln ln ln u x C e e
+=Þ
1
ln C u e x =Þ1
ln C u e x =±Þln y
Cx x =，其中1
C C e
=±
（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 
解：方程变形为齐次方程3213y dy x dx
y x æö+ç÷èø=
æöç÷èø，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为3
213
du u u x dx u ++=
，分离变量得，分离变量得 2
3312u du dx u x =-，两边积分2
3312u du dx u x =-òò，即()33
1
12212d u dx u x --=-òò，即()3
3122
12
d u dx u x -=--òò
， 得
3
1ln 122ln u x C -=-+Þ3
1ln 122ln u x C -+=Þ
(
)
32
1ln 12u x C -=Þ
(
)3
2
1
ln 12u x
C e e -=Þ
()132
12C u x e -=Þ13212C y x e x é
ùæö-=±Þêúç÷èøêúëû13212C y x e x éùæö-=±Þ
êúç÷èøêúëû33
2x
y Cx -=其中1
C C
e =±
4． 求下列微分方程的特解求下列微分方程的特解 （1）
1
,0
2
2
=
-==x y
y x xy
dx dy
； 解：原方程化为21y
dy x dx
y x =æö-ç÷èø
，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为21du u u x dx u +=
-，分离变量得231u dx du u x
-= 两
边
积
分
2
3
1u
d
x
du u
x -=
ò
ò
，
即
311dx du u u x æö
-=ç÷èøòò，得
2
11l n l n 2u u
x C --×-=+Þ
211l n l n 2
u u x C --×=++
Þ
2
1
1
ln 2u ux C --×=+Þ2
1
1ln 2
u
y C e
e
--×+=Þ21
12
u C e
e
y --×=Þ
21
12x y C e
e y æö-×ç÷èø
=±Þ2
12x y e
Cy æö-×ç÷èø
=其中1
C C e =±1
C C e
=±，由0
1x y
==得1C =，故
特解为212x y e
y æö-×ç÷èø
=
（2）1 ,02)3(0
2
2
==+-=x y
xydx dy x y . 
解：原方程可化为,3
22-÷ø
öçèæ÷øö
çèæ-=
x y x y dx dy 令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为,322--=+u u dx du x u 分离变量得2
33,
u dx du u u x -=-两边积分233u d x du u u x
-=-òò，即11311dx du u u u x
æö+-=ç÷-+èøòò得
2331ln ln 1ln 1ln ln ln u u u u x C u --++-=+即2
31ln ln u Cx u -=得2
31u Cx u -=，即2
31
y x Cx y x æö-ç÷èø=æö
ç÷
èø
，又0
1x y
==得特解为.2
23x y y -=
5． 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2
)(y x y +=¢； 解：令u x y
=+则1dy
du dx dx =+，原方程变为2
1du u dx -=，分离变量并积分
21du dx u =+òò
得arctan u x C =+
故方程通解为arctan()x y x c +=+ （2）)ln (ln y x y y y x +=+¢ 解：,
x y u ×=令则dy
du
x
y dx dx
+=
，原方程变为
ln du u
u dx x
=，分离变量并积分ln du dx u u x =òò，即ln ln d u dx
u x =òò
得1ln ln ln u x C =+，得ln u Cx =，即ln xy Cx =，其中1C C e =±故方程通解为c x
xy e = （1
1
ln ln ln ln ln u
x C C e
e u e
x u Cx +=Þ=Þ=，其中1
C C e =±）
（3）11+-=
¢y
x y
解：x y u -=令，则1d y d u d x d x -=，原方程变为1
11du dx u
-=+，分离变量并积分udu dx
-=ò
ò
得
2
2u
x C -=+故方程通解为2
()2
x y x C --=+
（4）0)1()1(2
2
=++++dy y x xy x dx xy y 解：,
x y u ×=令则dy du x
y dx
dx
+=
，原方程变为22
1du u u
x
u dx
u u
+=-
++，分离变量并积分
2
3
1u u
dx
du u x
++=
ò
ò
，
得2
1
11ln ln 2
u u u x C ---
-+=+，即()2
3
212x y C xy =+其中1
C C e =±
（分析原方程可变形为()()2
2
21xy xy
dy x x y xy dx xy xy +æö+=-ç÷èø
++，故令,x y u ×=令）
（
32
111dx
du
u u u x
æö++=ç÷èøòò，
2
1
11ln ln 2u u u x C ----+=+Þ21
11ln 2
u C u u x --=++Þ，2111ln
2
u C u u
x
e e
--++=Þ
()1
2112C y e xy xy æ
ö
=±+Þ÷çèø()
23212x y C xy =+其中1C C e =±）
2
2
2
2
232
222
22212ln 2:ln 211ln :11
)11()1(11
,1,)1()1(:y
cx xy y y x c
x u u u x
dx du u u u u u x u x
u u u x u x u x y u x y u xy xy dx
dy y x xy y x
=--+=--=++--=¢+-++¢+-=¢==+-=++òò得通解解得代入上式
令解 6． 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等
于常数2
a . 
解：曲线点P（x, y）的切线方程为：
）的切线方程为：
)
(x
X
y
y
Y-
¢
=
-
该曲线与x轴交点记为B，则B坐标为,0
y
x
y
æö
-
ç÷
¢
èø
，
过点P（x, y）平行于y轴的直线和x轴交点记为A，则A坐标为
()
,0
x
故三角形面积为
2
1
2
y
AB AP x x y a
y
æö
=--=
ç÷¢
èø
即有微分方程
22
2
dy
y a
dx
=±
当
22
2dy
y a
dx
=时用分离变量法解得
2
()2
y C x a
-=
当
22
2
dy
y a
dx
=-时用分离变量法解得
2
()2
y C x a
+=
7．设质量为m的物体自由下落，
的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，
所受空气阻力与速度成正比，
所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时
并设开始下落时)0
(=
t速度为0，求物体速度
v
与时间
t
的函数关系. 
).
1(
)
ln(
)
ln(
.
).
(
,
|
|
|
t
m
k
t
t
e
k
m g
v
m g
k
m
c
v
c
kv
m g
k
m
t
kv
m g
m dv
dt
v
dt
dv
m
kv
m g
v
k
kv
m g
F
dt
dv
m
m a
F
-
=
=
-
=
=
=
+
-
-
=
-
=
=
=
-
-
=
=
=
所以得：
解得
由
积分得：
求解方程：
及初始条件：
满足微分方程：
便得
为比例常数
而
解：根据
B 
A 
P(x,y) 
8． 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉
%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？变化的规律，此人胰脏是否正常？ 解: t 以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得染色可得
p dt dp
4.0-=
通解为: c
t p +-=ln 25
加以初始加以初始 p(0)=0.3, 便可求出便可求出 p(t)=0.3e t
4.0-及p(30)=0.3e
12
-
然后与实测比较知,此人胰脏不正常. 
9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
解：设t 时刻容器内含盐)(t P ，10)0(=P ，由于t 时刻容器内液体为：100+t ，因此t 时刻容器内浓度为：t
t P t Q +=100)()(.于是在t 时刻盐的流失速度为：)(2t Q ，从而有)(t P 满足的方
程为：程为：
t
t
t P t dP 2100)()(+-
=
初始化条件为: 
)
(9.325600
100000
60.
)
100(100000
100000,10)
100()
100(ln ln )100ln(2ln 1002
1060202
2
0kg p ，t t P c P t c P t c c t P dt t
p dp P t t t »=
=+===+=
+==+-=+-=====分钟时当于是求得由
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解．求下列微分方程的通解 （1）2
x x
y
y =-
¢；
解：法一：常系数变易法：解齐次方程0y y x ¢-=，分离变量得dy dx y x
=，
积分得1ln ln y x C =+，即y Cx =，其中1
C C e
=±（注：在常系数变易法时求解齐次方
程通解时写成显式解；程通解时写成显式解；
1ln ln y x C =+Þ1
ln ln y
x C e e +=Þ1C y e x =Þy Cx =其中1
C C e =±。

设非齐次方程有解()y u x x =，代入非齐次方程有()()()
2
u x x u x u x x ¢+-=，即
()u x x ¢=，
故()2
12u x x C =+，非齐次微分方程的通解22
x y x C æö=+ç÷è
ø
法二（公式法）法二（公式法）
112dx
dx
x x
y e x e dx C -
æöòò
=+ç÷èø
ò()
ln 2ln x x
e
x e dx C -=
+
ò
()
x xdx C
=+ò
2
2x
x C æö=+ç÷èø
（2）0cos 2)1(2
=-+¢-x xy y x ；
2
2
2cos 11
x x
y y x x ¢+
=--解： 故
2222
1
12cos []1
x x
dx dx
x x x y e
e dx C x ---ò
ò=+-ò 2
1[cos ]1xdx C x =
+-ò2sin 1
x C
x +=
- （()2
2212)11
d x x
dx x x -=--òò （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； 解：方程变形为
11ln dx x dy
y y
y
+
=
故1ln ln 11dy dy y y y y x e e dy C y -
éùòò=×+êúêúëû
òlnln lnln 11y y y e
e dy C -éù=+ëûò 111ln ln y ydy C y éù=+ëûò
()2
111ln ln 2y C y éù=+êúëû
即2
2ln ln x y y C =+，其中12C C = （4）)
(ln 2x y y
y -=
¢；
解：方程变形为
22
ln dx x y dy y y
+=， 故22
2ln dy dy y y x e y e dy C y -
éùòò=×+êúêúëû
ò2ln 2ln 2ln y y e y e dy C y -éù=×+êúëûò
22
12ln y y dy C y y éù=×+êúëûò(
)
21
2ln y ydy C y =+ò
2211ln 2y y C y éù
æö=-+ç÷êúèøëû 即22
1ln 2xy y y
C æö=-+
ç÷è
ø （
分
部
积分
法：
22ln ln y ydy ydy =ò
ò
22ln ln y y y d y =-ò
2ln y y yd y
=-ò
22
ln 2
y y y C =-
+）
（5）
1sin 4-=-x e dx
dy
y 解：两边同乘y e 得4sin y y dy e x e dx =-，即4sin y
y
de x e dx =-，
故令y
u e =，则原方程变为4sin du
u x dx
+= 故(4sin )dx
dx
u e x e dx C -ò
ò=×+ò，即(4sin )x
x
u e x e dx C -=×+ò
得[2(sin
cos )]x
x
x
u e
x e x e C -=×-×+
即原方程通解为2(sin cos )y
x
e x x Ce -=-+ （sin x
x e dx ×ò
用分部积分法积分）用分部积分法积分）
2．求下列微分方程的特解．求下列微分方程的特解
（1）0
,sec tan 0==-¢=x y x x y y ； 解：tan tan [sec ]xdx xdx y e x e dx C -òò=×+òsin sin
cos cos [sec ]x
x
dx dx x
x e x e
dx C -òò=×+ò
cos cos cos cos [sec ]d x d x
x
x e
x e
dx C -
òò=
×+ò
ln cos ln cos [sec ]x
x e x e dx C -=×+ò
()
1
cos dx C x
=+ò
(0)00y c =Þ=代:cos x y x
=特解
(2)1|,sin 0==+¢=x y x x
x y y
解：11
sin [
]dx dx x
x x y e
e dx C x
-ò
ò=×+òln ln sin []x x x e e dx C x -=×+
ò ()11y c p p =Þ=-代1
[sin ]xdx C x =+ò1(cos )x C x =-+
1:(cos 1)y x x
p =--特解
3．一．一 曲线过原点，在)
,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 解：由题意可得：02,0x y x y y =¢=+ìïí
=ïî
于是：úû
ùêëéò+ò
-ò=C dx dx xe dx
e
y 22x x e xe dx C -é
ù=+òêúëû
[2()]x x e xd e C -=-+ò
{
}
2x x x e xe
e dx C --éù=--+
ëûò
(22)x x x e xe e C --=--+ 由00x y ==得2C =，故曲线方程为2(1)x
y e x =-- 4．设可导函数)(x j 满足方程满足方程
ò
+=+ x
0 1sin )(2cos )(x tdt t x x j j ，求)(x j . 
解：问题为初值问题()()()()cos sin 2sin 1
01
x x x x x x j j j j ¢
-+=ìïí=ïî
该微分方程为线性微分方程故()tan tan sec xdx xdx x e xe dx C j -é
ùòò=+êúëû
ò 2
cos sec x xdx C éù
=+ëûò()
cos tan x x C =+
又
()01
j =得1C =，故
()sin cos x x x
j =+
5．设有一个由电阻W =10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 解：由dt
di
L
Ri E +=及可
0510sin 50t di
i t
dt i
=ì+=ïíï=
î 该微分方程为线性微分方程故该微分方程为线性微分方程故
5510sin 5dt
dt i
e
te dt C -æöò
ò=
+ç÷
èø
ò ()
5510sin 5t
t
e
te dt C -=
+ò
5sin5cos5t
t t Ce
-=-+
又0
0t i
==得1C =，故5sin5cos5t
i t t e
-=-+
（分部积分法积5sin 5t
te dt ò
） 6．求下列贝努利方程的通解．求下列贝努利方程的通解 (1) 6
2y x x
y
y =+
¢
解：原方程变形为-6
-52
1
dy y
y x dx
x
+
=，令5
z y -=，则
6
5dz dy y
dx
dx
-=-，
故原方程变为线性微分方程2
5
5dz z x dx x
-=-
故552[(5)]dx dx x
x z e e x dx C -òò=-+ò 5ln 5ln 2
[(5)]x
x
e
e
x dx C -=-+ò
5
5
2[
(5)]x x x dx C -=-+ò
3
552x Cx =+
贝努利方程的通解为5
3
552
y
x Cx -=+ （2）x y x y y tan cos 4
+=¢ 原方程变形为4
3
tan cos dy
y
x y x dx
---×=，令3
z y -=，则
4
3dz dy y
dx
dx
-=-
故原方程变为线性微分方程
3tan 3cos dz
x z x dx
+×=- 故3tan 3tan 3cos xdx xdx z
e
x e
dx C -æöò
ò=
-×+ç÷
èø
ò ()3ln cos 3ln cos 3cos x
x e
x e
dx C -=
-×+ò
()
32cos 3sec x
xdx C
=-+ò
3
cos (3tan )x x C =-+
贝努利方程的通解为
3
3
cos (3tan )
y x x C -=-+
（3）0ln 2
=-+y x x dy
dx y
解：方程变形为2
111
ln dx
x x y dy y y --+=，令1z x -=，则2dz dx x
dy dy
-=- 故原方程变为线性微分方程
ln dz z y
dy y y
-=- 故11
ln dy dy
y y y z e e dy C y -
éùòò=-+êúêúëûò2ln y y dy C y éù
=-+êúëû
ò1ln y ydy C -éù=+ëûò 12
ln y y y y dy C --éù=-+ëûò
ln 1y Cy =++ 贝努利方程的通解为1
ln 1x y Cy -=++，即()ln 11x y Cy ++=
（4）21
2
1
xy x xy y +-=
¢
解：方程变形为1
12
2
2
1x y y y x x -¢-
=-，，令12
z y =，则
12
12
dz
dy y dx dx
-
=
故原方程变为线性微分方程21212dz
x x z dx x -×=- 故221
1221112x x dx dx x x z e xe dx C ---æöòò=+ç÷
ç
÷èøò(
)122411(1)3x C x =-+- 贝努利方程的通解为(
)
1122
2
4
11(1)3y x C x =-+-
§4 可降阶的高阶方程
1．
求下列方程通解。

下列方程通解。

2．
(1)y y x ¢¢¢=+ 解：令dy p dx =，则2
2d y dp dx dx
=，原方程变为线性微分方程dp p x dx =+
故1dx dx p e xe dx C -æöòò=+ç÷èø
ò()1x x x e xe e C --=--+
故(
)
1x
x
x
y
e
xe
e
C dx --=
-
-
+
ò
即2122
x
x y C e x C =--+
（2）1
22
+¢
=
¢¢x y x y ； 解：令dy p dx =，则22d y dp dx dx
=，原方程变为可分离变量的微分方程2
21dp xp dx x =+，
分离变量积分得221
dp x
dx p x =+òò，得()2
11p C x =+
故
(
)
211y C x dx
=+ò，即3
1123
C y x C x C =
++
2
(3)20yy y ¢¢¢-=
解：令dy
p dx =，则2
2d y dp dp dy
dp
p dx dx dy dx dy ===，原方程变为可分离变量的微分方程
2
20dp yp
p dy
-=
若
0p =，即
0y ¢=，故
y D
=
若0p ¹，分离变量积分2dp p
dy y =òò
，得2
1p C y =，
即
21
dp
C y
dx =，分离变量积分
1
2
dy
C dx
y
-=òò，得
12
1
C x C
y -=+
()3
41y
y ¢¢= 解：令dy
p dx =，则2
2d y
dp dp dy
dp p
dx dx dy dx dy
===，原方程变为可分离变量的微分方程
3
1dp
y p
dy
= 分离变量积分3
pdp y dy -=
ò
ò，得2
2
1p y C -=-+，即
2
1dy
y C dx
-=±-+，
变形得2
11C y dy
dx y -=±
，分离变量积分211y dy dx C y ±=-òò
即
(
)2
1
12
11
211C d C y dx
C y ±
-=-ò
ò得
()
2121
1212C y x C C ±
-=+，即
2
1
1
21C y C
x C
±-
=+
即()2
2
1121C y C x C -=+
()
2002.1,0,1x x y y y y ==¢¢¢¢===-求下列方程的特解 解：令dy p dx =，则2
2d y dp dp dy dp p
dx dx dy dx dy
===，原方程变为可分离变量的微分方程
2
dp p p dy
=
由01x y =¢=-，知0,p ¹分离变量积分dp dy
p =
òò
得1y
p C e =，000,1
x x y y ==¢==-得11C =- 即
y
dy e dx
=-，分离变量积分
y
e dy
dx --
=
ò
ò
得2y
e
x C --=+，由00x y ==得21C =-
故特解1y
e
x -=+
（2）0
,0
,20
2
=¢==¢+¢¢==-x x x y y e
y x y
解：令dy p dx =，则2
2d y dp
dx dx
=，原方程变为线性微分方程22x dp xp e dx -+=
故2
22
2211xdx xdx
x
x x p
e
e
e
dx C xe C e -
-
--æöòò=
+
=+ç
÷èø
ò
由0
0,
0x x y
y ==¢==得10C =，即
2
x dy xe
dx
-=
故2
2
212x
x y xe dx e C ---=
=×+ò，由0
0x y ==得212
C =，
故特解为()
2
1
12
x y e -=-
3．求x y =¢¢的经过)1 ,0(且在与直线12
+=
x y 相切的积分曲线. 
解：由题意，原方程可化为：00''1',1
2x x y x y y ===ìï
í==ïî
2
1,
1023
22031
'211
',,
2211',
221,
621,1,11
1
62
x x y x C
y C y x x y x C y C y x x ==\=+===+=++==\=++ 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 
证明：0,0(,)1(232=¹=¢+¢
¢K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负）可取正或负）
用y 作自变量，令y p ¢=得：得：
K d y
p p d p =+2
32)
1(，
1212)
1(1
C Ky p +=+-， 从而从而
2
12
1)
()
(1C Ky C Ky p ++-=，
dx C Ky dy C Ky =+-+2
11)
(1)(，
再积分：再积分：
22
1)(1C Kx C Ky +=+-，
1)()(2
22
1=+++C Ky C Ky ，
2222
1
1)()(K
K C x K C y =+++. 
5．枪弹垂直射穿厚度为d 的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？
解：由方程ïîïíì=-=a
v kv dt dv m )0(，
可得可得 t m
k
ae
v -=，
再从再从 ïîïíì==-0
)0(s
ae
dt ds
t m
k ，
得到得到 )()(t m
k
ae a k
m
t s --=
，
根据根据 b t v t s ==)(,)(00d ，
可得可得 ïïî
ïïí
ì-==-)
(0
b a m k b ae t m k
d ，b a
b a t ln 0-=d §5 高阶线性微分方程
1．已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+¢+¢¢的解，试证
)()(21x y x y -是0)()(=+¢+¢¢y x q y x p y 的解的解
的解
是故代入方程的左边
将所以其满足方程的解是解)()()()(0
)
()())()(())()(()
)(())(()()()()(,:21222111
2121212121x f y x q y x p y y y x f x f y x q y x p y y x q y x p y y y x q y y x p y y y y ，，x f y x q y x p y y y =+¢+¢¢-=-=+¢+¢¢-+¢+¢¢=-+¢-+¢¢--\=+¢+¢¢
3．
已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+¢+¢¢的三个特解x
e
y x y x y 332
21 , ,===，试求此方程满足3)0(
,0)0(=¢=y y 的特解. 解：2
12y y x x -=-；2
323x
y y x e -=-是齐次微分方程的解，是齐次微分方程的解，
且2
122323x
y y x x y y x e
--=¹
--常数，故原方程通解为22312()()x y C x x C x e x =-+-+ 由(0)0,
(0)3y y ¢==得2102C C ==，，即特解为2
32y x x =- 3．验证1
,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+¢-¢¢-y y x y x 的解，并求其通解. 1
)(111)1(,110,1:213
22
132213222111++-=¹--=--=-==++--=¢¢=¢=++-=¢¢=¢x c e x c y 。

，y y y y 。

x y y ，e x y y ，y 。

y ，e xe e x e y e y 。

y ，x x y y x x x
x x x x 故通解为故线性无关常数个解也是齐次微分方程的一解是齐次微分方程的一个也是微分方程的解易观察得是解故满足方程代入微分方程是解故满足方程代入微分方程解
§6 二阶常系数齐次线性微分方程
1． 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 （1）02=-¢+¢¢y y y ；
x x e
c e c y r ，r r r r r 22121
2
12,0)1)(2(,02:+==-==-+=-+-通解解得特征方程解
（2）0136=+¢+¢¢y y y ；
)
2sin 2cos (232
166,0136:2132
x c x c e y i
r r r x
+=±-=-±-==++-通解特征方程解 （3）044=+¢+¢¢y y y ；
x
e
x c c y r r r r r 221212
2)(2,0)2(,044:-+=-===+=++通解特征方程解 （4）02)
4(=+¢¢+y y y
. 
解：特征方程为4
2
210r r ++=，即()
2
2
10r +=得()2
0r i ±=
即特征方程为有二重共轭复根r i =±
故方程通解为()()
1234cos sin y C C x x C C x x =+++。