九年级数学圆的切线
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⊙O于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°,
求证:直线AB是⊙O的切线 B
问：直线AB与圆有没有明确的公共点
C
O
A
辅助线：连接OB
只需再证：AB ⊥ OB
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交
⊙O于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°,
求证:直线AB是⊙O的切线 B
根据作图直线l是切线满足两个条件 1.经过半径的外端
O
D
l
几何语言
OD是⊙O的半径
OD⊥l于D
2.与半径垂直
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
l是⊙O的切线
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r
求证：直线l是⊙O的切线
问：圆与直线l有没有明确共同点
O.
辅助线： OA ⊥l
只需证OA是⊙O的半径
A
l
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r 求证：直线l是⊙O的切线
证明：过点O作OA ⊥l，A为垂足。
O.
OA=d=r
点A在⊙O上
A
l
OA是⊙O的半径 l是⊙O的切线
定理：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直 线是这个圆的切线。
一 判断题
于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°, 求证:直线AB是⊙O的切线
B
证明：连接OBCO NhomakorabeaA
∠C=30° ° AB=BC
∠BOA=60 ∠A= ∠C=30 °
∠OBA=90 ° OB是半径
直线AB是⊙O的切线
练习二
1如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45º。
求证：AT是⊙O的切线。
18
C
A
30º
O
B
D
6、如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，PC=OC过 ⊙O上一点A，作弦AB⊥CO，垂足为E，∠1=∠2，求证： PA是⊙O的切线。
B
EC
O
P
12
A
小结
一 判定一条直线是圆的切线有三种方法 1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3，根据例1圆心到直线的距离等于半径
二 添辅助线的方法 1，已知直线与圆有交点， 连接圆心与交点 2，没有明确的公共点， 过圆心作直线的垂线段
; 银闪付 瀚银银闪付 veg42whv 呀，怎么搞的，小琴的谦卑语气没有了撒，取而代之的更像是一种老婆在极度关心老公的出差之后回到家的各种问候的语气。子溏帅 哥也毫不介意地回答小琴道，“嗯，顺利完成了。”自不必说，他又是很温柔的回答道。这声音真是一把利器啊，我在一旁也被寒得 一身鸡皮疙瘩，哪有女人能受得了啊。唔等一下，大少爷一起回来？但是我怎么看也就只有一个子溏愣在这里而已嘛！于是，我不自 觉得到处张望，想找一下传说中的大少爷。子溏貌似看出来我在做甚，于是就对我说道，“小兄弟，你不用再张望了，大少爷刚刚回 去了。”说罢，便指着已经远离我们但是还勉强能看到一些人影的人群方向，“最高的那个，就是我师傅！”纳尼！那个大彪悍是你 的师父？不对，我们不是在说大少爷吗？你怎么话题转得那么快啊？不对，纳尼！难道你的师父是大少爷？话说，这大少爷不应该是 和丑妇人一个德行才对的吗？应该是又肥又矮满脸狰狞样才对吧？此时，我心中正在激烈地翻滚着。小琴看我一脸惊讶状，就对一开 始她下跪的那件事向我作了解释。原来，小琴是给大少爷下跪的，而且这个大少爷不喜欢和不认识的人有什么眼神接触，难怪小琴把 头埋得这么深。但是我们跪是跪下了，貌似这个大少爷没有注意到我们俩的存在似的，直径走了过去。也许，这就是我们微不足道的 表现的最好的例子了吧。虽然知道了大少爷是那个大汉了，但是我就更好奇这个大少爷是干啥子的了。不是听说是个朝中大官吗？干 嘛穿着一副侠士衣，而且他散发出来的就是去干架的那种气息。还有，他和这位子溏兄去做任务？这是去打怪兽还是公会任务神马的 啊？真心想不明白！子溏兄见我一直在思考什么东西，打趣地问了我话，“小兄弟，你有什么不懂得地方吗？”惊！被他这么问一句 我心中愣是一惊！这怎么能说我在无国界地天马行空地歪歪中呢？于是，我就说到，“没什么，我在发呆而已。”“嗯？这样啊。” 此时子溏的声音听起来简直就是在怀疑我似的。难道，这个帅哥已经看出来了，看出来了我不是这个时代的人？！“小琴，我先走一 步了，还有事要忙。”说罢，子溏就咻的一声消失了。这个，这个子溏深不可测啊，说起话来能放倒一片女人，问起话来又直中要害， 貌似会读心术似的。这时，我转向小琴，发现她露出一脸依依不舍的样子，哎，这花痴时间还没结束吗？我带有取笑意味地对小琴说 道，“子溏兄，你是不是要继续带我去熟悉熟悉你家宅子呢？”小琴听罢，回过神了，作一脸生气状，果然是被我说到点子上去了， 只能装怒去遮掩自己的难为情。然后带着我继续参观这大少爷宅子去了。花了半天时间，总算把这位大少爷的宅子给走了一遍了。其 实，这地方除了很大之外，也没有什么特别的地方
证明：连结OB
C
O
A
OB=OC AB=BC ∠C=30 °
∠OBC= ∠C= ∠A= 30°
∠AOB= ∠C + ∠OBC= 60° ∠ABO= 180°－ （ ∠ AOB + ∠ A）
=180° －（60° + 30° ）=90°
AB⊥OB
AB是⊙O的切线
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交⊙O
B
证明：AT=AB ∠ABT=45º
∠ATB=45º
O
∠BAT=90º
T
A
AT是⊙O的切 线
3 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
4 已知OA=OB=5cm，AB=8cm，⊙O的直径为6cm，求证： AB是⊙O相切。
5、Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30º，延长斜边AB到D， 使BD等于⊙O的半径，求证：DC是⊙O的切线。
1 定义
当直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切 直线叫做圆的切线
唯一的公共点叫切点
O
D
l
根据作图回答 直线l和⊙O还有没有交点？
证明： O
在直线l上任取一点P（除点D外）
连接OP ∵OP>OD， ∴点P在⊙O外 ∴除点D外，直线l与⊙O不在有 其他公共点。
Dp l
作图 1 作半径OD 2 过点D作直线l⊥OD
1、经过半径外端的直线是圆的切线。( ╳ )
2、垂直于半径的直线是圆的切线。（ ╳ ） 3、经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是的切线
（╳） 4、过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
（） 5、和圆有公共点的直线是圆的切线。（ ╳ ） 6、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。（ ）
证明切线的方法
1、利用定义
证明直线与圆有唯一公共点
2、利用切线的判定定理
O
A
l
3、利用例1 证明圆心到直线的距离等于半径
练习一
1、如图，已知点B在⊙O上，根据下列条件，能 否判定直线AB和⊙O相切？
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
B
（2）∠O=68.5º，∠A=21º30′；
3
（3）tgA=
3
O
A
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交
求证:直线AB是⊙O的切线 B
问：直线AB与圆有没有明确的公共点
C
O
A
辅助线：连接OB
只需再证：AB ⊥ OB
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交
⊙O于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°,
求证:直线AB是⊙O的切线 B
根据作图直线l是切线满足两个条件 1.经过半径的外端
O
D
l
几何语言
OD是⊙O的半径
OD⊥l于D
2.与半径垂直
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
l是⊙O的切线
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r
求证：直线l是⊙O的切线
问：圆与直线l有没有明确共同点
O.
辅助线： OA ⊥l
只需证OA是⊙O的半径
A
l
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r 求证：直线l是⊙O的切线
证明：过点O作OA ⊥l，A为垂足。
O.
OA=d=r
点A在⊙O上
A
l
OA是⊙O的半径 l是⊙O的切线
定理：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直 线是这个圆的切线。
一 判断题
于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°, 求证:直线AB是⊙O的切线
B
证明：连接OBCO NhomakorabeaA
∠C=30° ° AB=BC
∠BOA=60 ∠A= ∠C=30 °
∠OBA=90 ° OB是半径
直线AB是⊙O的切线
练习二
1如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45º。
求证：AT是⊙O的切线。
18
C
A
30º
O
B
D
6、如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，PC=OC过 ⊙O上一点A，作弦AB⊥CO，垂足为E，∠1=∠2，求证： PA是⊙O的切线。
B
EC
O
P
12
A
小结
一 判定一条直线是圆的切线有三种方法 1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3，根据例1圆心到直线的距离等于半径
二 添辅助线的方法 1，已知直线与圆有交点， 连接圆心与交点 2，没有明确的公共点， 过圆心作直线的垂线段
; 银闪付 瀚银银闪付 veg42whv 呀，怎么搞的，小琴的谦卑语气没有了撒，取而代之的更像是一种老婆在极度关心老公的出差之后回到家的各种问候的语气。子溏帅 哥也毫不介意地回答小琴道，“嗯，顺利完成了。”自不必说，他又是很温柔的回答道。这声音真是一把利器啊，我在一旁也被寒得 一身鸡皮疙瘩，哪有女人能受得了啊。唔等一下，大少爷一起回来？但是我怎么看也就只有一个子溏愣在这里而已嘛！于是，我不自 觉得到处张望，想找一下传说中的大少爷。子溏貌似看出来我在做甚，于是就对我说道，“小兄弟，你不用再张望了，大少爷刚刚回 去了。”说罢，便指着已经远离我们但是还勉强能看到一些人影的人群方向，“最高的那个，就是我师傅！”纳尼！那个大彪悍是你 的师父？不对，我们不是在说大少爷吗？你怎么话题转得那么快啊？不对，纳尼！难道你的师父是大少爷？话说，这大少爷不应该是 和丑妇人一个德行才对的吗？应该是又肥又矮满脸狰狞样才对吧？此时，我心中正在激烈地翻滚着。小琴看我一脸惊讶状，就对一开 始她下跪的那件事向我作了解释。原来，小琴是给大少爷下跪的，而且这个大少爷不喜欢和不认识的人有什么眼神接触，难怪小琴把 头埋得这么深。但是我们跪是跪下了，貌似这个大少爷没有注意到我们俩的存在似的，直径走了过去。也许，这就是我们微不足道的 表现的最好的例子了吧。虽然知道了大少爷是那个大汉了，但是我就更好奇这个大少爷是干啥子的了。不是听说是个朝中大官吗？干 嘛穿着一副侠士衣，而且他散发出来的就是去干架的那种气息。还有，他和这位子溏兄去做任务？这是去打怪兽还是公会任务神马的 啊？真心想不明白！子溏兄见我一直在思考什么东西，打趣地问了我话，“小兄弟，你有什么不懂得地方吗？”惊！被他这么问一句 我心中愣是一惊！这怎么能说我在无国界地天马行空地歪歪中呢？于是，我就说到，“没什么，我在发呆而已。”“嗯？这样啊。” 此时子溏的声音听起来简直就是在怀疑我似的。难道，这个帅哥已经看出来了，看出来了我不是这个时代的人？！“小琴，我先走一 步了，还有事要忙。”说罢，子溏就咻的一声消失了。这个，这个子溏深不可测啊，说起话来能放倒一片女人，问起话来又直中要害， 貌似会读心术似的。这时，我转向小琴，发现她露出一脸依依不舍的样子，哎，这花痴时间还没结束吗？我带有取笑意味地对小琴说 道，“子溏兄，你是不是要继续带我去熟悉熟悉你家宅子呢？”小琴听罢，回过神了，作一脸生气状，果然是被我说到点子上去了， 只能装怒去遮掩自己的难为情。然后带着我继续参观这大少爷宅子去了。花了半天时间，总算把这位大少爷的宅子给走了一遍了。其 实，这地方除了很大之外，也没有什么特别的地方
证明：连结OB
C
O
A
OB=OC AB=BC ∠C=30 °
∠OBC= ∠C= ∠A= 30°
∠AOB= ∠C + ∠OBC= 60° ∠ABO= 180°－ （ ∠ AOB + ∠ A）
=180° －（60° + 30° ）=90°
AB⊥OB
AB是⊙O的切线
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交⊙O
B
证明：AT=AB ∠ABT=45º
∠ATB=45º
O
∠BAT=90º
T
A
AT是⊙O的切 线
3 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
4 已知OA=OB=5cm，AB=8cm，⊙O的直径为6cm，求证： AB是⊙O相切。
5、Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30º，延长斜边AB到D， 使BD等于⊙O的半径，求证：DC是⊙O的切线。
1 定义
当直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切 直线叫做圆的切线
唯一的公共点叫切点
O
D
l
根据作图回答 直线l和⊙O还有没有交点？
证明： O
在直线l上任取一点P（除点D外）
连接OP ∵OP>OD， ∴点P在⊙O外 ∴除点D外，直线l与⊙O不在有 其他公共点。
Dp l
作图 1 作半径OD 2 过点D作直线l⊥OD
1、经过半径外端的直线是圆的切线。( ╳ )
2、垂直于半径的直线是圆的切线。（ ╳ ） 3、经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是的切线
（╳） 4、过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
（） 5、和圆有公共点的直线是圆的切线。（ ╳ ） 6、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。（ ）
证明切线的方法
1、利用定义
证明直线与圆有唯一公共点
2、利用切线的判定定理
O
A
l
3、利用例1 证明圆心到直线的距离等于半径
练习一
1、如图，已知点B在⊙O上，根据下列条件，能 否判定直线AB和⊙O相切？
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
B
（2）∠O=68.5º，∠A=21º30′；
3
（3）tgA=
3
O
A
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交