2021-2022版高中数学 第七章 三角函数 7.1.1 角的推广课时素养评价新人教B版必修第三册

2021-2022版高中数学第七章三角函数7.1.1 角的推广课时素养评价新人教B版必修第三册
年级：
姓名：
角的推广
(15分钟30分)
1.在①160°;②480°;③-960°;④1 530°这四个角中,属于第二象限角的是
( ) A.① B.①②
C.①②③
D.①②③④
【解析】选 C.①是第二象限的角;②480°=120°+360°是第二象限的角;③-960°=-3×360°+120°是第二象限的角;④1 530°=4×360°+90°不是第二象限的角.
2.与-525°的终边相同的角可表示为( )
A.525°-k·360°(k∈Z)
B.165°+k·360°(k∈Z)
C.195°+k·360°(k∈Z)
D.-195°+k·360°(k∈Z)
【解析】选C.因为-525°=-2×360°+195°,所以与-525°的终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).
3.已知α是锐角,那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一象限角或第二象限角
【解析】选C.α是锐角,所以2α∈(0°,180°),所以2α是小于180°的正角.
4.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是度,分针所转成的角度是度.
【解析】由题意结合任意角的定义可知,
钟表拨快10分钟,
则时针所转成的角度是-×=-5°,
分针所转成的角度是-×360°=-60°.
答案:-5 -60
5.写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角.
【解析】与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,
解得≤k<2.又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角.
(20分钟45分)
一、选择题(每小题5分,共25分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.若α与β终边相同,则α-β的终边落在( )
A.x轴的正半轴上
B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上
D.y轴的负半轴上
【解析】选A.因为α=β+k·360°,k∈Z,
所以α-β=k·360°,k∈Z,
所以其终边在x轴的正半轴上.
2.设集合M={α|α=45°+k·90°,k∈Z},N={α|α=90°+k·45°,k∈Z},则集合M与N的关系是( )
A.M∩N=∅
B.M⊆N
C.M⊇N
D.M=N
【解析】选B.对于集合M,α=45°+k·90°=45°+2k·45°=(2k+1)·45°,
即M={α|α=(2k+1)·45°,k∈Z};对于集合N,α=90°+k·45°=2×45°+k·
45°=(k+2)·45°,即N={α|α=(k+2)·45°,k∈Z}={α|α=n·45°,n∈Z}.因为2k+1表示所有的奇数,而n表示所有的整数,所以M⊆N.
3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】选C.当k=0时,45°≤α≤90°,即选项C中第一象限所表示的部分;
当k=1时,225°≤α≤270°,即选项C中第三象限所表示的部分;当k=2时,其所表示的角的范围与k=0表示的范围一致.综上可得,选项C表示集合
{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角所表示的范围.
【补偿训练】
如图,分别写出适合下列条件的角的集合.
(1)终边落在射线OB上;
(2)终边落在直线OA上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
【解析】(1)终边落在射线OB上的角的集合为
S1=.
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2=.
(3)终边落在第一象限中的阴影区域的角的集合为
,
终边落在第三象限中的阴影区域的角的集合为
=
{α|30°+180°+k·360°≤α≤60°+180°+k·360°,k∈Z}
={α|30°+(2k+1)·180°≤α≤60°+(2k+1)·180°,k∈Z},
因此终边落在阴影区域内的角的集合为
S3={α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}∪
{α|30°+·180°≤α≤60°+·180°,k∈Z}
={α|30°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
4.下列关于角的叙述,正确的是( )
A.第二象限的角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)
【解析】选D.A错,例如495°=135°+360°是第二象限的角,但不是钝角;B错,例如α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限角,但α<β;C错,例如α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合;D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z).
5.(多选题)(2020·潍坊高一检测)下列与412°角的终边相同的角是( )
A.52°
B.778°
C.-308°
D.1 132°
【解析】选ACD.因为412°=360°+52°,
所以与412°角的终边相同的角为β=k×360°+52°,k∈Z,
当k=-1时,β=-308°;
当k=0时,β=52°;
当k=2时,β=772°;
当k=3时,β=1 132°;
当k=4时,β=1 492°.综上,选项A、C、D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.角α,β的终边关于y=x对称,若α=30°,则β=.
【解析】因为30°与60°的终边关于y=x对称,
所以β的终边与60°角的终边相同.
所以β=60°+k·360°,k∈Z.
答案:60°+k·360°,k∈Z
【补偿训练】
如果α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么α=.
【解析】因为5α=α+k·360°,k∈Z,所以α=k·90°,k∈Z.
又因为180°<α<360°,所以α=270°.
答案:270°
7.若角α=2 020°,则与角α具有相同终边的最小正角为,最大负角为.
【解析】因为 2 020°=5×360°+220°,所以与角α终边相同的角的集合为{α|α=220°+k·360°,k∈Z},所以最小正角是220°,最大负角是-140°.
答案:220°-140°
三、解答题
8.(10分)已知角β的终边在直线x-y=0上.
(1)写出角β的集合S.
(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°到360°范围内,终边
落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,
所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},
S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},
所以角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪
{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z.
解得-<n<,n∈Z,
所以n=-2,-1,0,1,2,3.所以集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素为
60°-2×180°=-300°;60°-1×180°=-120°;60°+0×180°=60°;
60°+1×180°=240°;60°+2×180°=420°;60°+3×180°=600°.
【补偿训练】
1.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s达到第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.
【解析】因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°,k∈Z,
则当k=0时,90°<θ<135°.
又因为14θ=n·360°(n∈Z),
所以θ=n·°,从而90°<n·°<135°,
所以<n<,又因为n∈Z,所以n=4或5.
当n=4时,θ=°;当n=5时,θ=°.
2.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
【解析】根据题意可知:14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,
m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=·180°,β=·180°,m,n∈Z.
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2α,2β在第二象限.又0°<α<β<180°,从而可得0°<2α<2β<360°,因此2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°,。