最新-2018年高三文科数学四校联考模拟检测试题及答案

2018年四校联考
郑州一中、开封高中
洛阳一高、信阳高中
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试结束后，将第II 卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题
1．设集合},
,),{(},,3,2,1,0{},1,0,1{B A y B A x y x B A B A ∈∈+=*--=定义集合则A*B 中元素个数是
（ ）
A ．7
B ．10
C ．25
D ．52 2．函数)2,(245)(2
-∞-+-=
在x
x x x f 上的最小值是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3．函数)23
sin(2x y -=π
单调增区间为
（ ） A ．]125,12
[πππ
π+
-k k B ．]1211,125[ππππ++
k k
C ．]6,3
[π
ππ
π+
-
k k
D ．)](3
2
,6[Z k k k ∈++其中ππππ
4．设x ，y ，z 都是正数，那么三个数x
z z y y x 1,1,1+++ （ ）
A ．都不大于2
B ．都不小于2
C ．至少有一个不在于2
D ．以上都不对
5．已知a 、b 为非零的不共线的向量，设条件)(:M -⊥；条件N ：对一切R x ∈，
不等式||||b a b x a -≥-恒成立，则M 是N 的
（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分与不必要条件
6．已知)2s i n ()2(s i n
,)2
3,45(,1)(ααππα--∈-=f f x x f 式子时当可以化简为（ ）
A ．αsin 2
B ．αcos 2-
C ．—αsin 2
D ．αcos 2
7．用简单随机抽样的方法从含有n 个个体的总体中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中
个体a 在第一次抽取中被抽到的概率为8
1
，那么，在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率为
（ ）
A ．
8
1 B ．
8
2 C ．
8
3 D ．
2
1 8．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛完后都回到休息室取外衣，由于灯光暗
淡，看不清自己的外衣，则至少有两个人拿对自己的外衣的情况有 （ ） A ．30种 B ．31种 C ．35种 D ．40种 9．已知x b a x a x x f x b a ⋅⋅++=
≠=)(||2
1
31)(,0||2||23的函数且关于在R 上有极值，则b a 与的夹角的取值范围为
（ ）
A ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡6,
0π B ．⎥⎦
⎤
⎝⎛ππ,3 C ．⎥⎦
⎤
⎝⎛ππ32,3 D ．⎥⎦
⎤
⎝⎛ππ,6 10．数列}{,01
)12(,,1,}{2
11n n
n n n b b x n x a a a a 则数列的两个根是方程中=+
+-=+的前n 项和S n 等于
（ ）
A ．
12+n n
B ．
1
+n n C ．
1
21
+n D ．
1
1+n 11．已知函数),()2,0(,23)(1
23x f x x x x f -∈+-=的反函数为则
（ ）
A ．)23
()21(11--<f f
B ．)23
()21(11
->---f f
C ．)2
3()21(11-->f f D ．)2
5()23(11--<f f 12．双曲线22
2=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2,1)(,( =n y x P n n n 在其右
支上，且满足20082121121,|,|||x F F F P F P F P n n 则⊥=+的值是 （ ）
A ．24016
B ．24015
C ．4016
D ．4015
二、填空题
13．2
5
)1)(2(x x x 的展开式中--项的系数为 。

（用数字做答） 14．在约束条件y x Z t y x t y x y x 23,43,4
200
+=≤≤⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥目标函数时当下的最大值的变化范围
是。

15．已知函数)10(3)(1
≠>-=+a a a
x f x 且的反函数的图象恒过定点A ，且点A 在直线
n
m n m ny mx 2
1,0,0,01+>>=++则
若上的最小值为 。

16．地球北纬45°圈上有A 、B 两点，点A 在东经130°处，点B 在西经140°处，若地球
半径为R ，则A 、B 两地在纬度圈上的劣弧长与A 、B 两地的球面距离之比为 。

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设向量
.,//)cos ,(),cos ,(A b B a ≠==且
（1）求B A sin sin +的取值范围；
（2）若x c b a abx 试确定实数,)(⋅+=的取值范围。

18．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲
闯关成功的概率为
13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15
.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率； （2）求团体总分为4分的概率；
（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率.
19．（本小题满分12分）
已知函数)(x f 对一切实数)12()()(,++=-+y x x y f y x f y x 均有成立，且
.0)1(=f
（1）求)0(f 的值； （2）求)(x f 的解析式；
（3）若函数])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=在区间（—1，2）上是减函数，求实
数a 的取值范围。

20．（本小题满分12分）
如图，设直线x y x ay 222
=-=与抛物线交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径
作圆H （H 为圆心）。

（1）证明：抛物线的顶点在圆H 的圆周上； （2）求a 的值，使圆H 的面积最小。

21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3，PE=2EA （1）求证：PC//平面EBD ；
（2）求平面PCD 与平面PAB 所成角的大小； （3）求异面直线PA 与CD 所成角的大小。

22．（本小题满分12分）
已知正数数列.,}{2
3333231n n n n S a a a a S n a =++++ 且项和为的前 （1）求证：n n n a S a -=22
；
（2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）若),.(2)1(3*1N n b an n n n ∈⋅-+=-为非零常数λλ，问是否存在整数λ，使得对
任意.,1*n n b b N n >∈+都有
参考答案
一、选择题
1—5 BCBDC 6—10 DCBBB 11—12 CC
二、填空题
13．25 14．[7，8] 15．8 16．
4
2
3
三、解答题
17．解：因为B
b
A
a
n
m
A
b
n
B
a
m cos
cos
,
//
)
cos
,(
),
cos
,
(=
=
=所以
且，
.
2
,
2
2
,
,
2
s i n
2
s i n
,
c o s
s i n
c o s
s i n
,
π
π=
+
=
+
≠
=
=
B
A
B
A
n
m
B
A
B
B
A
A
即
所以
又
即
得
由正弦定理
（1）)
4
sin(
2
cos
sin
)
2
sin(
sin
sin
sin
π
π
+
=
+
=
-
+
=
+A
A
A
A
A
B
A
(]分
的取值范围是
因此5
2
,1
sin
sin
2
)
4
sin(
2
1
,
4
3
4
4
,
2
B
A
A
A
A
+
≤
+
<
∴
<
+
<
∴
<
<
π
π
π
π
π
（2）若
ab
c
b
a
x
c
b
a
abx
⋅
+
=
⋅
+
=
)
(
,
)
(则，
由正弦定理，得
(]
[)分
的取值范围为
所以实数
即
所以
则
设
10
.
,2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
cos
sin
,
cos
sin
2
1
,2
,1
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
sin
sin
)
(
2
2
2
2
+∞
=
-
≥
-
=
-
=
-
=
-
=
+
=
∈
=
+
⋅
+
=
⋅
+
=
⋅
+
=
x
t
t
t
t
t
t
x
t
A
A
A
A
t
t
A
A
A
A
A
A
B
A
B
A
ab
c
b
a
x
18．解：（1）设乙闯关成功的概率为
1
P，丙闯关成功的概率为
2
P…………1分因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：
1
12
11
,
36
1
.
5
P
P P
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪⋅=
⎪⎩
…………3分
解得5
2
,2121==
P P …………4分 答：乙闯关成功的概率为21，丙闯关成功的概率为5
2
.
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.
设“团体总分为4分”为事件A ，
则1121121123
()(1)(1)(1).3
2532532510
P A =-⨯
⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= 答：团体总分为4分的概率为3
10
. …………8分
（3）团体总分不小于4分, 即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件B ，由（2）知团体总分为4分的概率为310
， 团体总分为6分, 即3人都闯关成功的概率为1121
.32515
⨯⨯=
所以参加复赛的概率为
.30
11
…………12分 19．解：（1）令2)0(0)1(,2)0()1(0,1-=⇒=∴=-⇒==f f f f y x …………2分 （2）令2)1()0()(02-+=++=⇒=x x x x f x f y …………4分 （3）])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=
上恒成立
在即上恒成立在上是减函数即在)2,1(0)21()2(23)2,1(0)()2,1()()
21()2(23)(2
)21()2(222]2)1()1[()2)(1(22
23222322-≤+--+-≤'-+--+='----+=---++-+=--+++--++=a x a x x g x g a x a x x g x a x a x ax ax x x x x x x x x a x x x
令619
2148120214230)2(0)1(≥⇒⎩⎨⎧≤---+≤---+⇒⎩⎨
⎧≤≤-⇔a a a a a g g …………12分
20．（1）证明：设),(),,(2211y x B y x A
4444)(242042:222121222121221212122=+∴++-=+++=⎩⎨
⎧-==+∴=--⎩⎨⎧=-=y y x x a a y y a y y a x x y y a
y y ay y x
y x ay 又得由 0=⋅∴OB OA ，即抛物线的顶点在圆H 的圆周上 …………6分
（2）)4)(1(2||1
1||22212
a a y y k AB ++=-+
= 4||,0min =⊥=∴AB x AB a 轴时即当，此时圆H 面积最小 …………12分
21．（1）连AC 交BD 于F ，在直角梯形ABCD 中易求BC=6
分
面4////21 EBD EF PC EF EP AE
BC AD FC AF ∴∴===∴
（2）延长BA 、CD 交于O ，则OP 即为面PCD 与面PAB 的交线
过B 作BG ⊥PO 于G ，连OG ，则由三垂线定理知CG ⊥PO ， 于是∠BGC 即为所求， …………6分
分
即由等积法易求86
6arccos ,66cos 5
30
6,556 =∠=
∠∴==BGC BGC CG BG
（3）在Rt △OBC 中易知A 为OB 中点，故取BC 中点H ，连AH ，则∠PAH 即为异面直线
CD 与PA 所成角或其补角。

…………10分 在△PAH 中，易求得AH=PA=PH=23 ∴异面直线PA 与CD 所成角为3
π
…………12分
22．解：（1）当2
3313231,2n n n S a a a a n =++++≥- 由时
分
成立也成立时且时又当两式相减得得4.2.2,1,1211
,0,,12,0)())((,2211211121
3
12111212321
313211 n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n n n a S a a S a n a S a a a a a n a S a S S a a a S S S S S S S S a S a a a -=∴-==∴=-=∴=∴>==-=-+=∴>+=-+=-==+++------
（2）当112
122,2,2----=-=≥n n n n n n a S a a S a n 得由时
分
的等差数列公差为是首项为数列两式相减得8.,1,1}{,
1,02)(2,111
1112
12 n a a a a a a a a a a a a a S S a a n n n n n n n n n n n n n n n n n =∴=-∴>++=+-=+--=--------
（3）n n n n n b n a 2)1(3,1⋅-+=∴=-λ ，
1
,1)2
3
(,1,)23(,32)2(3,
0)2(332]2)1(3[2)1(3111111<∴=<∴⋅->-∴>-+⋅=⋅-+-⋅-+=----+++λλλλλλ取最小值时当恒成立为奇数时当n n n
n n n n n n n n n n n n n b b
分
都有使得对任意存在整数又取最大值时当恒成立为偶函数时又当12.,,1,0,12
3
,23,
2
3
)23(,2,)23(,1*11 n n n n b b n n n >∈-=∴≠<<-∴->∴--=->+--N λλλλλ。