1.2.3 矩形的性质与判定的综合运用九年级上册数学北师大版

O
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
BF
C
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝245cm．
∴OE ＝245cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. （教材P19习题1.6第5题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
矩形的判定 定理
直角三角形 斜边上中线
的性质
状元成才路
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
N 分别为 BC，AD 中点， ∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD , ∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
D N
C M
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
A
B
即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
2. （教材P18习题1.6第1题）如图，在矩形 ABCD 中，对角
线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形
A
D
A
D
O
O
B
C
B
C
新知探究
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线
AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED =
3BE. 求 AE 的长.
A
D
O
E
B
C
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等），
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
B
D
C
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
解：DF∥AB，DF =12AB.证明如下： 四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF =12AC. 又∵AB = AC，∴ DF =12AB.
ABCD 的面积.
A
D
解: ∵∠ACB ＝ 30°, AC＝BD ＝4，
O
∴AB＝2，BC＝2 3．
∴S矩形ABCD ＝AB·BC ＝4 3．
B
C
3. （教材P19习题1.6第2题）如图，在矩形 ABCD 中，对角
线 AC 与 BD 相交于点 O， 过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 E.
已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO 的度数.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 ABDE 是平行四边形，证明如下：
M
∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC， ∴BD = CD,
A
E N
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
F
∴BD=AE, BD∥AE,
AO = CO =12AC，BO = DO =12BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO = BO = DO =12BD.
A
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
D O
即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.
E
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
B
C
∴AE =12AD =12×6 = 3.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC
的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥A
N，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
M
A
E N
B
D
C
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD =12∠BAC，∠CAN =12∠CAM.
5. （教材P19习题1.6第4题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，
AB = 6 cm，BC = 8 cm，将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重
合. 请在图中画出折痕的长.
解: 如图,连接 EC．在矩形 ABCD 中,
A
ED
AB ＝ 6 cm, BC＝ 8 cm,
∴AC ＝ 10 cm, ∴AO＝CO＝ 5 cm．
解:由题意,可得∠EAD
＝3×
4
90°＝
67.5°．
∵AE⊥BD ，
A
D
∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝∠ADE．
∴∠ADE ＝∠DAO ＝ 22.5°,
O
则∠EAO ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°． B E
C
4. （教材P19习题1.6第3题）已知：如图，在△ABC中，AB
= AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形.
M
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN= 12（∠BAC +∠CAM）=
A
12×180°= 90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
E N
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
B
D
C
∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,
C
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四边形 ABDE 是平行四边形,
E
D
∴
BD
∥= AE,
则
CD
∥ =
AE．
A
B
∴四边形 ADCE 为平行四边形．
又∵∠ADC ＝ 90°, ∴四边形 ADCE 为矩形．
1.2.3 矩形的性质与判定 的综合运用
初中数学 九年级上册 BSD
知识回顾
矩形的定义
矩形的性质 定理
矩形的判定 定理
直角三角形 斜边上中线
的性质
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
解: 如图, 连接 PO．在矩形 ABCD 中, AB＝3, AD ＝4,
∴AC＝
BD
＝5,
OA
＝OD
＝5．
2
又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝14S矩形ABCD ,
即12OA·PE ＋12OD ·PF＝14AB·AD ,
∴PE＋PF＝152．
A
P
D
E
F
O
B
C
课堂小结
矩形的定义
矩形的性质 定理
M
A
E N
F
∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴DF∥AB. B
D
C
随堂练习
1.（教材P18随堂练习）已知：如图，四边形 ABCD 由两个
全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，Nห้องสมุดไป่ตู้分别是BC 和
AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
证明:∵ △ABD ≌△CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已
知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = __3_0_°__，
AC=_5__cm.
A
D
O
B
C
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个
条件_∠__A_B__C__=_9_0_°___或__A__C__=_B__D_，可使它成为矩形.