扎鲁特旗第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

扎鲁特旗第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数f （x ）=sin2x
的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（
）A ．
B ．
C ．
D ．
2． 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（ ）
A ．
﹣B ．
C ．2
D ．6
4． （2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率12
2
2
=+y x 的乘积等于，则双曲线的方程是（ ）
1A ． B ．
C ．
D ．12
2=-y x 12
2=-x y 22
2=-y x 2
2
2=-x y 5． 给出以下四个说法：
①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②线性回归直线一定经过样本中心点，；
③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）=；
④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小．其中正确的说法的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）
[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
………A.
B.
C.
D.
34
38
14
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.7． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（
）
A ．2日和5日
B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
8． 若偶函数y=f （x ），x ∈R ，满足f （x+2）=﹣f （x ），且x ∈[0，2]时，f （x ）=1﹣x ，则方程f （x ）=log 8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ）
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8
9． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ）
A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
10．已知命题p ：“若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直”，命题q ：“存在两个相交平面垂直于同一条直线”，则下列命题中的真命题为（ ）
A ．p ∧q
B ．p ∨q
C ．￢p ∨q
D ．p ∧￢q
11．已知双曲线，分别在其左、右焦点，点为双曲线的右支上
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>12,F F P 的一点，圆为三角形的内切圆，所在直线与轴的交点坐标为，与双曲线的一条渐
M 12PF F PM (1,0)
，则双曲线的离心率是（ ）C
A B ．2
C
D 12．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n
B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n
C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β
D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
二、填空题
13．（x ﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．　
14．已知正四棱锥的体积为，O ABCD -2则该正四棱锥的外接球的半径为_________
15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
16．不等式的解集为 ．
17．已知两个单位向量满足：，向量与的夹角为，则
.
,a b 1
2
a b ∙=- 2a b - cos θ=18．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
三、解答题
19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：平面BDGH ∥平面AEF ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．
20．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
21．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；（Ⅱ）若设选出男生的人数为X ，求X 的分布列和EX ．
22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，．
()f x x a =-()a R ∈（Ⅰ）若当时，恒成立，求实数的取值；04x ≤≤()2f x ≤a （Ⅱ）当时，求证：．
03a ≤≤()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-
23．（本小题满分12分）
已知函数.2
1()(3)ln 2
f x x a x x =
+-+（1）若函数在定义域上是单调增函数，求的最小值；
()f x （2）若方程在区间上有两个不同的实根，求的取值范围.
2
1()()(4)02f x a x a x -+--=1[,]e e
24．（本小题满分12分）
已知平面向量，，.
(1,)a x = (23,)b x x =+-
()x R ∈（1）若，求；
//a b ||a b -
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
扎鲁特旗第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x 的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x ﹣
）]=sin （2x ﹣
）；
考察选项不难发现：当x=时，sin （2×
﹣
）=0；
∴（
，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D ．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．　
2． 【答案】A
【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，
则
．
故选A
3． 【答案】A
【解析】解：因为向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，所以﹣3=2m ，解得m=﹣．故选：A ．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．　
4． 【答案】D
【解析】∵椭圆的端点为，∴，(0,
依题意双曲线的实半轴∴，，故选D ．
a =2c =
b =5． 【答案】B
【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错；②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确；
③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．
6．【答案】B
【解析】
7．【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78，
因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，
故选：C．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
8．【答案】D
【解析】解：∵函数y=f（x）为
偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），
∴偶函数y=f（x）
为周期为4的函数，
由x∈[0，2]时，
f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，
同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．
数形结合可得交点个为8，
故选：D．
9．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，
∴∁U M={0，1}，
∴N∩（∁U M）={0，1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：根据线面垂直的定义知若直线a与平面α内两条相交直线垂直，则直线a与平面α垂直，当两条直线不相交时，结论不成立，即命题p为假命题．
垂直于同一条直线的两个平面是平行的，故命题存在两个相交平面垂直于同一条直线为假命题．，即命题q为假命题．
则￢p∨q为真命题，其余都为假命题，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的判断，分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．
11．【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知到直线，得，则为等轴双曲()1,00bx ay -=
=
a b =
.故本题答案选C. 1考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同.求双曲,,a b c ,,a b c ,,a b c 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,,a c ,,a b c 将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
,a c 2
a 12．【答案】B
【解析】解：对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A 错；
对于B ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n 相交，
且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题B 正确．
对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β=l ，也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D ，若“m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l ，所以D 不成立．故选B ．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．
二、填空题
13．【答案】　﹣160　
【解析】解：由于（x ﹣）6展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣2）r •x 6﹣2r ，令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x ﹣）6展开式的常数项为﹣8=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．　
14．【答案】
118
【解析】因为正四棱锥的体积为，所以锥高为2，设外接球的半径为，依轴O ABCD -2R
截面的图形可知：22211(2)8
R R R =-+∴=15．【答案】　84　．
【解析】解：（x 2﹣）9的二项展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r •x 18﹣3r ，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T 7==
=84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．　
16．【答案】　（0，1]　．
【解析】解：不等式，即
，求得0＜x ≤1，故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．　
17．【答案】．【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义；二是坐标运算公式
cos a b a b θ⋅=
；三是利用数量积的几何意义．
1212a b x x y y ⋅=+
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简
18．【答案】　x﹣y﹣2=0　．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH⊂平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得AC⊥平面BDEF，
又∵AO=，四边形BDEF的面积S=3×=6，
∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，
同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
【点评】本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则P（A）=1﹣．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，
左手所取的两球颜色相同的概率为=，
右手所取的两球颜色相同的概率为=．
P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==；
P（X=1）==；
P（X=2）==．
∴X的分布列为：
X012
P
EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C 74=35种情况；若4人全是男生，共有C 84=70种情况；故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C 154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P （X=0）==；P （X=1）==；P （X=2）==；
P （X=3）==；P （X=4）==．…故X 的分布列为X 01234P
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
22．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）得，()2x a f x -=≤22
a x a -≤≤+由题意得，故，所以 …… 5分2042
a a -≤⎧⎨
≤+⎩22a ≤≤2a =（Ⅱ），，， 03a ≤≤∴112a -≤-≤∴12a -≤()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤，
()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==．…… 10分
∴()()()(f x a f x a f ax af x -++≥-23．【答案】（1）；（2）.1111]
01a <<【解析】
则
对恒成立，即对恒成立，
'()0f x ≥0x >1
(3a x x ≥-++0x >而当时，，
0x >1
()3231x x -++≤-+=∴.
1a ≥若函数在上递减，
()f x (0,)+∞则对恒成立，即对恒成立，
'()0f x ≤0x >1
()3a x x ≤-++0x >这是不可能的.
综上，.
1a ≥的最小值为1. 1
（2）由，
2
1()()(2)2ln 02f x a x a x x =-+-+=得，
2
1()(2)2ln 2a x a x x -+-=即，令，，
2ln x x a x +=2ln ()x x r x x +=2331(1)2(ln )
12ln '()x x x x x x x r x x x +-+--==得的根为1，
12ln 0x x --=
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
24．【答案】（1）2或2）．
(1,0)(0,3)- 【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量的夹角为锐角的充要条件是且不共线，由此可得范围．,a b 0a b ⋅> ,a b 试题解析：（1）由，得或，//a b 0x =2x =-当时，，，0x =(2,0)a b -=- ||2a b -=
当时，，.2x =-(2,4)a b -=- ||a b -= （2）与夹角为锐角，，，，0a b ∙> 2230x x -++>13x -<<又因为时，，
0x =//a b 所以的取值范围是.
(1,0)(0,3)- 考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，，但当cos a b a b θ⋅= cos 0θ>cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同0a b a b
⋅> ,a b
向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向．0a b a b
⋅< ,a b。