基本不等式专题训练试卷

基本不等式专题训练试卷
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）
A. a + b≥slant2√(ab)
B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))
C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2
D. a^2+b^2>2ab
解析：
- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。

- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以
(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。

- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式
(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。

- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。

所以答案是C。

2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）
A. 2
B. 2√(2)
C. 4
D. 2 + 2√(2)
解析：
因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +
y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。

根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。

所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。

3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）
A. 8
B. 4
C. 1
D. (1)/(4)
解析：
因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。

又a>0，b>0，(1)/(a)+(1)/(b)=(a + b)/(a)+(a +
b)/(b)=2+(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2+2√(frac{b){a}×(a)/(b)}=4，当且仅当a = b=(1)/(2)时取等号，答案是B。

4. 若x∈(0,(1)/(2))，则函数y = x(1 - 2x)的最大值为（）
A. (1)/(8)
B. (1)/(4)
C. (1)/(2)
D. 没有最大值
解析：
y=x(1 - 2x)=(1)/(2)×2x(1 - 2x)，因为2x+(1 - 2x)=1。

根据基本不等式ab≤slant((a + b)/(2))^2，这里a = 2x，b=1 - 2x，则y=(1)/(2)×2x(1 - 2x)≤slant(1)/(2)×((2x+(1 - 2x))/(2))^2=(1)/(8)，当且仅当2x=1 - 2x，即x=(1)/(4)时取等号，又x∈(0,(1)/(2))，所以函数y = x(1 - 2x)在x∈(0,(1)/(2))上的最大值为(1)/(8)，答案是A。

5. 已知a>0，b>0，a + b = 2，则y=(1)/(a)+(4)/(b)的最小值是（）
A. (7)/(2)
B. 4
C. (9)/(2)
D. 5
解析：
因为a + b=2，则(1)/(2)(a + b) = 1。

y=(1)/(a)+(4)/(b)=(1)/(2)(a +
b)((1)/(a)+(4)/(b))=(1)/(2)(1+(4a)/(b)+(b)/(a)+4)=(1)/(2)(5+(4a)/(b)+(b)/(a))。

根据基本不等式(4a)/(b)+(b)/(a)≥slant2√(frac{4a){b}×(b)/(a)} = 4，当且仅当
(4a)/(b)=(b)/(a)时取等号。

所以y=(1)/(2)(5+(4a)/(b)+(b)/(a))≥slant(1)/(2)(5 + 4)=(9)/(2)，答案是C。

6. 若x,y∈ R^+，且(1)/(x)+(9)/(y)=1，则x + y的最小值是（）
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
解析：
x + y=(x + y)((1)/(x)+(9)/(y))=1+9+(y)/(x)+(9x)/(y)=10+(y)/(x)+(9x)/(y)。

根据基本不等式(y)/(x)+(9x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(9x)/(y)}=6，当且仅当(y)/(x)=(9x)/(y)时取等号。

所以x + y=10+(y)/(x)+(9x)/(y)≥slant10+6 = 16，答案是B。

二、填空题（每题5分，共20分）
1. 已知x>0，当x=______时，y = x+(1)/(x)取得最小值______。

解析：
根据基本不等式a+b≥slant2√(ab)（a,b>0），对于y=x+(1)/(x)，当x>0时，y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)，即x = 1时取等号。

所以当x = 1时，y取得最小值2。

2. 已知a>0，b>0，a + b = 4，则√(ab)的最大值为______。

解析：
根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)，已知a + b = 4，则4≥slant2√(ab)，即
√(ab)≤slant2，当且仅当a=b = 2时取等号，所以√(ab)的最大值为2。

3. 若x>1，则y=x+(1)/(x - 1)的最小值为______。

解析：
因为x>1，则x-1>0。

y=x+(1)/(x - 1)=x - 1+(1)/(x - 1)+1。

根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），对于a=x - 1，b=(1)/(x - 1)，则y=x - 1+(1)/(x - 1)+1≥slant2√((x - 1)×frac{1){x - 1}}+1=3，当且仅当x-1=(1)/(x - 1)，即x = 2时取等号，所以y的最小值为3。

4. 已知x,y∈ R，且x^2+y^2=1，则(1 - xy)(1 + xy)有最______值（填“大”或“小”），其值为______。

解析：
因为x^2+y^2=1，根据基本不等式x^2+y^2≥slant2xy，则xy≤slant(1)/(2)。

(1-xy)(1 + xy)=1-(xy)^2。

因为xy≤slant(1)/(2)，则(xy)^2≤slant(1)/(4)，所以1-(xy)^2≥slant1-(1)/(4)=(3)/(4)。

所以(1 - xy)(1 + xy)有最大值，其值为(3)/(4)。

三、解答题（每题10分，共50分）
1. 已知a>0，b>0，且a + b = 1，求证：(1+(1)/(a))(1+(1)/(b))≥slant9。

证明：
因为a + b = 1，a>0，b>0。

(1+(1)/(a))(1+(1)/(b))=(1+(a + b)/(a))(1+(a + b)/(b))=(2+(b)/(a))(2+(a)/(b))
=4 + 2((b)/(a)+(a)/(b))+1=5+2((b)/(a)+(a)/(b))
根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a =
b=(1)/(2)时取等号。

所以5+2((b)/(a)+(a)/(b))≥slant5+2×2=9，即(1+(1)/(a))(1+(1)/(b))≥slant9。

2. 求函数y=frac{x^2+3x + 6}{x + 1}(x>-1)的最小值。

解析：
因为x>-1，则x + 1>0。

y=frac{x^2+3x + 6}{x + 1}=frac{(x + 1)^2+x + 1+4}{x + 1}=(x + 1)+(4)/(x + 1)+1。

根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），对于a=x + 1，b=(4)/(x + 1)，则y=(x + 1)+(4)/(x + 1)+1≥slant2√((x + 1)×frac{4){x + 1}}+1=5，当且仅当x + 1=(4)/(x + 1)，即x = 1时取等号。

所以函数y=frac{x^2+3x + 6}{x + 1}(x>-1)的最小值为5。

3. 已知x,y∈ R^+，且2x + y = 1，求(1)/(x)+(1)/(y)的最小值。

解析：
因为2x + y = 1，x,y∈ R^+。

(1)/(x)+(1)/(y)=(2x + y)/(x)+(2x + y)/(y)=2+(y)/(x)+(2x)/(y)+1=3+(y)/(x)+(2x)/(y)。

根据基本不等式(y)/(x)+(2x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(2x)/(y)}=2√(2)，当且仅当(y)/(x)=(2x)/(y)时取等号。

所以(1)/(x)+(1)/(y)=3+(y)/(x)+(2x)/(y)≥slant3+2√(2)，所以(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为3 + 2√(2)。

4. 设a,b∈ R^+，且a + b = 1，求证：√(a+frac{1){2}}+√(b+frac{1){2}}≤slant2。

证明：
要证√(a+frac{1){2}}+√(b+frac{1){2}}≤slant2，
只需证(√(a+frac{1){2}}+√(b+frac{1){2}})^2≤slant4。

(√(a+frac{1){2}}+√(b+frac{1){2}})^2=a+(1)/(2)+b+(1)/(2)+2√((a+frac{1){2})(b+(1)/( 2))}
=1 + 2√((a+frac{1){2})(b+(1)/(2))}
因为a + b = 1，根据基本不等式ab≤slant((a + b)/(2))^2=(1)/(4)。

(a+(1)/(2))(b+(1)/(2))=ab+(1)/(2)(a + b)+(1)/(4)=ab+(3)/(4)
ab≤slant(1)/(4)，则(a+(1)/(2))(b+(1)/(2))≤slant1。

所以1 + 2√((a+frac{1){2})(b+(1)/(2))}≤slant1+2 = 4。

所以\(\。