初三九年级上册数学 压轴解答题综合测试卷(word含答案)

初三九年级上册数学 压轴解答题综合测试卷（word 含答案）
一、压轴题
1．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．
2．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数2
3
y x b =-
+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；
（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．
3．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2
y x
=
在第一象限内的图象记作,H 则
()1,min D H l = ．
（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，
T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范
围，
（3）已知直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝+-+⎭
+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．
4．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．
（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；
（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长． 5．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ． (1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；
(2)在整个运动过程中，点O 的运动路径长_____；
(3)以O 为圆心，OQ 长为半径作⊙O ，当⊙O 与AB 相切时，求△COB 的面积．
6．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着
A C
B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜
边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.
（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）
（2）求S与t的函数表达式；
（3）在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，直接写出t的值.
7．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
8．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．
9．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA
，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.
（1）①依题意补全图形. ②求证：∠OFC=∠ODC ． （2）连接FB ，若B 是OA 的中点，
O 的半径是4，求FB 的长.
10．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
11．如图 1，抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且
3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
12．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；
（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求
tan ACB ∠；
（3）若5
tan 2
CDE ∠=
，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.
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一、压轴题
1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】
（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=
1
2
∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】
（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502
BEF
EBF BFE -∠∠=∠=
= ，即50BFD ∠=
∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥
∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，100
5022
BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB
（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=
1
2
∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠
∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M
∵8090BEF ∠=<
∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解． 2．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(,)1313
【解析】 【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值； （2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标． 【详解】 （1）在2
3
y x b =-
+中，令x=0，解得y=b ，
则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，
∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ）， 将点E 代入2
3
y x b =-+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=
11
()(31)3622
OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13
=42
ODM OAED S S ∆=
四边形 设M 的横坐标是a ，则13
322
a ⨯=， 解得：1a =， 将1x a ==代入2
33
y x =-
+中，得： 27333
y =-⨯+=
则点M 坐标为7
(1,)3
；
（3）依题意，有两种情况：
①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32
， 把32y =
代入2
33
y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94
x =， ∴点M 坐标为93
(,)42
， 点N 坐标为93(,)42
-；
②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2
(,3)3
m m -
+， 由OM=OD 得：2
22
(3)93
m m +-+=， 解得：36
13
m =
或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(
,)1313， 又MN ∥OD ，MN=OD=3， ∴点N 的坐标为3654(
,)1313
， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42
-或3654(
,)1313
．
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 3．（1）22+；（2）63103t ≤≤-或103165-≤≤-3）
32
5m ≤-
或0m ≥ 【解析】 【分析】 （1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，
最后利用勾股定理计算即可；
（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l
的最大距离为TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；
（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可． 【详解】
解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线
1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，
∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ， ∴2
x b x
-+=
，即220x bx -+=，只有一个解， ∴24120b ∆=-⨯⨯=
，解得b =
∴y x =-+
联立2
y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩
，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
P ，
∴PM OM ==
P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ，
∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2， ∵直线1l ：2y x =--，
∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-， ∴A(－2，0)，B(0，－2)， ∴OA=OB=2， 又∵OQ 平分∠AOB ， ∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，
∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离， ∵OA=OB ，
∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=︒， ∴AQ=OQ ，
∴在Rt AOQ 中，OA=2，则
，
∴2PQ OP OQ =+=+(
)1,2min D H l =
（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，
则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=︒，则3
FT =， ∴610FT ≤≤， 又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤，
解得63103t ≤≤103165-≤≤-； （3）∵直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝+-+⎭+，
∴把点P 代入得：
211121
1184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪
--⎝⎭
， 整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，
∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩，化简得224801a b c c +-+=⎧⎨=⎩
，
∴1
82
b a =-+，
又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：1
82
y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，
∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，
∴点E 一定在直线28y x =+上运动，
情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +， ∴(),28m m F ---，
把点F 代入182y x =-
+得：18282m m +=--，解得：325
m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，
∴点E 要沿直线向下运动，即325
m ≤-
；
情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时， 把点E 代入182y x =-
+得：1
8282
m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，
综上所述，
32
5
m≤-或0
m≥．
【点睛】
本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．
4．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．
【解析】
【分析】
（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；
（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝
∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋
角”∠CPD的度数＝CD的度数；
（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD
＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，结合圆的直径
为26可得出CD＝3PCD的周长为3DF＝24，过点O作
OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．
【详解】
（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠DPC是直径AB的回旋角．
（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：
如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．
∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，
∴∠APE＝∠APD．
∵圆是轴对称图形，
∴∠E＝∠D．
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠C，
∴∠D＝∠C．
由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，
∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．
（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．
同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PFC是等边三角形，
∴∠CFD＝60°．
连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，
∴CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，
∵AB=26，∴OC=13，
∴
3
2 CG
∴CD＝2×133
2
＝133
∵△PCD的周长为24+133，∴PD+PC+CD＝24+133，
∴PD +PC ＝DF ＝24．
过点O 作OH ⊥DF 于点H ，则DH ＝FH ＝
1
2
DF ＝12． 在Rt △OHD 中，OH ＝222213125OD DH -=-=, 在Rt △OHP 中，∠OPH ＝30°， ∴OP ＝2OH ＝10，
∴AP ＝OA ﹣OP ＝13﹣10＝3； ②当点P 在半径OB 上时， 同①的方法，可得：BP ＝3， ∴AP ＝AB ﹣BP ＝26﹣3＝23． 综上所述，AP 的长为：3或23．
【点睛】
此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP 的长度由点P 所在的位置决定，因此必须分情况讨论. 5．(1)BQ=8.2cm ；(2)5cm ；(3)S △BOC ＝396
25
. 【解析】 【分析】
(1)根据ABC APQ ∆~∆得
AC AB
AQ AP
=，从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长； （2）由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时，可以确定点O 的位置，再根据点Q 位于
AB 上除端点外的任意一点时，由点O 是PQ 的中点，点F 是PB 的中点可知OF 是
PBQ ∆的中位线，从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线，即线段EF ，即可求得
答案；
（3）连接AO ，过点O 作ON AC ⊥ ，先证明APQ ABC ∆~∆得到AQ AP PQ
AC AB BC
== ，所以求得,AQ PQ 的值，且OP OQ =，再证明PON PAQ ∆~∆得到
ON PO
AQ PA
=，求得ON 的值，再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案；
【详解】
解：(1)如图1所示，
∵90,6,8C AC cm BC cm ∠=== ∴10AB cm = 又∵点P 为AC 的中点， ∴3AP cm = ∵ABC APQ ∆~∆ ∴
AC AB AQ AP = ，即610
3
AQ = 解之得： 1.8AQ = 则8.2BQ AB AQ cm =-= (2)如图2，
当点Q 与点A 重合时，点O 位于点E 的位置， 当点Q 与点B 重合时，点O 位于点F 的位置， 则EF 是△APB 的中位线，
∴EF ∥AB ，且EF ＝
12AB ＝5，1
52
EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时， ∵点O 是PQ 中点，点F 是PB 的中点， ∴OF 是△PBQ 的中位线， ∴OF ∥BQ ，
∴点O 的运动轨迹是线段EF ， 则点O 的运动路径长是5cm ； 故答案为5cm ．
(3)如图3，连接AO ，过点O 作ON AC ⊥于点N ，
∵⊙O 与AB 相切，
∴PQ AB ⊥ ，即90AQP ∠= ， ∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠= ∴APQ ABC ∆~∆ ∴
AQ AP PQ AC AB BC == ，即36108
AQ PQ
== 解之得： 912
,55
AQ PQ == 则65
OP OQ ==
∵ON AC ⊥
∴90PNO PQA ∠=
∠= 又∵OPN APQ ∠=∠ ∴PON PAQ ∆~∆，
∴ON PO AQ PA = ，即
6
5
935ON = ， 解之得:18
25
ON =
则BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--
111
•••222
BC AC AB OQ AC ON =
-- 11611868106225225=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 396
25
= 【点睛】
本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题，掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.
6．（1）7-t （2）()()()2
2904;
25
{1674725
t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t ==
【解析】 【分析】
（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；
（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论． 【详解】
（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7． ∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ． 故答案为：7﹣t ；
（2）在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，根据勾股定理得：AB =5，由运动知，AP =t ，分两种情况讨论：
①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，如图1，记⊙P 与边AB 的切点为H ，连接PH ，∴∠AHP =90°=∠ACB ． ∵∠A =∠A ，∴△APH ∽△ACB ，∴
PH AP BC AB =，∴35PH t =，∴PH 35=t ，∴S 925
=πt 2
； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，如图，记⊙P 与边AB 的切点为G ，连接PG ，∴∠BGP =90°=∠C ．
∵∠B =∠B ，∴△BGP ∽△BCA ，∴PG BP AC AB =，∴745PG t -=，∴PG 4
5
=（7﹣t ），∴S 16
25
=
π（7﹣t ）2． 综上所述：S 2
290425
1674725
t t t t ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩（＜）（）（＜＜）；
（3）分两种情况讨论：
①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，由（2）知，⊙P 的半径PH 3
5
=t ． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边BC 相切，∴PC =PH ． ∵PC =4﹣t ，∴4﹣t 35=
t ，∴t 5
2
=秒； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，由（2）知，⊙P 的半径PG 4
5
=（7﹣t ）． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边AC 相切，∴PC =PG ．
∵PC=t﹣4，∴t﹣4
4
5
=（7﹣t），∴t
16
3
=秒．
综上所述：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为5
2
秒或
16
3
秒．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．
7．（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或
（17）π；②21
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=
，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH垂直平分线段AD，
∴FA＝FD，
∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB＝
83，
∴⊙O的面积为16
3
π．
如图2中，当AF＝AO时，
∵AB22
AC BC
+2
16x
+
∴OA＝
2 16
2
x +，
∵AF＝22
EF AE
+＝
22
2
11
82
x
⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
∴
2
16
2
x
+＝22
2
11
82
x
⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得x＝4（负根已经舍弃），
∴AB＝42，
∴⊙O的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2
164x
+，
∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴16＝x•2
164x
+，
解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），
∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π•1
4
•AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2，
∴AE＝3
2，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
，
∵EF＝1
8
x2＝
9
8
，
∴FG
＝
2
﹣
9
8
，AF
15
8
，AH
，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，
∴GF CG AF AH
=，
∴
9 28
15
8
-
=
∴CG
，
＝
．
故答案为
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
8．（1）菱形的周长为8；（2）t=6
5
，∠MAC=105°；（3）当t=1
﹣
5
或t=1
圆M与AC相切．
【解析】
试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：
AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明
△AFM 是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF 的度数，故此可求得∠MAC 的度数；（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长，然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值；如图5所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=33
，最后依据3t+2t=5+AE ．列方程求解即可． 试题解析：（1）如图1所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，
∵()B 1,3-，()A 2,0，
∴BE 3=，AE 1=，
∴22AB AE BE 2=+=，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB BC CD AD ===，
∴菱形的周长248=⨯=．
（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，
∵()M 3,1-，
∴()F 3,0-，
∵AD 2=，且E 为AD 中点，
∴()E 30，
，EF 6=， ∴2t 3t 6+=，
解得6t 5
=． 平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，
垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点，
∵由（1）可知，AE 1=，BE 3=，
∴tan EAB 3∠=，
∴EAB 60∠=︒，
∴FAB 120∠=︒，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴11FAC FAB 1206022
∠∠=
=⨯︒=︒， ∵AD 为M 切线，
∴MF AD ⊥， ∵F 为AD 的中点，
∴AF MF 1==，
∴AFM 是等腰直角三角形，
∴MAF 45∠=︒，
∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒．
（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，
∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，
∴DAC 60∠=︒．
∵AC 、AD 是圆M 的切线
∴MAE 30∠=︒，
∵ME MN 1==．
∴EA 3=，
∴3t 2t 53+=-，
∴3t 1=-． 如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，
∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，
∴DAC 60∠=︒，
∴NAE 120∠=︒，
∵AC 、AD 是圆M 的切线，
∴MAE 60∠=︒，
∵ME MN 1==， ∴3EA = ∴33t 2t 5+=+
， ∴3t 1=+． 综上所述，当3t 15=-
或3t 115=+时，圆M 与AC 相切． 点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.
9．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=21
【解析】
【分析】
（1）①根据题意，补全图形即可；
②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC
=，利用等量代换可得AD CE
=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得
∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；
（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=1
2
OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC
的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.
【详解】
（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，
②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，
∴AD AC
=，
∵CE CA
=，
∴AD CE
=，
∴∠EOC=∠AOD，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴∠OFC+∠FOC=90°，
∴∠OFC=∠ODC.
（2）连接BF，作BG⊥l于G，
∵B是OA的中点，⊙O半径为4，
∴OB=1
2
OA=
1
2
OC=2，
∵OA⊥CD，
∴∠OCD=30°，22
OC OB
-22
42
-3∴CD=2BC=43
由（1）可知∠OFC=∠ODC，
∴FC=CD=3
∵BG⊥l，OC⊥l，
∴OC//BG，
∴∠CBG=∠OCD=30°，
∴CG=12
BC=3，BG=22BC CG -=3， ∴FG=FC+CG=53，
∴BF=22FG BG +=221.
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
10．（1）10；（2）1056+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；
（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可；
②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110
y x =，若要击杀则有(215610010a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．
【详解】
（1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；
（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．
由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，
可设2(10)6y m x =-+，
将（0，2）代入，可得：125m =-
， ∴21(10)625
y x =--+， 当0y =，得5610x =±(负值舍去)，
∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入
(2
y a x k =-+，得100k a =-；
②不存在． ∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122
=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点， ∴扣杀路线在直线110
y x =上，
令(2110010a x a x --=，
整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
， 当0=时符合条件， 2
21106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，
解得1400
a =
，2400a =． 开口向下，0a ＜， ∴1a ，2a 都可以，
将1a ，2a 分别代入(2110010a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
11．（1）()221y x =--；（2）1023n <<
；（3）552
M x << 【解析】
【分析】
(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A 点坐标可求B 点坐标，代入解析式可得；
(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P ，由题意可得ACB BCP ∠>∠，过点C 作//l x 轴.作PD l ⊥，可得ACO PCD ∠=∠，设
()2,43P t t t -+，由13
tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；
(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，
运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，设M 点坐标为()2,43t t t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
， 由两点间距离公式可得2MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2CN =2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由3MN CN
=可得：52
t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围.
【详解】
解：()1对称轴为422a
x a -=-=
()3,0B ∴
()0,1C ∴
代入
()224321y x x x ∴=-+=--
()()222:21C x n ---
()2423x n x =-++
CAP ∆的内心I 在CAB △内部
,ACB BCP ∴∠>∠
∴当ACB BCP ∠=∠时
过C 作//l x 轴.作PD l ⊥
,ACB BCP ∠=∠
90,OCD ∠=
45,DCB ∠=
,ACO PCD ∴∠=∠
13tan ACD tan PCD ∠=∠= 设()2,43P t t t -+ 13
PD CD ∴= 3p y DP OC +==
214333
t t t ∴-++= 113
t = 将P 代入2C 解析式中 103n ∴=
又P 在第一象限内
h AB ∴>
2n ∴>
1023n ∴<<
(3) 552
M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：
由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3, MCB ∠为直角，C(0,3)，
∴直线CM 的解析式为：y=x+3，
则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为： 2343x x x +=-+，
解得：x=5或0(舍去)，
所以，当MCB ∠为直角时，5M x =； 当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示：
过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，
设M 点坐标为()
2,43t t t -+， MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3,
∴MN 解析式可设：y=x+b,
将P ()2,43t t t -+代入解析式可得：
b=253t t -+,
则直线MN 解析式为：253y x t t =+-+， 将直线MN 与直线CB 解析式联立可得： N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
， ∴2MN =22
22215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 221322
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 2CN = 22
2215152222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=221522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 由3MN CN
=可得： 2213221522
t t t t --=3； 解得：52
t =或0(舍去) ； ∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：
552M x <<. 【点睛】
本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键.
12．(1)证明见解析；（2）①21
（3）21029
y x =
【解析】
【分析】 ()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；
()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证ADB ∽CDE.从而得
AD DB CD DE =； ②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，证MAF ≌DAF 得MF DF =，据此知BM CM CD 3===，MF DF 2==
，求得CF ==定义可得答案；
()3证ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而得2ABC BCD 111S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222
∠∠∠-=⋅⋅-
⋅⋅=，再由5tan ABC tan
CDE 2∠∠==
，可设BM 2a =，知AM 5a =，AB =，由面积法可得BN =
，即20sin BAC 29∠=，据此得出答案． 【详解】
解：()1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，
ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=．
AB AC =，
ABC ACB ∠∠∴=．
ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===；
()2①四边形ABCD 内接于圆，
BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=．
又ADB CDE ∠∠=，
ADB ∴∽CDE ．
AD DB CD DE
∴=， AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=；
②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，
AM 平分BAC ∠，
AM BC ∴⊥，
CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=．
MAF ∴≌()DAF ASA ．
MF DF ∴=，即AC 是线段MD 的中垂线． BM CM CD 3∴===，
MF DF 2∴==，
在Rt CDF 中，2222CF CD DF 325=--=，
BF tan ACB 5CF 5
∠∴=== ()3BAD EAB ∠∠=，ADB ACB ABE ∠∠∠==，
ABD ∴∽AEB ，
AB AD AE AB
∴=，即2AB AD AE =⋅． CDE ADB ∠∠=，DCE BAD ∠∠=
ABD ∴∽CED ，
BD AD DE CD
∴=，即BD CD AD DE ⋅=⋅． ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22
∠∠-=⋅⋅-⋅⋅,
()1sin BAC AD AE AD DE 2
∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2
∠=，
又5tan ABC tan CDE 2
∠∠==， 如图2，设BM 2a =，则AM 5a =，AB 29a =
， 由面积法可得BN 29=，即20sin BAC 29
∠=， 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==
⨯=． 【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．。