上海澳大利亚国际中学2018-2019学年高三数学理月考试题含解析

上海澳大利亚国际中学2018-2019学年高三数学理月考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量均为单位向量，若它们的夹角为，则等
于（）
4
参考答案：
A
略
2. 已知函数则，则实数的值等
于（）
A．－3 B．－l或3 C．1 D．－3或l
参考答案：
D
因为，所以由得。

当时，
，所以。

当时，，解得。

所以实数的值为或，选D.
3. 中，角所对的边，若，，，则
( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
4. 设复数z＝2＋i，则
A．－5＋3i
B．－5－3i
C．5＋3i
D．5－3i
参考答案：
C
5. 设为等差数列的前项和,,则
= （）
A．B．C．D．2
参考答案：
A
略
6. 已知f(x)为偶函数且＝8，则等于-------------（）
A.0
B. 4
C.
8 D. 16
参考答案：
C
7. 函数的单调递增区间为（）Ks5u
A． B. C. D．
参考答案：
D
8. 若集合，，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
9. 下列函数中，即是偶函数又在区间上单调递减的是（）
A B C D
参考答案：
D
略
10. 在复平面内，复数对应的点位于（）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是
为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为 (精确到0．1，已知）．
参考答案：
12. 设，则的最大值是_________________。

参考答案：
答案：1
13. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为真命题的是 .
参考答案：
①②④
14. 设，，，则由小到大的顺序为．
参考答案：
15. 设点（a，b）是区域内的任意一点，则的取值范围是．
参考答案：
（，6）
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，﹣2）的斜率，
由图象得AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（0，4），B（4，0），
则AD的斜率k==6，BD的斜率k==，
则的取值范围是（，6），
故答案为：（，6）．
16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为。

参考答案：
17. 已知等差数列()中，，，则数列的通项公式
；______．
参考答案：
,
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）若由数列生成的数列满足对任意的
其中，则称数列为“Z数列”。

（I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；
（II）若数列是“Z数列”，
（III）若数列是“Z数列”，设求证
参考答案：
解：（I）因为
所以………………2分所以
所以是“Z数列”。

………………4分（II）因为
，………………6分所以，
又………………8分（III）因为，
………………10分
又，
所以………………12分
所以………………13分
略
19. 如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是棱AB的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面是棱BB1的中点，当二面角
的大小为时，求线段DC的长度.
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连结交于点，则为的中点,证明，即可证明结论；（2）证明面，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设得长度为，求平面与平面的法向量，得二面角的余弦值求即可
【详解】（1）连结交于点，则为的中点
连结，而是中点，则
因为平面平面，所以平面
（2）因为平面，所以
又是棱的中点，∴所以面
以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设得长度为，则
所以
分别设平面与平面的法向量为
由解得，同理可得
由，解得
所以线段的长度为
【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求二面角，熟记定理，准确计算是关键，是中档题
20. 设函数.
（1）求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）∵函数，
当且仅当，即时，
函数的最小值为3.
（2）函数
而函数表示过点，斜率为的一条直线，
如图所示：当直线过点时，，∴，
当直线过点时，，∴.
故当集合，函数恒成立.
即的图象恒位于直线的上方，
数形结合可得要求的的范围为.
21. 现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择。

但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地；（1）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；
（2）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率；
（3）用X,Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记.求随机变量的分布列与数学期望.
参考答案：
依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为
设“这4个人中恰有人去A地旅游”为事件
∴.---------------------------------------------2分
（1）这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为------------3分
（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=，
∴------------------------------------------6分
（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，
------------------------------------------------------8分∴ξ的分布列是
--------------------------------------10分
22. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式在时恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）当时，由，得，两边平方，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）对恒成立，等价于
，即对恒成立，求出的最大值与的最小值即可得结果.
【详解】（1）当时，由，得，，
，解得或，所以的解集为
（2）对恒成立，即，
即，对恒成立，
显然，
令，则，在单调递增，
，
．
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
④转化为一元二次不等式求解，体现了转化思想.。