沪科九年级数学上册第23章2 第4课时 坡角、坡度问题

2m .
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
α
A
β
E F
23
6
B C
D
分析：根据题意先建立直角三角形；
5.能用解直角三角形的知识灵活解决与直线相关的问题.
6.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实
际生活的紧密联系．
知识回顾
什么叫做坡度？
如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高
度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
i
h
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
l
坡面与水平面的夹角叫做
α
O
y2 y1
tan
k
x2 x1
x
合作探究
例 已知，在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直
线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
y y
求证：tan 2 1 k .
x2 x1
y
P2(x2，y2)
α
R
P1(x1，y1)
分析：要想计算∠α的正切值，要在直
O
Q1 Q2
x
∵P1，P2都在直线y=kx+b上，
P1R交P2Q2于点R，得
∠P2P1R=α.
在Rt△P2P1R中， tan
α
RP2 | y2 y1 | y2 y1


.
RP1 | x2 x1 | x2 x1
∴y1=kx1+b①， y2=kx2+b②.
由② – ①，得y2–y1=k(x2–x1)，
3
，
5
3
4
∴tan α = .
3
4
∴直线l的比例系数k的值为 .
解
直
角
三角Βιβλιοθήκη 形及其应
用
如果直线y=kx+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条
直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.那么我们可以得到如
下结论：
y2 y1
tan
k
x2 x1
y
P2(x2，y2)
P1(x1，y1)
若OP与x轴正方向所夹的锐角为α，则
x
y
(1)sin α=
x 2 y 2 ；(2) cosy α= x 2 y 2
；(3) tan α=
P
y
α
O
x
x
y
x
.
3
5
3.已知直线l的向上方向与x轴正方向的夹角是一个锐角α，且sin α= .
求直线l的比例系数.
解：设直线l的比例系数为k.
∵sin α =
BE=CF=23 m，BC=EF=6 m.
1
3
(1)由tan α=i= ，得∠α ≈18°.
(2) ∵BE=CF=23m，


1
3
= ，


=
1
，
2.5
∴AE=3×23=69(m)，DF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5(m).
由AE=69 m，BE=23m，根据勾股定理，得AB≈72.7m.
还要计算坡角α和β，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：1.6，tan β=i'=1：2.5.
9.8
C
5.8
B
β
α
A
E
解：过点C作CF⊥AD于点F，得
F
CF=BE，EF=BC，∠A=α，∠D=β.
∵BE=5.8m，


=
1

，
1.6
=
1
，
2.5
∴AE=1.6×5.8=9.28(m)，DF=2.5×5.8=14.5(m).
l
注意：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
解决与坡度、坡角有关的实际问题：
利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问
题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯
形问题转化为直角三角形来解决.
知识回顾
在Rt△ABC中，∠C=90°．则有
∠的对边
斜边
sin A=
，cos A=
(4)得到实际问题的答案.
如图所示，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度
i=1∶2，坝高h=20m，则迎水坡的水平宽度=


tan α=
.
B
40 m
C
α
A
E
D
，
合作探究
如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=
9.8 m，路基高BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1：1.6，斜坡CD的坡度
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
1
1.6
由tan α=i= =0.625，tan β=i'=
1
=0.4，得
2.5
α=32°，tan β=22°(可以借助计算器计算).
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和22°.
D
方法归纳
解决与坡度、坡角有关的实际问题
i'=1：2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和
β(精确到1°)的值。
9.8
C
5.8
B
β
α
A
E
F
D
分析：题目中给出了两个坡度值，目前对应的只有一个直角三角形，需要再建立
一个直角三角形；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=9.8 m，只要再分别求出AE和FD即可；
23.2 解直角三角形及其应用
第4课时 坡角、坡度问题
1.加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡
峭程度间的关系.
2.了解直线的向上方向与x轴正方向夹角的正切值与直线一次项系
数k之间的关系.
3.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
4.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.
∠的邻边
斜边
，tan A=
B
斜边
∠A的对边
C
∠A的邻边
A
∠的对边
∠的邻边
.
如图，在平面直角坐标系中，如果直线y=kx+b上有任意两点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
y
P2(x2，y2)
P1(x1，y1)
你能用P1，P2
的坐标表示∠α
的正切值吗？
利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际
问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线
把梯形问题转化为直角三角形来解决.
1.如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝
45°
20 2
高BE=20 m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______.
B
C
α
A
E
y y
求证：tan 2 1 k .
x2 x1
y
证明：如图，由α是锐角，可知直线y=kx+b是上
P2(x2，y2)
α
R
P1(x1，y1)
升的，即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
设x1＜x2，则y1＜y2.过点P1，P2的作x轴的垂线，
垂足分别为Q1，Q2，再过点P1作x轴的平行线
i=h∶l
h
α
l
坡角(或称倾斜角)，记作α，
h
于是有 i tan .
l
坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
如图所示，在△ABC中.
(1)若 h = 2 cm，l = 5 cm，则斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5 ；
(2)若斜坡AB的坡度 i = 1∶1.5，h = 2 m，则 l = 3 m ；
α
O
x
角三角形中，且知道它的对边与斜边
的值；
不能直接计算，需要把∠α进行转化；
P1R=x2–x1，P2R=y2–y1，即可计算tan α；
最后证明P1，P2的坐标与直线的比例系
数k之间的关系.
α
O
Q1 Q2
x
合作探究
例 已知，在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直
线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
BE=
=
70
≈49.01(mm)，
tan 55°
∴BC=2BE+EF=49.01×2+180≈278(mm).
答：燕尾槽的里口宽为278 mm.
B
E
F
C
坡度(坡比)、坡角、坡面：
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡
解
直
角
三
角
形
及
其
应
用
比)，记作i，即 i
h (坡度通常写成h∶l的形式) ．
3.如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=
55°，外口宽AD=180 mm，燕尾槽的深度AE=70 mm，求它的里口宽
BC的值(精确到1 mm)
A
D
解：过点D作垂线，交BC于F点，垂足为F点，则有
AE=DF=70 m，EF=AD=180 mm.
在Rt△ABE中，

tan 55°
y2 y1
y2 y1
k
. 即 tan
k.
x2 x1
x2 x1
方法归纳
如果直线y=kx+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这
条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.那么我们可以得
到如下结论：
y
P2(x2，y2)
P1(x1，y1)
y2 y1
tan