工程测试和信号处理课后答案

2-8 进行某次动态压力测量时，所用的压电式力传感器的灵敏度为
Mpa ，将它与增益为0. 005V/nC 的电荷放大器相联，而电荷放大器的输出接到一台笔记式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V 。

试计算这个测量系统的总灵敏度，又当压力变化为时，记录笔在记录纸上的位移量是多少？ 解： 总灵敏度
MPa mm V mm nC V MPa nC k k k k /09.9/20/005.0/9.900302010=⨯⨯=⨯⨯= 记录的位移=mm 8.3109.95.3=⨯。

2-9求周期信号X(t)=+(100t-045)通过传递函数为1
005.01
)(+=s s H 的
装置后所得到的稳态响应。

解： 因题设装置的频率响应函数为 jw
jw jw H 005.011
11)(+=+=
τ 此装置对所给输入信号X(t),按线形迭加性和频率保持特性 )()()(21t X t X t X +=
其中 0105.010cos 5.0)(1111===X =θ 即w t t X
︒-===X ︒-=451002.0)45100cos(2.0)(2222θ 即w t t X 应分别有下列之增益和相移，并保持其频率，即 ︒-∠=⨯⨯+=86.299.010
005.011
)(11j jw H
增益 相移︒862.2 ︒-∠=⨯⨯+=56.2689.0100
005.011
)(22j jw H
增益 相移︒-56.26
()[]︒--⨯+︒-⨯=56.2645100cos 2.089.0)86.210cos(5.099.0)(t t t y
=)56.71100cos(18.0)86.210cos(49.0︒-+︒-t t
从本例可以看出，一阶装置具有对较高频率输入的“抑制”作用。

2-10用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内, 则时间常数应取多少？若用该系统测试50Hz 信号，问次此时的振幅误差和相角误差是多少？ 1)
s s f j H μπωτπ
ππωωτωτω523)(10233.5)
200(108.0108
.020*********.0195100)(%
5)
(11
1%10011)(4
2
2
22
2=⨯==
=
∴=⨯===⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴≤+-=⨯-=
∂- 又　
2) /
4112
42
209)1023.5100(%3.1)
1023.5100(11
1%100)
(1111005022︒≈⨯⨯-=-==⨯⨯+-
=⨯+-
==⨯==----πωτϕπωτδπ
ππωtg tg f
2-13设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比 14.0=ξ，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其幅值比
A(ω
)和相角差
)()(,7.0)(ωϕωξωϕ和问阻尼比可改为各为多少？若该装置的A =将作何种变
化？ 解：
[][]
31
.15.014.02)5.0(11
211
)400(14.0,5.0800
400
,28002400)12
2
22
2
214.0=⨯⨯+-=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
∴===
⨯=⨯==n n n
n A ωωζωωζωωπωπωζ　即时，按题给数据，当
︒
-=∴-=-⨯⨯--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--===57.10)400(57.10)
5.0(15
.014.0212)400(14
.02
2
14.0ζζϕω
ωωω
ζ
ϕarctg
arctg
n
n
即此时之 幅值比=，相移=︒-57.10
︒
-==︒-=====43975.043)400(975.0)400(,7.0)27.07.0　，相移此时　幅值比　则
上列计算中，只置换ζζϕζA
等强度梁
等强度梁如左图(等强度梁式力传感器)所示，梁厚为h ，梁长为l ，固定端宽为b 0，梁的截面成等腰三角形，集中力F 作用在三角形顶点。

梁内各横截面产生的应力是相等的，表面上任意位置的应变也相等，因此称为等强度梁，其应变为
设计时根据最大载荷F和材料的允许应力σb确定梁的尺寸。

用梁式弹性元件制作的力传感器适于测量5,000N以下的载荷，最小可测几克重的力。

这种传感器结构简单，加工容易，灵敏度高，常用于小压力测量中。

1．以阻值，灵敏度S=2的电阻丝应变片与阻值为的固定电阻组成电桥，供桥电压为2 V，并假定负载为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με是，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：(1)对于电阻型应变片来说，
当应变片的应变为时：
单臂电桥的输出电压为：
双臂电桥的输出电压为：
(2)当应变片的应变为时：
单臂电桥的输出电压为：
双臂电桥的输出电压为：
通过计算可知：双臂电桥的灵敏度比单臂电桥高一倍。

例2：一电涡流测振仪测量某主轴的轴向振动。

已知，传感器的灵敏度为15(mV/m m)，最大线性范围6(mm)。

现将传感器安装在主轴右侧，如图所示。

用记录仪记录振动波
形，如图，问:
（1）传感器与被测金属的安装距离l为多少毫米时，可得到较好的测量效果?
(2)轴向振幅的最大值A为多少?
(3)主轴振幅的基频f是多少?
解：
（1）取其传感器线性范围的1/2，即取l=3（mm），线性最好，测量范围最大。

（2）因为 y=kx输出，由图b）知，
y=kx(mV) K=15(mV/mm)
x=45/15=3(mm)
A=x/2=3/2=(mm)
（3）由图b）知，主轴振动周期
T=20/2=10(ms)
频率 F=1/T=1/10-2=100(HZ)
例1:惯性式位移传感器具有1HZ的固有频率，认为是无阻尼的振动系统，当它受到频率为2HZ的振动时，仪表指示振幅为1.25mm，求该振动系统的真实振幅是多少？
解：
（1）掌握惯性式位移传感器的，写出其数学表达式。

（2）列出已知参数，进行计算。

W=2HZ,Wn=1HZ,c=0, y
=1.25mm
例2：图是用压电式加速度传感器与电荷放大器测量某机器的振动。

已知，传感器的灵敏度为 100（pC/g），电荷放大器的反馈电容C=( F)，测得输出电压的峰值Uom=(V)，振动频率为100(HZ)。

(1)求机器振动加速度的最大值A(m/s2);
(2)假定振动为正弦波，求振动速度v(t);
(3)求振动幅度的最大值X.
解：
（1）掌握仪器串联时各灵敏度的关系式，明白峰值的含义。

（2) 掌握加速度与速度的换算关系式。

已知a(t)=Asinwt, w=2 f=628(rad/s)
（3）掌握速度与振幅的换算关系式。

振幅X=(m)
1、某车床加工外圆表面时，表面振纹主要由转动轴上齿轮的不平衡惯性力而使主轴箱振
动所引起。

振纹的幅值谱如题图8.1a所示，主轴箱传动示意图如题图所示。

传动轴I、传动轴II和主轴III上的齿轮齿数为，，，。

传动轴转速=2000r/min。

试分析哪一根轴上的齿轮不平衡量对加工表面的振纹影响最大？为什么？
a) 振纹的幅值谱b) 传动示意图
题图主轴箱示意图及其频谱
解：1）计算各轴的转速和转动频率：
轴I的转动频率：Hz
轴II的转速：(r/min)
轴II的转动频率：Hz
轴III的转速：(r/min)
轴III的转动频率：Hz
2）判别由计算结果知，轴II的转动频率=25(Hz)与幅频图A(f)中最大幅值处的频率相吻合，故知轴II上的齿轮不平衡量对加工表面的振纹影响最大。

如题图所示，在一受拉弯综合作用的构件上贴有四个电阻应变片。

试分析各应变片感受的应变，将其值填写在应变表中。

并分析如何组桥才能进行下述测试：(1) 只测弯矩，消除拉应力的影响；(2) 只测拉力，消除弯矩的影响。

电桥输出各为多少？
解：
(1)组桥如题图。

设构件上表面因弯矩产生的应变为ε，材料的泊松比为μ，供桥电压为u0，应变片的灵敏度系数为K。

各应变片感受的弯应变如题表。

题表
R1R2R3R4
-μεε-εμε
由可得输出电压
其输出应变值为
(2)组桥如题图10. 1-2。

设构件上表面因拉力产生的应变为ε，其余变量同(1)的设定。

各应变片感受的应变如题表。

题表
R1R2R3R4
-μεεε-με由可得输出电压
其输出应变值为
2. 一等强度梁上、下表面贴有若干参数相同的应变片，如题图所示。

梁材料的泊松比为μ，在力P的作用下，梁的轴向应变为ε，用静态应变仪测量时，如何组桥方能实现下列读数？
a)ε； b) (1+μ)ε； c) 4ε； d) 2(1+μ)ε；e) 0；f) 2ε
解：
本题有多种组桥方式，例如题图所示。

例1:用镍铬--镍硅热电偶测量炉温时，当冷端温度T0=30℃时，测得热电势E （T，T0）=，求实际炉温。

解：
(1)
掌握热电偶的。

由T0=30℃查分度表得E(30，0）=。

根据中间温度定律得 E（T，0）= E（T，30）+E（30，0）= + = (mv) 则查表得炉温T=946℃。

1-3求单位指数函数)0
,0
(
)
(≥
>
=-t
a
Ae
t
x at的频谱（当)0
)
(
,0=
<t
x
t。

解：)
(f
x=dt
e
t
x
dt
e
t
x ft
j
ft
j⎰
⎰∞-
∞
∞
-
-=
2
2)(
)(π
π
=dt
e
Ae ft
j
atπ2
-
∞-
⋅
⎰
=dt
e
A t f
j
a
⎰∞+-0)2(π
=
2
2
24
)
2
(
2f
q
f
j
a
A
f
j
a
A
π
π
π+
-
=
+
幅值谱：
2
2
24
)
(
f
a
A
f
x
π
+
=
相位谱：⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
=
a
f
arctg
f
π
θ
2
)
(
1-5 求被截取的余弦函数t
cosω（题图1-2）的傅立叶变换；
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
=
T
t
T
t
t
t
x
cos
)(0
ω
解： x(f)=⎰∞∞--dt
e
t
x ft
jπ2
)(
=[]dt ft j t f t f T
T ⎰--πππ2sin 2cos 2cos 0
=⎰-T
T ftdt t f ππ2cos 2cos 0
=[]⎰-++T
dt t f f t f f 0
00)(2cos )(2cos ππ
=)
(2)(2sin )(2)(2sin 0000f f T
f f f f T f f --+++ππππ
1-7 设有一时间函数f （t ）及其频谱如题图1-3所示，现乘一余弦振荡
)(cos 00m t ωωω> 在个关系中，函数f （t ）叫做调制载波。

试求调幅信号t t f 0cos )(ω的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若m ωω<0时将
会出现什么情况？
解： 调幅信号t t f t x 0cos )()(ω=，其傅立叶变换为：
)(ωX =
dt e t x t
j ⎰∞∞--ωπ)(21 =⎰∞∞-⋅-⋅t
j e t t f ωωπ0cos )(21 =()
⎰∞∞--+⋅dt e e e t f jt jt jt ωωωπ00
2
1)(21 ={}
⎰⎰∞∞-+-∞∞--+dt e t f dt e t f t
j t j )()(00)()(41ωωωωπ =[])()(21
00ωωωω++-F F
1-8 求正弦信号ωt X t x sin )(=的均值x μ，均方值2
x ψ和概率密度函数p （x ）。

解：
1） 求概率密度函数p （x ）：
x
x x t x x P x P x ∆∆+≤<=→∆)]
)([lim
)(0 T
t x x t x x p T ∑∆=∆+≤<∞
→lim ])([
对于周期信号可在一个周期内考察取值于x 到x+dx 内的时间比例，即
2dt/T 。

按题意：
ωt X x sin =
X x
t arcsin =ω
222111
1x X X x X dx dt -=⎪⎭⎫
⎝⎛-=ωω
代入公式即得概率密度函数p （X ）
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∆∆=∑∞→→∆T t x x p T x lim 1lim )(0 =
2
22222
2121x X x
X T dx dx T dt dx -⋅=-=ω
πωω
=
2
21
x
X -π
2）求均值x μ ： ⎰==
T
x dt t X T
00sin 1ωμ 3）0求均方值2
x ψ
2
sin 1202
22
X dt t X T T x ==⎰ωψ
. 某二阶系统的固有频率为12kHz ，阻尼为=ξ，若要使幅值误差不大于20%，则被测信号的频率应限制
在什么范围？
解：二阶系统的频率响应函数为：n n n
j j H 2222)(ϖϖξϖωϖϖ++-=，
其幅频响应为：22222)2()()(ϖξϖωϖϖωn n n A +-=2222411
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
n n ωϖξωϖ
若要限制幅值误差不大于20%，则有：
%20)(1≤-ϖA ，既
2
22
2411
8.0⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-≤
n n ωϖξωϖ
222
2
28.0141⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n ωϖξωϖ 解不等式：
2222
28.0141⎪⎭⎫
⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n ωϖξωϖ 令x n =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2
ωϖ，则上述不等式可分别表示为：
[]2
2
2
8.0141⎪
⎭
⎫
⎝⎛≤+-x x ξ
[]2
2
2
8.01*707.0*41⎪
⎭
⎫
⎝⎛≤+-x x
[]2
2
8.0121⎪
⎭
⎫
⎝⎛≤+-x x
既
75.05625.018.012
22
≤⇒≤⇒+≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x x ，相当于
75.02
≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n ωϖ，于是有
kHz n 39.10866.0≈≤ϖϖ。

当输入信号频率小于时，既可以保证幅值误差不大于20%
设某力传感器为二阶振荡系统。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比为，试问使用该传感器对频率为400Hz 的正弦力测试时，其幅值比和相角差各为多少？若该系统的阻尼比改为，则幅值比和相角差将如何变化？
解：二阶系统的幅频响应为：2
2222)
2()()(ϖξϖωϖ
ϖωn n
n
A +-=
2
22
2411
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
n n ωϖξωϖ
相频响应为：212)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=n n arctg ωϖωϖξϖϕ
当πϖ2*800=n
，πϖ2*400=，14.0=ξ时，有21=n ωϖ 31.114
.075.01
21*14.0*42111
)(2
2
2
22
2≈+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
ϖA
︒-≈-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=6.1075.014.021121
*
14.0*2)(2
arctg arctg ϖϕ 当阻尼比7.0=ξ
时，98.07
.075.0121*7.0*42111
)(2
2
2
22
2
≈+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
ϖA
︒-≈-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=0.4375.07.021121
*
7.0*2)(2
arctg arctg ϖϕ
3—1解：。