湖北省黄石市有色第一中学高二数学下学期期中试题 文

2014—2015学年度下学期有色一中期中考试
文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

全为必做题；全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡相应的位置。

2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷
一选择题（每小题5分，共60分. 下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）
1．已知集合A={x|x2－2x －3<0},B={x|y=2-x },则)()(B C A C R R ⋃=……………………（） A ．[2，3） B ．（-∞，2）∪[3，+∞） C ．（-∞，2）∪（3，+∞） D ．（2，3）
2．命题“
01,2
>++∈∀x x R x ”的否定为……………………………………………………（） A ．01,2≤++∈∀x x R x B ．
01,2
≤++∉∀x x R x C ．0
1,0200>++∉∃x x R x D ．0
1,02
00≤++∈∃x x R x
3．函数f(x)=2x ＋3x 的零点所在的一个区间是………………………………………………（）
A （-2，-1）
B （-1，0）
C （0，1）
D （1，2）
4．已知|a|=1,|b|=2, a 与b 的夹角为1200，且a ＋b ＋c=0,则a 与c 的夹角为………………（） A ．300 B ．600 C ．900 D ．1500
5．函数
)
,2
||,0(),sin()(R x x A x f ∈<
>+=π
ϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析
式为…………………………………………………………………………………………（）
A ．
)
48
sin(
4)(π
π
-
-=x x f
B ．
)
48
sin(
4)(π
π
+
-=x x f
C ．
)48
sin(
4)(π
π
-
=x x f D ．
)
48
sin(
4)(π
π
+
=x x f
6．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是………( )
（第5题图）
-4
y
7．已知变量x,y 满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≤-+10103y y x y x ，则z=2x ＋y －4的
最大值为……………………………………………………（） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．5
8．阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S 的是………………………………………………（ ） A ．39 B ．21 C ．81 D ．102
9．设函数
f(x)=⎩⎨
⎧>-≤-1,log 11,221x x x ,则满足
f(x)≤2
的取值范围
是…………………………………………………………………………………………………( )
A ．（-1，2]
B ．[0，2]
C ．[0，+∞）
D ．[1，+∞）
10．已知双曲线)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 的一条渐近线的方程是y=3x ，它的一个焦点与
抛物线y2=16x 的焦点相同，则双曲线的方程是……………………………………………（）
A. 112422=-y x
B. 18322=-y x
C. 19622=-y x
D. 11682
2=-y x
11．已知曲线C:y=x 1
(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1。

过点A1、A2分别作x 轴的
垂线交曲线C 于B1 、B2两点，直线B1B2与x 轴交于点A3（x3,0），那么………………（）
A.x1, 23x ,x2成等差数列
B. x1, 23
x , x2成等比数列
C. x1，x3，x2成等差数列
D. x1，x3，x2成等比数列
12．定义方程f(x)=f /(x)的实根x0叫做函数的“新驻点”。

若函数g(x)=x ，h(x)=ln(1+x)，u(x)=x3-1
第八题图
的新驻点分别是а,β,γ，则а,β,γ之间的大小关系是……………………………………………( ) A. а>β>γ B. β>а>γ C.γ>а>β D. β>γ>а
二填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题卡上）
13．设i 为虚数单位，则复数i i
43+的共轭复数为 ▲ 14．已知x,y 是正实数，且1
32=+y x ，则xy 的最大值为▲
15．已知圆O ：x2+y2=4上到直线l:x ＋y=a 的距离等于1的点有3个，则a= ▲
16．设互不相等的正整数a1，a2，…，an(n≥2,n ∈N+)组成的集合为M={ a1 ,a2 ,…,an}，定义集合S={(a,b)|a ∈M,b ∈M,a-b ∈M}.
1) 若M={1，2，3，4}，则集合S 中的元素最多有▲ 个。

2）若M={ a1 ，a2 ，…，an}，则集合S 是的元素最多有▲ 个。

第Ⅱ卷
三解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）
已知函数f(x)=cos(34π
－2x)＋2cos2x
1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取得最大值时对应的x 的集合.
2)若把函数f(x)的图象向右平移4π
个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减
区间。

18．（本小题12分）
已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn-1=0(n≥2,n ∈N)，a1=21。

求证：数列{
n
S 1}为等差数列。

并求数列{an}的通项公式an 。

记数列{bn}的通项公式为bn=
n n S 21,Tn=b1＋b2 ＋…＋bn,求Tn 的值。

19．(本小题10分)
我校在筹办元旦艺术节前，对学生是喜欢曲艺还是舞蹈节目做了一次调查，随机抽取了100名学生，相关数据如下表所示
在1）中抽取的5名学生中任取2名，求恰好有1名男生的概率。

20．(本小题12分)
一个多面体如图所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AB=FB ，FB ⊥平面ABCD ， ED ∥FB ，且ED=1。

求证：平面ACE ⊥平面ACF 。

求多面体AED-BCF 的体积。

21．(本小题12分)
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21
，它的一个顶点恰好是抛物线x2
=38y 的焦点。

1）求椭圆C 的方程；
2）点P(2,3)，Q(2,-3)在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点。

（1）若直线AB 的斜率为21
，求四边形APBQ 的面积的最大值；
（2）当A 、B 运动时，满足∠APQ=∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由；
22．(本小题14分)
已知函数f(x)=ax3＋2)32(2
x a -＋bx(a,b 为常数)
若y=f(x)的图象在x=2处的切线方程为x －y ＋6=0，求函数y=f(x)的解析式；
在1)的条件下，讨论函数y=f(x)的图象与函数y =－21
[f /(x)－9x －3]＋m 的图象的交点的个数；
当a=1时，),0(+∞∈∀x ,lnx ≤f /(x)恒成立，求实数b 的取值范围。

A
B
C
E D F
2014-2015下学年度黄石市有色一中高二期中考试 数学（文科）参考答案 （考试时间2015.04.23） 一选择题
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D B C B D C D D A A C
二填空题
13．4+3i. 14. 23 . 15.2± 16. 1)6 2))
1(21
-n n
三解答题
17．(本小题10分)
1）f(x)=cos(2x+3π
)+1
∵x ∈R,∴f(x)max=2
当2x+3π=2k π，即x=k π-6π
时，f(x)取得最大值，由此可得使f(x)取得最大的x 的集合是：{x|x=k π-6π
，k ∈Z}
2)根据平移变换，得
g(x)=f(x-4π)=cos(2x-6π)+1
由2k π≤2x -6π≤2k π+π，得 k π+12π≤x ≤k π+127π
所以函数g(x)的单调递减区间是[k π+12π ，k π+127π
]， k ∈Z
18. （本小题12分）
1)(1)证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1 ，又an+2Sn-Sn-1=0，则有 Sn-Sn-1 +2Sn-Sn-1=0 ①
若Sn=0,则a1=S1=0与a1=21
矛盾，故Sn ≠0.
由①，得
1
11--n n S S =2，又1
111a S ==2
所以数列{n S 1}是以2为首项，公差为2的等差数列。

（2）由（1）可得，n S 1=2+2(n-2)=2n, Sn=n 21
当n≥2时, an=－2Sn-Sn-1= －)1(21-n n ,而n=1时，a1=21
故⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥--==2,)1(211,2
1
n n n n a n
2) bn=
n n
S 21= 12-n n ∵Tn=b1＋b2 ＋…＋bn=1+22+223+…+221--n n +1
2-n n
① 2Tn= 2+022+23+…+321--n n +2
2-n n
② ∴②－①,得Tn=3+21+221+…+2
21-n -12-n n =4-122
-+n n 故Tn=4-1
22
-+n n
19 .（本小题10 分）
1)由表中数据可知，女生中应抽取的学生人数是
27×455
=3（名）
2)记抽取的5名学生中，2名男生用A 、B 表示，3名女生用a,b,c 表示。

则
从5名学生中，任取2名的所有等可能的情况有10种，它们是AB ，Aa ，Ab ， Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 。

其中恰有一名男生共有6种等可能的情况。

由上可知，恰有一名男生的概率是
P= 53106=
20 （本小题12 分）
1)连接BD ，AC 与BD 交于点O ，连接OE ，OF 。

∵四边形ABCD 是四边形ABCD 是正方形， FB ⊥平面ABCD ，ED ∥FB ∴DE ⊥平面ABCD ，AE=CE ， OE ⊥AC ①
又∵DE=1，CD=2，则 OE=3，OF=6，EF=3
∴OE2+OF2=EF2,则OE ⊥OF ②
由①，②得，OE ⊥平面ACF ∴平面ACF ⊥ACE
2)由1）可知，三棱锥E-ACD ，三棱锥F-ABC 的高分别是DE ，BF 。

且 AC ⊥平面BDEF ，故 多面体ADE-BCF 的体积V=
ACF
E ABC
F ACD E V V V ---++
而
32=
-ACD E V ，34
=-ABC F V ，ACF E V -=2
∴多面体ADE-BCF 的体积V=4
21 （本小题12分）
1）设椭圆C 的标准方程是：122
2
2=+b y a x (a>b>0).则
b=32；由a c =21
,a2=b2+c2,得a=4; 故椭圆C 的标准方程是：1
12162
2=+y x
2）（1）设A(x1, y1), B(x2, y2)，直线AB 的方程是y=21x+t,代入C 得
x2+tx+t2-1=0
由于直线AB 与C 有两个不同交点，则判别式△>0, 解得－4<t<4 由韦达定理得，x1+x2=－t, x1x2=t2-12
∴| x1 －x2|=212214)(x x x x -+=2348t -
∴四边形APBQ 的面积S=21
|PQ|| x1 －x2|=32
348t -（－4<t<4）
∵－4<t<4，则当t=0时，四边形的面积最大 ∴四边形APBQ 的面积的最大值为123
(2)当∠APQ=∠BPQ 时，直线AP ，BP 的斜率之和为零；
A
B
C
E
D
O
F
设直线PA 的斜率为k, 则直线BP 的斜率为-k;
∵直线PA 的方程：y-3=k(x-2),代入椭圆C 的方程得 (3＋4k2)x2＋8(3－2k)x ＋4(3-2k)2 －48=0
∴x1 +2=243)32(8k k k +-, 同理可得x2 +2=2
43)32(8k k
k ++ x1+x2=224312
16k k +-，x1-x2=2
4348k k +-
kAB=2121x x y y --=
21
4)(2121=
--+x x k x x k 由此可知，直线AB 的斜率是一个定值21
22．（本小14分）
1）a=-1,b=3,f(x)=-x3+25
x2+3x
2)原问题等价于方程
m=－x3+x2+x 的根的个数
也就是函数g(x)= －x3+x2+x 的图象与直线y=m 的交点的个数问题。

又∵g /(x)=- 3x2+2x+1,则函数g(x)在（-∞，-31），（1，+∞）上单调递减，在（-31
，1）上单调
递增。

∴g(x)极小值=g(-31)=－275
, g(x)极大值=g(1)=1
综合以上可得
当m<－275
，或m>1时，一个交点； 当m=－275
，或m=1时，两个不同的交点 当－275
<m<1时，三个不同的交点
3）当a=1时，f(x)=x3-21
x2+bx, f /(x)=3x2-x+b;
),0(+∞∈∀x ,lnx ≤f /(x)恒成立，等价于不等式b ≥lnx-3x2+x 在),0(+∞∈x 上恒成立。

令h(x)= lnx-3x2+x(x>0)
∵h /(x)= x 1-6x+1=－x x x )
13)(12(+-,则函数h(x)在(0, 21)上单调递增，在(21,+∞)上单调递
减。

∴函数h(x)的极大值是h(21)=－ln2－41
,这也是函数h(x)的最大值。

由上可得，实数b 的取值范围是[-ln2-41
,+∞)。