第八章 连续域-离散化设计讲解

第八章 连续域-离散化设计
8.1设计的基本原理
7.4)(109z 811实现：章、：域设计控制器（离散）章）连续域离散化（章）现代控制理论（反馈控制理论：域设计控制器（连续）z D s ⎪⎭⎪⎬⎫→⎩
⎨⎧
连续域－离散化设计方法：D(s)→ D(z)
控制器软件的实现过程：
1）根据被控对象的传递函数)(s G ，按连续系统的分析与设计方法设计)(s D
稳（稳定性）：稳定裕度（幅值裕度和相角裕度） 准（稳态误差）：位置、速度和加速度误差系数 快（动态性能指标）：谐振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比
最小拍：在离散系统中，调节时间的长短以采样周期个数表示，一个采样周期称一拍，调节时间最短的系统称最小拍
2）根据系统特性和要求选T （9章） 3）D(s)→ D(z)
4）标准)(s D 与)(z D 性能对比 5）由)(z D 求差分方程，编软件程序 6）系统调试
8.2冲击响应不变法（Z 变换）
一、定义：○
1)()]([z D s D Z =； 二、特性：
1频率坐标变换是线性（T ωω→）变换 说线性不妥，有超越函数e
∑+∞
-∞
=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D s
T j )(1)(*)(ωωω
ωω s ω太小易混叠，应提高s ω
2若)(s D 稳定，则)(z D 稳定
3)(s D 与)(z D 的冲击响应相同
冲击响应为)(t δ，其拉氏变换为1)]([=t L δ，若输入为冲击响应，则1)]([)(==t L s R δ
)]([)]()([)(s D Z s R s D Z z D ==
若不为冲击响应，则
)]([)]()([)(s D Z s R s D Z z D ≠=
4无串联性
)]([)]([)]()([2121s D Z s D Z s D s D Z ≠
注意：若保持增益不变，根据
∑+∞
-∞
=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D s
T j )(1)(*)(ωωω
ωω 则)]([)(*
s D TZ z D = 三、例题
例：已知23
)(+=s s D ，T=0.01s ，求)(z D 解：1
01.02113]23[)(-⨯--⨯=+=z e s Z z D 例：已知2
)1()(+=
s s
s D ，T=1s ，求)(z D
解：])
1([
)(2
+=s s
Z z D
2
1
211
222212111)()()()(][d d ])1()1[(d d ])1()1[(d d lim ]
)()[(d d lim )!1(1T T T s sT sT sT s sT
s sT sT s sT
q i q q p s i e z TZe e z e z sZTe e z e z zs s e z z
s s s s e z z
s s s s e z z
s F p s s q R i ----=-=-=--→--→---=
-+-=
-=-++=
-++=---=
8.3阶跃响应不变法
一、定义
（1） （2） （3）
这种方法的思想是先将模拟控制器)(s D 近似为加零阶保持器的系统，再将该系统用Z 变换方法离散化为数字控制器)(z D 。

数字控制器求法如下：
])
([)1()](1[)]()([)(1s s D Z z s D s e Z s D s G Z z D Ts h ---=-==
)(z D 的单位阶跃响应Z 变换为
])
([)1(1])([
)1()()()(11s
s D Z z s s D Z z z R z D z Y d =--==-- 上式表明采用零阶保持器Z 变换法获得的数字控制器)(z D 与原模拟控制器)(s D 有相同的阶跃响应序列，所以该方法称为阶跃响应不变法。

二、特点
1它的频域轴坐标变换也是线性的（此种方法本质也是Z 变换）
2)(z D 和)(s D 的阶跃响应序列相同，对于其他类型输入响应序列不同，只有近似关系 3)(z D 和)(s D 有相同稳定性
4此种变换方法使)(z D 频率混叠特性减少 5)(z D 能保持稳态增益不变
T j G h =→0)(ωω
∑+∞
-∞
=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D s
T j )(1)(*)(ωωω
ωω 6变换无串联性 三、例题 例：2
)
1()(+=
s s
s D ，T=1s ，求)(z D 2
1
211
)
()1(])1(1[)1(])([)1()(T T e z Tze z s s s Z z s s D Z z z D -------=+-=-= 8.4一阶差分近似法
一、定义
推导（1）P174 推导（2）P175 推导（3）：
++-==--!
2)(12
1
Ts Ts e
z
Ts
近似取级数前两项作为z 与s 近似关系，即Ts z -≈-11
二、特点
1直接代换，变换方便
2整个s 左半平面映射到z 平面圆心为（1/2，0）半径为1/2的单位圆 推导：P175 由于Ts z -≈-11
，z s →一一对应。

非T
j e
z ω=
3)(z D 和)(s D 有相同稳定性 4)(z D 频率轴发生畸变
例：2
)
1()(+=
s s
s D ，T=1s ，求)(z D T
z s s s z D 112
)1()(--=
+=
8.5零极点匹配法
一、定义
)
()(),()(2121)())(()
())(()(i p i
i z i
e z p s e z z s n m p s p s p s z s z s z s k s G ---⇒+-⇒+++++++=
m n >
m n >，相当于在无穷远存在m n -个零点。

若系统工作在主频区，即系统工作频率T
T
π
ωπ
≤
≤-
，所以
∞→ω，可以看作T
π
ω→
，因而相当于1-→z 。

因此s 平面上的无穷零点，可以用z 平面上的1
-→z 来匹配。

零极点匹配规则：
1)(s G 的所有的极点和所有的有限值零点按照Ts
e z =变换
2)(s G 所有在∞=s 处的零点变换成在1-=z 处零点，即添加m
n z --+)1(1项；
3要保证变换前后增益不变，需进行增益匹配：低通通过10)()(===z s z G s G 求k ；高通通过
1)()(-=∞==z s z G s G 求k ；
二、特点
1)(z D 和)(s D 有相同稳定性 2z 平面的零极点一一对应 3增益按特定点核算 三、例题 例：1
1.01
)(++=
s s s D ，T=0.05s ，按低通求增益，求)(z D
607.0951
.0)(10--=--=--z z k e z e z k z D T
T
由10)()(===z s z G s G 有
607
.01951
.011--=k
解得02.8=k
例：2
)1()(+=
s s
s D ，T=1s ，按1=ω求增益，求)(z D
2
)
()
1)(1()(T e z z z k
z D --+-= 5.0)1()
(1
2
1
=+===ωωωωωj j j D
5.0)()1)(1()()1)(1()
(1
,12
11,12
1
=-+-=-+-===-==-=T T j T j T j T T T
j e e e e k e z z z k e
D ωωωωωωω
解得21921.0=k
8.6突斯汀变换法
一、定义
推导（1）：P179 推导（2）：
2
2Ts Ts
Ts e
e e z -
=
=
将其中2
Ts e 和2
Ts e
-
展成Taylor 级数，并取前两项近似得：
212
Ts e
Ts +=，2
12Ts
e Ts
-=-
于是s
T
s T Ts Ts z -+=-+
=22
2121 1
1
112--+-⋅=z z T s
1、双线性变换由两次变换合成
1
1112112--'-'-+-⨯=+-⨯=z z T e e T s T s T s
2、变换的频率特性发生畸变
令ωj s =，d
j e
z ω=
根据定义1
1
112--+-⋅=z z T s ：
2
2
21122
22
2
T tg T j e e e e T e e T j d T
j T j T j T j T j T
j d d d d d d ωωωωωωωω⋅=+-⋅=+-⋅=
--
-- 如图P181 8-14
3、s 平面与z 平面关系与普通Z 变换关系相同 二、特性
1、变换具有串联性
2、s 与z 一一对应，没有混叠效应
3、)(z D 和)(s D 有相同稳定性
4、频率特性发生畸变
5、变换后分子分母次数相同
6、变换后稳态增益不变 三、例题 例：2
)
1()(+=
s s
s D ，T=1s ，求)(z D 2
22221122
)2()4(2)2()
1(2)1()(1
1z T z T T z T s s
z D z z T s ++----=
+=
--+-=
8.7各种离散化方法的比较。