河南省郑州市2014届高三上学期第一次质量预测试题 数学(文) 含答案

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}|2,|A x x B x x m =>=<，且A B R =，那么m 的值可以是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 复平面
2．复数1i
z i
（i 是虚数单位）在
内对应的点在
A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3． 2.5
PM 是指大气中直径小于或等于2。

5微米的颗粒
物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5
PM 监测点统计的数据
（单
位：毫克／每立方
2014年高中毕业年级第一次质量预测
文科数学试题卷
米）列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙
C ．甲乙相等
D ．无法确定
4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视 图是平行四边形，则该几何体的体积为 A ．
B ．
C ．
D ． 5．已知曲线23ln 4
x y x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标
为
A 。

3
B 。

2
C ．1
D ．12
6．已知各项不为0的等差数列n
a 满足24
78
230a
a a ,数列n
b 是等
比数列，且7
7b
a ，则212
b b 等于
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
7．若1sin()3
4
πα-=，则cos(2)3
πα+
A.78
- B ．14
- C ．14
D ．78
8．已知抛物线2
2(0)y px p ，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物
线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为
A ．x=l
B ．2x
C ．1x
D ．2x
9．设函数
())cos(2)()2
f x x x π
ϕϕϕ=+++<
，且其图象关于直线0x 对
称，则
A ．()y f x 的最小正周期为π,且在(0,)2π
上为增函数 B ．()y
f x 的最小正周期为
2
π
，且在(0,)4π上为增函数
C．()
y f x的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数
D．()
y f x的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数
10．双曲线22
221(0,0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别是1F、2F，过1F作倾
斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若
2
MF⊥x轴，则双曲线的离心率为
A。

6B．3C．4D．3
3 11．已知向量a是与单位向量夹角为60的任意向量，则对任意的正实数t，的最小值是
A。

0 B. 1
2C. 3
2
D。

1
12. 定义在R上的函数32
()(0)
f x ax bx cx a
=++≠的单调增区间为(—1，
1),若方程2
3(())2()0
a f x bf x c恰有4个不同的实根，则实数a的值为．
A．1
2B．1
2
-C．1 D．－1第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22—24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设,x y满足约束条件
1,
3,
0,
x y
x y
y
-≥-
⎧
⎪
+<
⎨
⎪>
⎩
，则z x y
的取值范围为________．
14．执行右面的程序框图，若输出的7
8
S=，则输入的整
数p 的值为__________． 15。

已知三棱柱111ABC
A B C 的侧棱垂直于底面,各顶
点都在同一球面上，若1
2,2,1AA AB AC ===．
60
BAC ∠=，则此球的表面积等于_________．
16．整数数列{}n
a 满足2
1()n n n a
a a n N *++=-∈,若此数列的前
800项的和
是2013，前813项的和是2000，则其前2014项的和为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 已知函
数得最小值
()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<，当3
x π
=-
时取
-4．
(I ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若等差数列{}n
a 前n 项和为n
S ，且2
4(0),()6a
f a f π
==,求数列1n S ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n
T .
18．（本小题满分12分）
郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车,为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人,按照他们的候车时间(单位:分钟）作为样本分成6组，如下表所示：
（I)估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；
（Ⅱ)若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问
卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
19。

（本小题满分12分） 在三棱柱111
ABC A B C 中,侧面11ABB A 为矩
形,1
1,2AB
AA ，D
为1
AA 的中
点，BD 与1
AB 交于点O,CO ⊥侧面11ABB A ．
(I ）证明:1
BC AB ⊥；
（Ⅱ）若OC OA
，求三棱锥
1C ABC
-的
体积．
20．(本小题满分12分） 已知△ABC 的两顶点坐标(
1,0),(1,0)A B ，圆
E 是△ABC 的内切圆，
在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q,R,
1
CP
（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点
C 的轨迹为曲线M ．
(I ）求曲线M 的方程；
（Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，
当点A 在
以线段CD 为直径的圆上时,求直线BC 的方程．
21.（本小题满分12分)
已知函数(1)()ln ,()k x f x x x g x x
-==．
（I)当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； （Ⅱ) 若()()f x g x ≥恒成立,求实数k 的值。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．
22。

（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，A,B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与
AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．
(I ）若1,13EC
ED CB
DA ,求DC AB
的值；
（Ⅱ）若2
EF
FA FB =⋅，证明:EF ∥CD ．
23。

(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线1
2cos :1sin x t
C y t
=-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数)，24cos :3sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩ (θ为参数）．
(I ）化1
C ，2
C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(Ⅱ）过曲线2
C 的左顶点且倾斜角为4
π的直线l 交曲绒1
C 于A ，B
两点，求AB 。

24.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数()
4
(4)f x x x a a 。

（I ）若()f x 的最小值为3，求a 值； （Ⅱ）求不等式()3f x x ≥-的解集,
2014年高中毕业年级第一次质量预测
数学（文科） 参考答案
一、
选择题
DDABA CACCB CB 二、
填空题
13。

[1,3)-; 14。

3； 15.
8π
; 16。

987.
三、解答题
17。

解（1)由题意3
π-=x 时取得最小值-4，
4)3
2sin(4,4-=+⨯
-=∴ϕπ
A ，1)3
2sin(-=+-
∴ϕπ
, 又因为πϕ<<0，,6
πϕ=∴所以()4sin(2).
6
f x x π=+ (4)
分
（2)因为)0(2f a =,)6
(4
π
f a =,所以2,424==a a ，
设
等差数列公差为
d
，则
1
,11==a d ，
(1)
.2n n n S +∴=
………………………8分
)1
113121211(2)1(232221211121+-++-+-=+++⨯+⨯=+++=n n n n S S S T n n 122(1).11
n n n =-
=++ ………………………………12分
18.解：(1）从45候车乘客中随机抽取15人，每人被抽到的概率为3
1，
则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为27
人.……………………4分
（2）记第四组的3人为A B C 、、，第五组的2个人为a b 、,则从这5人
中
随
机
抽
取
2
人
的
不
同
结
果
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b
共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，………………………10分
则抽到的
2人恰好来自不同组的概率
5
3
106==
p 。

………………………………12分
19。

解：（1)
证明：由题意1BD AB ==
= 且OB B AOD 1
~∆∆,
,2
1
11===∴
BB AD OB DO OB AO ,33,6631==
=∴AO BD OD 222AD OD AO =+∴,所以BD AB ⊥1， (3)
分
又⊥CO 侧面1
1
A AB
B ，1
AB CO ∴⊥,
1
A A
1
B B
C
C
O
D
又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1
,
又
因
为CBD
BC 面⊂，所以
1AB BC ⊥。

………………………………………6分
(2）因为OA OC =,3
3
=
且11//AC 平面.ABC 18
6
332121313111111=
⨯⨯⨯⨯=⋅===∴∆---OC S V V V ABA ABA C ABB A ABC C 。

…………12分
20.⑴解:由题知||||||||||||2||||4||.CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=>
所以曲线M 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x 轴的交点），
设曲线M ：22
221(0,0)x y a b y a b
+=>>≠,
则2
222
||4,(
)32
AB a b a ==-=， 所以曲线M :22
1(0)43
x y y +=≠为所求。

—-—-——————-—--—4分
⑵解：注意到直线BC 的斜率不为0，
且过定点
(1,0)B ，
设1122:1,(,),(,)BC
l x my C x y D x y =+，
由221,
3412,
x my x y =+⎧⎨+=⎩
消x 得2
2
(34)690m y my ++-=，所以21,22
361
34
m m y m -±+=+， 所以122122
6,34
9,34m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
-————--—-——----—-—----—-——--
——-——--—-8分
因为1
1
2
2(2,),(2,)AC my y AD my
y =+=+,所以
212121212222222
(2)(2)(1)2()49(1)12794.343434
AC AD my my y y m y y m y y m m m m m m ⋅=+++=+++++-=--+=+++
注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以0AC AD ⋅=,
即m =,-—
———11分
所以直线BC
的方程330x -=
或330x -=为所求。

-—-—-
—12分
21。

⑴解：注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞， (1)
()ln (0)k x h x x x x
-=-
>，
当k e =时， 221()e x e
h x x x x -'=-=，--———----——-—--———-2分
若0x e <<,则()0h x '<；若x e >，则()0h x '>。

所以()h x 是(0,)e 上的减函数，是(,)e +∞上的增函数, 故min
()()2h x h e e ==-，
故函数()h x 的减区间为(0,)e ,增区间为(,)e +∞，极小值为2e -,无极
大值.-——5分
⑵解:由⑴知2
2
1()k
x k h x x
x x -'=-=，
当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数，
注意到(1)0h =,所以01x <<时，()0h x <不合题意。

—-——-—-7分
当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >，()0h x '>。

所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数， 故只需min
()()ln 10h x h k k k ==-+≥。

—-——
-——-9分
令()ln 1(0)u x x x x =-+>, 11()1x u x x x
-'=-=， 当01x <<时，()0u x '>; 当1x >时，()0u x '<. 所以()u x 是(0,1)上的增函数，是(1,)+∞上的减函数。

故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立。

所以当且仅当
1k =时，()0h x ≥成立，即1k =为所求. ----—-——12分
22.解：⑴ D C B A ,,,四点共圆，
∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角， ∴ECD ∆∽,EAB ∆ ∴.DC EC ED AB EA EB
== ∴2111...428DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪⎝⎭。

∴
DC AB =。

………………………………………………………
……… 6分 ⑵ FB FA EF ⋅=2, ∴FE FB
FA EF =，
又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆, ∴EBF FEA ∠=∠，
又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴//.EF CD 。

…………………………………………………… 10分
23.解：⑴2222
12:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1
C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆． 曲线2
C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上,长轴长是8，短轴长是6的椭圆．
…4分
⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l
的参数方程为4,2,x s y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）
将其代入曲线1C
整理可得：240s -+=，设,A B 对应参数分别为12
,s s ，
则1212 4.s s s s +==
所以12||||AB s s
=-==. (10)
分 24.解：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x
因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立，故 43,1a a -=∴=为所求.……………………4分
⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34
)4(<a ， ①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥-
即 1.x a ≤+
所以，当a x <时,原不等式成立. ②当4≤≤x a 时,原不等式可化为43.x x a x -+-≥-
即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时,原不等式成立。

③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即7,3a x +≥ 由于4<a 时74.3
a +> 所以，当4>x 时，原不等式成立。

综合①②③可知： 不等式x x f -≥3)(的解集为
R.……………………10分。