2020年中考数学专题复习：相似三角形

2020年中考数学专题复习：相似三角形知识要点
1、相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。

定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。

定理：平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定2：三边成比例的两个三角形相似。

判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

判定4：两角分别相等的两个三角形相似。

3、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

这时的相似比又叫位似比。

考点一：比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。

例1、（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
练习：
1.（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF ∥AB，则下列比例式一定成立的是（）
A． = B． = C． = D． =
2.（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）
A． = B． = C． = D． =
考点二：相似多边形的性质
例2．（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）
A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27
练习：
1．（2018•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）
A．16 B．18 C．20 D．24
2．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
3．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点三：相似三角形的判定
例3．（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
练习：
1．（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ C ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
2．（2018•资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．
3．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；
（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．
考点四：位似图形及坐标的位似
例4. 如图，点O是四边形ABCD和四边形EFGH的位似中心，已知AE＝2，EO＝1，则四边形ABCD与四边形EFGH的位似比是 .
练习：
1. 在平面直角坐标系中，已知点E (－4，2)，F (－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12
，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－8，4)
C ．(－8，4)或(8，－4)
D ．(－2，1)或(2，－1)
2. 如图，△OAB 与△ODC 是位似图形，试问：
(1)AB 与CD 平行吗？请说明理由；
(2)如果OB ＝3，OC ＝4，OD ＝3.5，试求△OAB 与△ODC 的位似比及OA 的长．
考点五：相似三角形综合运用
例5．（2018•东营）如图，CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC ；
（2）若BD=AD ，AC=3，求CD 的长．
练习：
1．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE=BF．
（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．
2．（2018•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE•CP；
（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．。