【好题】数学高考第一次模拟试卷(含答案)

【好题】数学高考第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）
A ．{}
22x x -≤<
B ．{}
2x x ≥-
C ．{}
2x x <
D ．{}
12x x ≤<
2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27
B ．11
C ．109
D ．36
3．已知a R ∈，则“0a =”是“2
()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是
（ ）
A ．①③④
B ．②④
C ．②③④
D ．①②③
5．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31
44AB AC - B ．13
44AB AC - C ．
31
44
+AB AC D ．
13
44
+AB AC 6．函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
7．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
8．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．23
9．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合
为（ ）
A ．{3}
B ．{7}
C ．{3,7}
D ．{1,3,5}
10．设集合，
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
12．设双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2
1y x =+相切，则该双曲
线的离心率等于（ ） A ．3
B ．2
C ．6
D ．5
二、填空题
13．设n S 是等差数列{}*
()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688
P A B P B C P A B C ⋅=
⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．
15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3
A π
=
，3a =，b=1,则
c =_____________
16．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则32
3x y z ++的最小值为
_________．
17．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 18．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21
,,36
BE BC DF DC =
=则AE AF ⋅的值为 ． 19．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
20．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲
三、解答题
21
．已知直线352:{1
32
x t l y t
=+
=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点
的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.
22．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.
（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;
（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，2，求三棱锥C 一A 1DE 的体积. 23．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比
数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*221
1
()log log n n n c n N a a +=
∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：
1n T <.
24．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2
~,X N
μσ，则①
()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=.
（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (
)2
,N μσ
，其
中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：
（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?
（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
25．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1
()f x g x x x
=
-，求()g x 的极值； （2）证明：2
()1x
f x e x +<-.
（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 3
2 4.48e ≈ 27.39e ≈）
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<
{}2M N x x ∴⋃=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得
()())((
())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++ 0ν1∴=
1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=
故答案选D
3．C
解析：C 【解析】
因为()2
f x x ax =+是偶函数，所以22
()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=
所以0a =.所以“0a =”是“()2
f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】
由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】
本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.
5．A
解析：A 【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
22
BE BA BC =
+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到
3144BE BA AC =
+，下一步应用相反向量，求得31
44EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得
()
111111
222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 11131
24444BA BA AC BA AC =++=+， 所以31
44
EB AB AC =
-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】
由题得()2
1ln 2=ln 2201
f =-
-<，
()2
2ln3=ln3102
f =-->，
所以(1)(2)0,f f <
所以函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】
本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．B
解析：B 【解析】
等比数列的性质可知2
26416a a a ⋅==,故选B .
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】
记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出A B ⋃，阴影区域表示的集合为()U
A B ⋃，由此能求出结果．
【详解】
全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =，
{1,A B ∴⋃=3，5}，
∴如图所示阴影区域表示的集合为：
(){}7U
A B ⋃=．
故选B ． 【点睛】
本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．
10．B
解析：B 【解析】 试题分析：集合
，故选B.
考点：集合的交集运算.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15
c a b b e a a a +===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．D
解析：D 【解析】
由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1
b y x a y x ⎧=⎪
⎨⎪=+⎩消
y 得，2
210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以21()5b
e a
=+= D. 【点睛】
双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．
直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．
当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．
二、填空题
13．25【解析】由可得所以
解析：25 【解析】
由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +⨯=
=． 14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：
12
【解析】 【分析】 【详解】
分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688
P A B P B C P A B C ⋅=
⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧
=⎪⎪
⎪
-=⎨⎪
⎪
-=⎪⎩
所以111
a ,
b ,324
c =
== 所以()1
P B 2
=
点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．
15．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题
解析：2 【解析】 【分析】
根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或
1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.
16．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：
374
【解析】 【分析】
利用已知条件目标可转化为2
323
45334x y z x x y ⎛++=-++ ⎝⎭，构造
()3
3f x x x =-，()2
454g y y ⎛=-+ ⎝⎭
，分别求最小值即可. 【详解】
解：32
3x y z ++= ()
3236x y x ++-- 2
34534x x y ⎛=-++ ⎝⎭
令()3
3f x x x =-，()2
454g y y ⎛=+ ⎝
⎭， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
所以，()()min 12f x f ==-
当y =
()g y 有最小值：()min 454g y =
所以，3
2
3x y z ++的最小值为4537244
-+
= 故答案为
37
4
【点睛】
本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.
17．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使 解析：
.
【解析】 ()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x
-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a
<<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >
，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a =时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2
a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102
a <<. 18．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积 解析：
2918
【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得
12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.考点：平面向量的数量积.
19．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴 解析：【解析】
【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，
所以1120AB BC CC ⋅⋅=，
因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，
所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212
AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
20．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8
【解析】
考查类比的方法，1111122222111131428
3
S h V S h V S h S h ⋅⨯＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 三、解答题
21．（1）
；（2）.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.
试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①
将222
=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②
（2）将
3
5
2
1
3
2 x t y t ⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
代入②得253180
t t
++=，
设这个方程的两个实根分别为12,
,t t
则由参数t 的几何意义既知，
12
18
MA MB t t
⋅==.
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.
22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
1
11
6321
32
C A DE
V
-
=⨯⨯⨯⨯=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为
1
3
•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF． 3分
因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD． 5分
（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故
A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
23．（1）2n
n
a=，21
n
n
b=-；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由a1+a2+a3+…+a n＝2b n①，n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2b n﹣1②，①﹣②可得：a n＝
2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简
221
1log log n n n c a a +=（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可． 【详解】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①
n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②
①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），
∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8
∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ，
∴a 1q 2＝8，∴q ＝2
∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n
∴()1231212222222212n n n n
b +-=++++==--，
∴b n ＝2n ﹣1． （2）证明：由已知：()22111111n n 1n n n c log a log a n n +=
==-++． ∴1231111111111223
n n 11n c c c c n +++
+=-+-++-=-<++ 【点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.
24．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位
【解析】
【分析】
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；
（2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得：
120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；
（ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732
P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
()()100010000.997310.9973k k k P X k C -==- ()()()()
10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，
()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.
【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.
25．（1）见解析；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可．
【详解】
（1）()()
21ln 1(0)f x x g x x x x x x =-=->，()22ln 'x g x x -=，当()
20,x e ∈，()'0g x >，
当()2,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在()20,e 上递增，在()2
,e +∞上递减，()g x ∴在2x e =取得极大值，极大值为2
1e ，无极大值. （2）要证f （x ）+1＜e x ﹣x 2．
即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，
先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝
，
易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”，
故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1，
故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，
令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，
令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2，
∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减，
x∈（2ln2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，
且k′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k′（0）＝2＞0，k′（2）＝e2﹣8+1＞0，
由零点存在定理，可知∃x1∈（0，2ln2），∃x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）＝k′（x2）＝0，
故0＜x＜x1或x＞x2时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x2时，k′（x）＜0，k （x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x2），由k′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，
k（x2）＝﹣2+x2﹣1＝﹣（x2﹣2）（2x2﹣1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，
故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．。