奥数第四讲定义新运算

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奥数第四讲定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。

它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号,例如“+ -、x、卞、>、V”等。

表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如b=3a-3b,新运算使用的符号是☆, 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。

如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。

值得注意的是:定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。

、例题与方法指导
例1、设ab都表示数,规定a^ b表示a的4倍减去b的3倍,即a A b=4X a-3 >b, 试计算5A6,6A5。

解5A6=5X4-6 X=20-18=2
6A 5=6X4-5 X=24-15=9
说明例1定义的△没有交换律,计算中不得将△前后的数交换。

例2、对于两个数a、b,规定a^b表示3X a+2X b,试计算(5^6)^7,5^( 6^7)。

思路导航:
先做括号内的运算。

解:(5^6) ☆ 7= (5X3+6X2) ☆ 7=27^ 7=27X3+7X2=95
5^ (6^7) =5^ (6X3+7X2) =5^32=5X3+32X2=79
说明本题定义的运算不满足结合律。

这是与常规的运算有区别的。

例3、已知2A3=2X3X4,4A2=4X5, 一般地,对自然数a、b,a A b表示
a X (a+1) X (a+b-1).
计算(6A3) - (5A2)。

思路导航:
原式=6X7--5 6
=336-30
规定:a A =a+(a+1)+(a+2)+ …+ (a+b-1),其中a,b表示自然数。

例4、已知3=1+2+3=6,求100 的值。

已知x△ 10=75,求x.
思路导航:
(1)原式=1+2+3+…+100= (1+100) 600吃=5050
(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+ •••+(X+9) =75,
所以:10X+(1+2+3■…+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3
例5、定义运算:a© b=3a+5ab+kb,
其中a, b为任意两个数,k为常数。

比如:2© 7=3X2+5X2X7+7k0
(1)已知5©2=73。

问:8©5与5©8的值相等吗?
(2)当k取什么值时,对于任何不同的数a, b,都有a©b=b©a,即新运算© 符合交换律?
分析与解:
(1)首先应当确定新运算中的常数k。

因为5©2=3X5+5X5X2+k X2=65+2k,
所以由已知5©2=73,得65+2k=73,求得k= (73-65)吃=4。

定义的新运算是:a© b=3a+5ab+4b。

8 © 5=3 68+5 >8 >5+4 65=244, 5© 8=3 >5+5 65 68+4 ><8=247。

因为244工247所以8©5工© &
(2)要使a© b=b© a,由新运算的定义,有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka 3a+kb-3b-ka=0,
3X(a-b)-k(a-b)=0,
(3-k)(a-b)=0。

对于两个任意数a, b,要使上式成立,必有3-k=0,即k=3
当新运算是a© b=3a+5ab+3b时,具有交换律,即a© b=b O a。

例6、对任意的数a, b,定义:f (a) =2a+1, g (b) =bxb
(1)求 f (5)-g( 3)的值;
(2 求f (g(2)) +g(f(2))的值;
(3)已知f (x+1) =21,求x的值。

解:(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2;
( 2) f( g( 2)) +g( f( 2))
=f( 2X2)+g( 2X2+1 )
=f( 4)+g( 5)=( 2X4+1 )+( 5X5)=34;
( 3)f( x+1 )=2X( x+1 )+1=2x+3,
由 f (x+1) =21,知2x+3=21,解得x=9。

二、巩固训练
1、若对所有b,a △ b =a X x,x是一个与b无关的常数;a^ b=(a+b)宁2,且
(3)^ 3=1^( 3^ 3)。

求(4)^ 2 的值。

2、如果规定:③=2X3X4 ,④=3X4X5,⑤=4X5X6 ,……,⑨=8X9X10 ,求⑨+⑧-
⑦+⑥-⑤+④-③的值。

3、对于任意的两个数a和b,规定a*b=3冶-b &求8*9的值。

4、对于任意的两个数P, Q,规定P^Q= (P X Q)詔。

例如:2^8= (2X3)詔已知x☆ (8^5) =10,求x的值。

5、定义:a^ b=ab-3b, a©b=4a-b/a。

计算:(4A3) △ (2©4)。

6 已知:2©3=2X3>4, 4©5=4>5>6>7X8,……
求(4© 4) -(3© 3)的值。

7、定义两种运算※”和△”如下:
b表示a,b两数中较小的数的3倍,
a A b表示a,b两数中较大的数的2.5倍。

比如:4探5=4X3=12, 4A5=5X2.5=12.5。

计算:[(0.6探0.5)+(0.3A0.8)]出^※0.7)-(0.64A0.2)]。

8、设m, n是任意的自然数,A是常数,定义运算m。

n= (A X m-n)詔, 并且
203=0.75。

试确定常数A,并计算:(50 7) X (20 2) - (302)。

9、对任意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a b。

比如7#3=1,5#29=4,4#20=0。

(1)计算:1998#2000,(5#19)#19,5#(1#95);
(2)已知11# x=4, x小于20,求x的值。

10、对于任意的自然数a, b,定义:f (a) =aX^-1, g (b) =b^2+1
(1)求f (g (6) -g (f (3))的值;
(2)已知f (g (x)) =8,求x的值。

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