高一数学人教新课标A版必修123幂函数同步练习

高一数学人教新课标A 版必修1第二章2.3幂函数同步练习
（答题时间：30分钟）
微课程：幂函数的定义同步练习
1. 已知幂函数y ＝f （x ）通过点（2，22），则幂函数的解析式为（ ）
A. y ＝212x
B. y ＝12x
C. y ＝3
2x D. y ＝521
x 2
2. 下列命题中正确的是
（ ）
A. 当0=α时函数α
x y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）
C. 若幂函数α
x y =是奇函数，则α
x y =是定义域上的增函数
D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限
3. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m ，则实数m 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）
4. 已知幂函数f （x ）＝x m ）
x 1 1
2 f （x ）
1
22
A. {x|0<x≤2}
B. {x|0≤x≤4}
C. {x|－2≤x≤2}
D. {x|－4≤x≤4} 5. 设x ∈（0，1），幂函数y ＝x a 的图象在直线y ＝x 的上方，则实数a 的取值范围是______。

6. 已知函数2
23
()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）<f （5），求m 的值，并确定
f （x ）的解析式。

微课程：幂函数的图象和性质同步练习
1. 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）
A. 1
y x
=
B. 12
y x =
C. 1()3
x
y =
D. 2215y x x =--
2. 函数35
x y =的图象大致是（ ）
3. 当x ∈（1，＋∞）时，下列函数的图象全在直线y ＝x 下方的偶函数是（ ）
A. 2
1x y = B. y ＝x －2 C. y ＝x 2 D. y ＝x －
1
4. 函数y ＝
1
x
－x 2的图象关于（ ）
A. y 轴对称
B. 直线y ＝－x 对称
C. 坐标原点对称
D. 直线y ＝x 对称
5. 已知幂函数
q
p x y =，（p ，q ∈N *）的图象如图所示，则
（ ）
A. p ，q 均为奇数，且p q ＞0
B. q 为偶数，p 为奇数，且p q
＜0
C. q 为奇数，p 为偶数，且p q ＞0
D. q 为奇数，p 为偶数，且p
q
＜0
6. 函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p 的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是________。

微课程：幂函数的应用同步练习
1. 设函数f （x ）＝x
1()7,x 0
2,x,x 0⎧-⎪≥＜若f （a ）＜1，则实数a 的取值范围是（ ）
A.（－∞，－3）
B.（1，＋∞）
C.（－3，1）
D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
2. 设α∈{－2，－1，－12，13，1
2
，1，2，3}，则使f （x ）＝x α为奇函数且在（0，＋∞）
上单调递减的α的值的个数是 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 3. 已知幂函数f （x ）＝ 12
x -
，若f （a ＋1）＜f （10－2a ），则a 的取值范围是_______。

4. 已知幂函数3
1)(a
x
x f -=在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数，那么
最小的正整数a ＝________。

5. 当0<x<1时，f （x ）＝x 1.1，g （x ）＝x 0.9，h （x ）＝x －
2的大小关系是_______________。

6. 已知点（2，2）在幂函数y ＝f （x ）的图象上，点⎝
⎛⎭⎫－2，1
2在幂函数y ＝g （x ）的图象上，若f （x ）＝g （x ），则x ＝________。

7. 已知函数f （x ）＝x m －
2x 且f （4）＝7
2
， （1）求m 的值；
（2）判定f （x ）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并给予证明。

8.（易错题）已知点（2，4）在幂函数f（x）的图象上，点（1
2
，4）在幂函数g（x）的
图象上。

（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）问当x取何值时有：①f（x）＞g（x）；②f（x）＝g（x）；③f（x）＜g（x）。

高一数学人教新课标A 版必修1第二章2.3幂函数同步练习参考答案
微课程：幂函数的定义同步练习参考答案
1. C 解析：设y ＝x α，则由已知得，＝2α，
即32
2
＝2α，∴α＝
3
2
，∴f （x ）＝3
2x 。

2. D 解析：A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1
-=x y 的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1
-=x y 在定义域上不是增函数；
D 正确，当0x >时，0x α
>。

3. A 解析：因为0＜0.71.3＜0.70＝1， 1.30.7＞1.30＝1， ∴0＜0.71.3＜1.30.7。

又（0.71.3）m ＜（1.30.7）m ，
∴函数y ＝x m 在（0，＋∞）上为增函数，故m ＞0。

4. D 解析：由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可。

由（12）m m ＝1
2
，∴f （x ）＝1
2x ，
∴f （|x|）＝1
2
x ，
又∵f （|x|）≤2，∴12
x ≤2，即|x|≤4，
∴－4≤x≤4。

5. （－∞，1） 解析：由幂函数的图象知a ∈（－∞，1）。

6. 解：∵f （x ）是偶函数，∴2
23m m -++应为偶数。

又∵f （3）<f （5），即22
23
23
35m m m
m -++-++<，
整理，得223
315m m -++⎛⎫< ⎪
⎝⎭。

∴2
230m m -++>，解得312
m -<<。

又∵m ∈Z ，∴m ＝0或1。

当m ＝0时，2
233m m -++=为奇数（舍去）； 当m ＝1时，2
232m m -++=为偶数。

故m 的值为１，解析式为2
()f x x =。

解析：函数223
()m m f x x
-++=（m ∈Z ）为偶函数，已限定了2
23m m -++必为偶数，
又m ∈Z ，f （3）<f （5），只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定f （x ）的解析式。

微课程：幂函数的图象和性质同步练习参考答案
1. B
2. B 解析：由
3
5
>1，∴在第一象限内图象是递增的，且曲线下凸，排除A 、C ，又是奇函数，故排除D 。

3. B 解析：∵函数是偶函数，排除A 、D ，又当x ∈（1，＋∞）时，图象在直线y ＝x 下
方，故y ＝x －
2适合。

4. A 解析：因为函数的定义域为{x|x≠0}，令y ＝f （x ）＝1
x
－x 2， 则f （－x ）＝
1x -－（－x ）2＝1x
－x 2＝f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，故选A 。

5. D 解析：研究函数的性质，得出p 、q 的取值。

因为函数为偶函数，所以p 为偶数，
且由图象形状判定p
q
＜0。

又因p 、q 互质，所以q 为奇数。

所以选D 。

6. n >m >p 解析：结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题加以解决，作直线x ＝a （0<a <1），可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x （0<a <1）是单调减函数可得n >m >p 。

微课程：幂函数的应用同步练习参考答案
1. C
解析：分a ＜0，a≥0两种情况求解。

当a ＜0时，a
)2
1(－7＜1， 即a
-2＜23，
∴a ＞－3，∴－3＜a ＜0。

当a≥0a ＜1，∴0≤a ＜1，
综上可得－3＜a ＜1。

2. A 解析：当α＝13，1
2
，1，2，3时，使得f （x ）＝x α在（0，＋∞）上单调递增，不合
题意。

当α＝－2时，y ＝x α为偶函数，
当α＝－12时，a
x y =非奇非偶；当α＝－1时符合题意。

3. （3，5） 解析：由于f （x ）＝ 1
2
x -在（0，＋∞）上为减函数 且定义域为（0，＋∞），则由f （a ＋1）＜f （10－2a ）得
a 10102a 0,a 1102a +⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
＞＞＞解得：3＜a ＜5。

4. 3
5. f （x ）<g （x ）<h （x ） 解析：在同一坐标系内画出三个函数的图象，用数形结合思想求解。

画出三个函数的图象易判断f （x ）<g （x ）<h （x ）。

6. ±1 解析：由题意，设y ＝f （x ）＝x α
，则2＝（2）α
，得α＝2，设y ＝g （x ）＝x β，则12
＝（－2）β，得β＝－2，由f （x ）＝g （x ），即x 2＝x －2，解得x ＝±1。

7. 解：（1）因为f （4）＝
72，所以4m －24＝7
2。

所以m ＝1。

（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f （－x ）＝－x －
2x -＝－（x －2
x
）＝－f （x ），所以f （x ）是奇函数。

证明：（3）设x 1＞x 2＞0，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1－12x －（x 2－2
2
x ）＝（x 1－x 2）（1
＋12
2x x ）， 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0，1＋12
2
x x ＞0。

所以f （x 1）＞f （x 2）。

所以f （x ）在（0，＋∞）上为单调递增函数。

8. 解：（1）设f （x ）＝x α，
∵点（2，4）在f （x ）的图象上， ∴4＝2α，∴α＝2，即f （x ）＝x 2。

设g （x ）＝x β，∵点（1
2
，4）在g （x ）的图象上， ∴4＝（
12
）β，∴β＝－2，即g （x ）＝x －
2。

（2）∵f （x ）－g （x ）＝x 2－x －
2＝x 2－21x
＝
()()
222
x 1x 1x -+ （*）
∴当－1＜x ＜1且x≠0时，（*）式小于零， 即f （x ）＜g （x ）； 当x ＝±1时，（*）式等于零，即f （x ）＝g （x ）； 当x ＞1或x ＜－1时，（*）式大于零，即f （x ）＞g （x ）。

因此，①当x ＞1或x ＜－1时，f （x ）＞g （x ）； ②当x ＝±1时，f （x ）＝g （x ）；
③当－1＜x ＜1且x≠0时，f （x ）＜g （x ）。

误区警示：本题（2）在求解中易忽视函数的定义域{x|x≠0}而失误，失误原因是将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性。