《走向高考》高数学(人教A版)总复习同步练习利用导数研究报告函数性质

3-2利用导数研究函数的性质
基础巩固强化
1.给出定义：若函数f(x>在D上可导，即f′(x>存在，且导函
数f′(x>在D上也可导，则称f(x>在D上存在二阶导函数，记f″(x>＝(f′(x>>′，若f″(x>>0在D上恒成立，则称f(x>在D上为凹函数，以下四个函数在(0，错误!>上是凹函数的是(>
A．f(x>＝sin x＋cos x B．f(x>＝ln x－2x
C．f(x>＝－x3＋2x＋1 D．f(x>＝－xe－x
[答案]D [解读](1>若f(x>＝sin x＋cos x，则f′(x>＝cos x－sin x，f″(x>＝
－sin x－cos x，∴f″(x>>0在(0，错误!>上不成立；
(2>若f(x>＝ln x－2x，则f′(x>＝错误!－2，f″(x>＝－错误!，
f″(x>>0在(0，错误!>上不成立；
(3>若f(x>＝－x3＋2x＋1，则f′(x>＝－3x2＋2，f″(x>＝－
6x，f″(x>>0在(0，错误!>上不成立；
(4>若f(x>＝－xe－x，则f′(x>＝(x－1>e－x，f″(x>＝(2－x>e－
x，当x∈(0，错误!>时，f″(x>>0恒成立，故选D. 2．(2018·济南外国语学校第一学期质检>若a>0，b>0，且函数
f(x>＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为(> A．2B．3C．6D．9
[答案]D [解读]函数的导数为f′(x>＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有
极值，则有f′(1>＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2错误!，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D. 3．(文>(2018·宿州模拟>已知y＝f(x>是定义在R上的函数，且
f(1>＝1，f′(x>>1，则f(x>>x的解集是(>
A．(0,1> B．(－1,0>∪(0,1>
C．(1，＋∞> D．(－∞，－1>∪(1，＋∞>
[答案]C [解读]令F(x>＝f(x>－x，则F′(x>＝f′(x>－1>0，所以F(x>是
增函数，∵f(x>>x，∴F(x>>0，∵F(1>＝f(1>－1＝0，∴F(x>>F(1>，∵F(x>是增函数，∴x>1，即f(x>>x的解集是(1，＋∞>．(理>(2018·辽宁文>函数f(x>的定义域为R，f(－1>＝2，对任意
x∈R，f′(x>>2，则f(x>>2x＋4的解集为(>
A．(－1,1> B．(－1，＋∞>
C．(－∞，－1> D．(－∞，＋∞>
[答案]B
[解读]由题意，令φ(x>＝f(x>－2x－4，则
φ′(x>＝f′(x>－2>0.
∴φ(x>在R上是增函数．
又φ(－1>＝f(－1>－2×(－1>－4＝0，
∴当x>－1时，φ(x>>φ(－1>＝0，
∴f(x>－2x－4>0，∴f(x>>2x＋4.故选B. 4．(文>设函数f(x>＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且
f(－1>＝－1，则a、b、c的值为(>
A．a＝－错误!，b＝0，c＝－错误!
B．a＝错误!，b＝0，c＝－错误!
C．a＝－错误!，b＝0，c＝错误!
D．a＝错误!，b＝0，c＝错误!
[答案]C
[解读]f′(x>＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得
错误!即错误!
解得a＝－错误!，b＝0，c＝错误!. (理>(2018·潍坊模拟>已知非零向量a，b满足|a|＝错误!|b|，若函
数f(x>＝错误!x3＋|a|x2＋2a·b x＋1在R上有极值，则〈a，b〉的取值
范围是(>
A．[0，错误!] B．(0，错误!]
C．(错误!，错误!] D．(错误!，π]
[答案]D [解读]据题意知，f′(x>＝x2＋2|a|x＋2a·b，若函数存在极值，
必有(2|a|>2－4×2a·b>0，整理可得|a|2>2a·b，故cos〈a，b〉＝错误!
<错误!＝错误!，解得错误!<〈a，b〉≤π. 5．函数y＝f(x>的图象如图所示，则y＝f′(x>的图象可能是
(>
[答案]D
[解读]由f (x >的图象知，f (x >在(－∞，0>上单调递增，在(0，＋∞>上单调递减，∴在(0，＋∞>上f ′(x >≤0，在(－∞，0>上
f ′(x >≥0，故选D.
6．(2018·陕西咸阳模拟>已知函数f (x >＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1>>处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列错误!的前n
项和为S n ，则S 2018的值为( >
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
[答案]D
[解读]∵f ′(x >＝2ax ，∴f (x >在点A 处的切线斜率为f ′(1>＝
2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，
∴f (x >＝4x 2－1，
∴错误!＝错误!＝错误!·错误!
＝错误!错误!
∴数列错误!的前n项和S n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!错误!＋
错误!错误!＋…＋错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!，∴S2018＝错误!. 7．(2018·惠州三模>已知函数f(x>＝错误!＋ln x，若函数f(x>在[1，＋∞>上为增函数，则正实数a的取值范围为________．
[答案][1，＋∞>
[解读]∵f(x>＝错误!＋ln x，
∴f′(x>＝错误!(a>0>，
∵函数f(x>在[1，＋∞>上为增函数，
∴f′(x>＝错误!≥0对x∈[1，＋∞>恒成立，
∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞>恒成立，
即a≥错误!对x∈[1，＋∞>恒成立，∴a≥1. 8．(文>函数y＝f(x>的定义域为(a，b>，y＝f′(x>在(a，b>上的图象如图，则y＝f(x>在区间(a，b>上极大值的个数为________．
[答案]2 [解读]由f′(x>在(a，b>上的图象可知f′(x>的值在(a，b>上，
依次为＋－＋－＋，∴f(x>在(a，b>上的单调性依次为增、减、增、
减、增，从而f(x>在(a，b>上的极大值点有两个．[点评]应注意题设中给的是f(x>的图象还是f′(x>的图象，在
f′(x>的图象上，位于x轴上方部分使f′(x>>0，f(x>单调增，位于x轴下方部分，使f′(x><0，f(x>单调减，f(x>的极值点是f′(x>的图象与x轴的交点，千万要注意，不要把f′(x>的单调性误以为是
f(x>的单调性．请再练习下题：
(2018·绵阳模拟>如图是函数y＝f(x>的导函数的图象，给出下面
四个判断．
①f(x>在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x>的极小值点；
③f(x>在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x>的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是________．
[答案]②③
[解读]由函数y＝f(x>的导函数的图象可知：(1>f(x>在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在
[2,4]上为减函数；
(2>f(x>在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．
故②③正确．(理>已知函数f(x>＝ln(1＋x>－ax的图象在x＝1处的切线与直
线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．
[答案]1
[解读]∵f′(x>＝错误!－a，
∴f′(1>＝错误!－a.
由题知错误!－a＝－错误!，
解得a＝1.
[点评]函数f(x>在点(x0，y0>处切线l的斜率为f′(x0>，若l与
l1平行(或垂直>，则f′(x0>＝kl1(或f′(x0>·kl1＝－1>．请再练习下
题：已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处
的切线互相平行，则x0的值为________．
[答案]0或－错误!
[解读]由条件知，2x0＝－3x错误!，
∴x0＝0或－错误!. 9．(2018·湖南长郡中学一模>已知函数f(x>的导函数为f′(x>＝
5＋cos x，x∈(－1,1>，且f(0>＝0，如果f(1－x>＋f(1－x2><0，则实
数x的取值范围为________．
[答案](1，错误!> [解读]∵导函数是偶函数，∴原函数f(x>是奇函数，且定义域为(－1,1>，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x><f(x2－1>，∴－1<1－x<x2－1<1，解得1<x<
错误!，∴实数x的取值范围是(1，错误!>．[点评]本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函
数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和
应用．10．(2018·北京东城一模>已知函数f(x>＝x3＋ax2－x＋c，且a
＝f′(错误!>．
(1>求a的值；
(2>求函数f(x>的单调区间；
(3>(理>设函数g(x>＝[f(x>－x3]·e x，若函数g(x>在x∈[－3,2]上
单调递增，求实数c的取值范围．
[解读](1>由f(x>＝x3＋ax2－x＋c得，
f′(x>＝3x2＋2ax－1.
当x＝错误!时，得a＝f′(错误!>＝3×(错误!>2＋2a×(错误!>－1＝
错误!a＋错误!，解之得a＝－1.
(2>由(1>可知f(x>＝x3－x2－x＋c.
则f′(x>＝3x2－2x－1＝3(x＋错误!>(x－1>，列表如下：
所以f(x>的单调递增区间是(－∞，－错误!>和(1，＋∞>；
f(x>的单调递减区间是(－错误!，1>．
(3>函数g(x>＝(f(x>－x3>·e x＝(－x2－x＋c>·e x，
有g′(x>＝(－2x－1>e x＋(－x2－x＋c>e x＝(－x2－3x＋c－
1>e x，
因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x>＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2>≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞>.
能力拓展提升
11.若a>2，则函数f(x>＝错误!x3－ax2＋1在区间(0,2>上恰好有
(>
A．0个零点 B．1个零点
C．2个零点 D．3个零点
[答案]B [解读]f′(x>＝x2－2ax＝x(x－2a>＝0⇒x1＝0，x2＝2a>4.易知
f(x>在(0,2>上为减函数，且f(0>＝1>0，f(2>＝错误!－4a<0，由零点判定定理知，函数f(x>＝错误!x3－ax2＋1在区间(0,2>上恰好有一个零
点．12．(2018·南开区质检>已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c>，则ad等于(>
A．2 B．1
C．－1 D．－2
[答案]A
[解读]∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，
又(b，c>为函数y＝3x－x3的极大值点，
∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，
∴错误!或错误!∴ad＝2. 13．(文>已知函数f(x>＝sin x＋cos x，f′(x>是f(x>的导函数，则
函数F(x>＝f(x>·f′(x>＋f2(x>的最大值是(>
A．1＋错误!B．1－错误!
C.错误!D．－错误!
[答案]A
[解读]依题意，得f′(x>＝cos x－sin x，
所以F(x>＝(sin x＋cos x>(cos x－sin x>＋(sin x＋cos x>2＝错误!
sin(2x＋错误!>＋1，
所以F(x>的最大值是1＋错误!. (理>(2018·陕西西工大附中第三次适应性训练>已知可导函数
f(x>(x∈R>满足f′(x>>f(x>，则当a>0时，f(a>和e a f(0>的大小关系
为(>
A．f(a><e a f(0> B．f(a>>e a f(0>
C．f(a>＝e a f(0> D．f(a>≤e a f(0>
[答案]B
[解读]令F(x>＝错误!，
则F′(x>＝错误!>0，
∴F(x>为增函数，
∵a>0，∴F(a>>F(0>，
即错误!>f(0>，
∴f(a>>e a f(0>，故选B. 14．(2018·浙江五校联考>已知函数f(x>的导函数f′(x>＝2x－
9，且f(0>的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*>时，f(x>所有可能取
的整数值有且只有1个，则n＝________.
[答案]4 [解读]由题可设f(x>＝x2－9x＋c(c∈R>，又f(0>的值为整数即c
为整数，∴f(n>＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1>＝(n＋1>2－9(n＋1>＋c ＝n2－7n＋c－8为整数，又x∈[n，n＋1](n∈N*>时，f(x>所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4. 15．(文>设函数f(x>＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y
＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1>求a、b、c的值；
(2>求函数的递减区间．
[解读](1>函数的图象经过(0,0>点，∴c＝0.
又图象与x轴相切于(0,0>点，y′＝3x2＋2ax＋b，
∴b＝0，∴y＝x3＋ax2，y′＝3x2＋2ax.
∵当x＝－错误!a时，函数有极小值－4.
∴错误!3＋a错误!2＝－4，得a＝－3.
(2>y′＝3x2－6x<0，解得0<x<2.∴递减区间是(0,2>．
(理>设函数f(x>＝x3－3ax＋b(a≠0>．(1>若曲线y＝f(x>在点(2，f(2>>处与直线y＝8相切，求a，b的
值；
(2>求函数f(x>的单调区间与极值点．
[解读](1>f′(x>＝3x2－3a.
因为曲线y＝f(x>在点(2，f(2>>处与直线y＝8相切，
所以错误!即错误!
解得a＝4，b＝24.
(2>f′(x>＝3(x2－a>(a≠0>．
当a<0时，f′(x>>0，函数f(x>在(－∞，＋∞>上单调递增；此
时函数f(x>没有极值点．
当a>0时，由f′(x>＝0得x＝±错误!.
当x∈(－∞，－错误!>时，f′(x>>0，函数f(x>单调递增；
当x∈(－错误!，错误!>时，f′(x><0，函数f(x>单调递减；
当x∈(错误!，＋∞>时，f′(x>>0，函数f(x>单调递增．
故x＝－错误!是f(x>的极大值点，x＝错误!是f(x>的极小值点．16．(文>设函数g(x>＝错误!x3＋错误!ax2－bx(a，b∈R>，在其图
象上一点P(x，y>处的切线的斜率记为f(x>．(1>若方程f(x>＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x>的表达
式；
(2>若g(x>在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小
值．
[解读](1>根据导数的几何意义知f(x>＝g′(x>＝x2＋ax－b，由已知－2,4是方程x2＋ax－b＝0的两个实根，由韦达定理错误!
∴错误!∴f(x>＝x2－2x－8. (2>g(x>在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间
上恒有f(x>＝g′(x>＝x2＋ax－b≤0，
即f(x>＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立
这只需满足错误!即可，也即错误!而a2＋b2可视为平面区域错误!
内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3>距离原点最近．所以当
错误!时，a2＋b2有最小值13. (理>(2018·天津文>已知函数f(x>＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈
R，其中t∈R.
(1>当t＝1时，求曲线y＝f(x>在点(0，f(0>>处的切线方程；
(2>当t≠0，求f(x>的单调区间；
(3>证明：对任意t∈(0，＋∞>，f(x>在区间(0,1>内均存在零
点．[解读](1>当t＝1时，f(x>＝4x3＋3x2－6x，f(0>＝0，f′(x>＝
12x2＋6x－6，f′(0>＝－6，所以曲线y＝f(x>在点(0，f(0>>处的切
线方程为y＝－6x.
(2>f′(x>＝12x2＋6tx－6t2，令f′(x>＝0，解得x＝－t或x＝
错误!，因为t≠0，以下分两种情况讨论：①若t<0，则错误!<－t，当x变化时，f′(x>，f(x>的变化情况如
下表：
所以，f(x>的单调递增区间是错误!，(－t，＋∞>；f(x>的单调递
减区间是错误!.
②若t>0，则－t<错误!，当x变化时，f′(x>，f(x>的变化情况如
下表：
所以，f(x>的单调递增区间是(－∞，－t>，错误!：f(x>的单调递
减区间是错误!，(3>证明：由(2>可知，当t>0时，f(x>在错误!内单调递减，在
错误!内单调递增，以下分两种情况讨论：①当错误!≥1，即t≥2时，f(x>在(0,1>内单调递减，在(1，＋
∞>内单调递增．f(0>＝t－1>0，f(1>＝－6t2＋4t＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对
任意t∈[2，＋∞>，f(x>在区间(0,1>内均存在零点．②当0<错误!<1，即0<t<2时，f(x>在错误!内单调递减，在错误!内
单调递增，
若t∈(0,1]，f错误!＝－错误!t3＋t－1≤－错误!t3<0，
f(1>＝－6t2＋4t＋3≥－6t＋4t＋3＝－2t＋3>0，
所以f(x>在错误!内存在零点．若t∈(1,2>，f错误!＝－错误!t3＋(t－1><－错误!t3＋1<0，
f(0>＝t－1>0，
所以f(x>在错误!内存在零点．所以，对任意t∈(0,2>，f(x>在区间(0,1>内均存在零点，
综上，对任意t∈(0，＋∞>，f(x>在区间(0,1>内均存在零点．
1．(2018·河南省洛阳市高三年级统一考试>函数f(x>的定义域是R，f(0>＝2，对任意x∈R，f(x>＋f′(x>>1，则不等式e x·f(x>>e x＋1
的解集为(>
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}
[答案]A [解读]构造函数g(x>＝e x·f(x>－e x，因为g′(x>＝e x·f(x>＋
e x·f′(x>－e x＝e x[f(x>＋f′(x>]－e x>e x－e x＝0，所以g(x>＝e x·f(x>－e x为R上的增函数．又g(0>＝e0·f(0>－e0＝1，所以原不等式转化为
g(x>>g(0>，解得x>0. 2．设曲线y＝x2＋1上任一点(x，y>处的切线的斜率为g(x>，则
函数y＝g(x>cos x的部分图象可以为(>
[答案]A [解读]g(x>＝(x2＋1>′＝2x，∴y＝g(x>·cos x＝2x cos x，显然y＝
2x cos x为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于
零．排除C. 3．设函数f(x>在定义域内可导，y＝f(x>的图象如图所示，则导
函数y＝f′(x>的图象可能为图中的(>
[答案]D [解读]当y＝f(x>为增函数时，y＝f′(x>>0，当y＝f(x>为减函数
时，y＝f′(x><0，可判断D成立．4．(2018·深圳第一次调研>已知函数f(x>的导函数f′(x>＝ax2
＋bx＋c的图象如图所示，则f(x>的图象可能是(>
[答案]D [解读]当x<0时，由导函数f′(x>＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函
数f(x>在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x>＝ax2＋bx
＋c的图象可知，导数在区间(0，x1>内的值是大于0的，则在此区
间内函数f(x>单调递增．只有D选项符合题意．5．f(x>是定义在(0，＋∞>上的非负可导函数，且满足xf′(x>
＋f(x>≤0.对任意正数a、b，若a<b，则必有(>
A．af(b>≤bf(a> B．bf(a>≤af(b>
C．af(a>≤f(b> D．bf(b>≤f(a>
[答案]A
[解读]∵xf′(x>＋f(x>≤0，又f(x>≥0，
∴xf′(x>≤－f(x>≤0.
设y＝错误!，则y′＝错误!≤0，
故y＝错误!为减函数或为常数函数．
又a<b，∴错误!≥错误!，
∵a、b>0，∴a·f(b>≤b·f(a>．[点评]观察条件式xf′(x>＋f(x>≤0的特点，可见不等式左边
是函数y＝xf(x>的导函数，故可构造函数y＝xf(x>或y＝错误!通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a，b是实数，且e<a<b，其中e是自然对数的底数，则a b
与b a的大小关系是(>
A．a b>b a
B．a b<b a
C．a b＝b a
D．a b与b a的大小关系不确定
[答案]A [解读]令f(x>＝错误!，则f′(x>＝错误!.当x>e时，f′(x><0，∴
f(x>在(e，＋∞>上单调递减．
∵e<a<b，∴f(a>>f(b>，即错误!>错误!，
∴b ln a>a ln b，∴ln a b>ln b a，∴a b>b a. 6．(2018·安徽池州一中期末>已知函数y＝－错误!x3＋bx2－(2b
＋3>x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是
________．
[答案]b<－1或b>3 [解读]y′＝－x2＋2bx－(2b＋3>，要使原函数在R上单调递
减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3>＝4(b2－2b－3>≤0，∴－1≤b≤3，故使该
函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是
b<－1或b>3.
7．已知f(x>＝ln x＋x2－bx.
(1>若函数f(x>在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2>当b＝－1时，设g(x>＝f(x>－2x2，求证函数g(x>只有一个
零点．
[解读](1>∵f(x>在(0，＋∞>上递增，
个人资料整理仅限学习使用
∴f′(x>＝错误!＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞>恒成立，
即b≤错误!＋2x对x∈(0，＋∞>恒成立，
∴只需b≤错误!min，∵x>0，∴错误!＋2x≥2错误!，当且仅当x＝错误!时取“＝”，
∴b≤2错误!，∴b的取值范围为(－∞，2错误!]．(2>当b＝－1时，g(x>＝f(x>－2x2＝ln x－x2＋x，其定义域是
(0，＋∞>，
∴g′(x>＝错误!－2x＋1
＝－错误!＝－错误!，
令g′(x>＝0，即－错误!＝0，
∵x>0，∴x＝1，
当0<x<1时，g′(x>>0；当x>1时，g′(x><0，
∴函数g(x>在区间(0,1>上单调递增，在区间(1，＋∞>上单调递
减，∴当x≠1时，g(x><g(1>，而g(1>＝0，∴g(x><0，
∴函数g(x>只有一个零点．。