高中数学人教A版必修五 模块综合测评2 Word版含答案

模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1
D ．2n －
1
【解析】 取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C
2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}
【解析】 不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5. 【答案】 B
3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )
A ．16
B ．32
C ．64
D ．256
【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.
【答案】 C
4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )
D.
1
x2＋1
>1(x∈R)
【解析】
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于()
A.1
2 B.
3
2
C．1 D.3 4
【解析】∵a＝3b sin A，
∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，
∴sin B＝1 3.
∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝1
2ac sin B＝
1
2×3×
1
3＝
1
2，故选 A.
【答案】 A
6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()
A．T10B．T13
C．T17D．T25
【解析】由等比数列的性质得
a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．
【答案】 C
7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不
等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )
A ．－3
B ．1
C ．－1
D ．3
【解析】 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，
∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A
8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.
请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )
1－q ，
即381＝a 1(1－27)
1－2，
∴a 1＝381
127＝3. ∴此塔顶有3盏灯． 【答案】 B
9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧
x －y ＋1≤0，x >0，则y
x 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
【解析】 实数x ，y 满足
⎩⎨⎧
x －y ＋1≤0，x >0
的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】 C
10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形
D ．有一角为30°的直角三角形
【解析】 由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，
即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π， 所以A －B ＝0， 即A ＝B . 【答案】 A
11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1
＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1
＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1
＝x －1＋
3
x －1
＋2 ≥23＋2. 【答案】 A
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3
a 2－
b 2＋
c 2
，
BC →·BA
→＝12
，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C ．2
D ．2－ 3
【解析】 由BC →·BA
→＝12，得ac cos B ＝12，
∴2ac cos B ＝1.
又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－3
1＝2－ 3. 【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式
2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】
【解析】 点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)． 由题意知⎩⎨⎧
2×1－2b ＋1>0，
－2＋2b ＋1>0，
解得12<b <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，32
14．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数
列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 前10项的和为________．
【解析】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －2
2
.
又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n
2(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n
2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1.
∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 【答案】 20
11
15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，a ＝2， 又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .
∴
b 2＋
c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.
∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°
＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.
【答案】 3
16．若1a <1
b <0，已知下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a
b >2； ⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .
其中正确的不等式的序号为______． 【解析】 ∵1a <1
b <0， ∴b <a <0，故③错；
又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】 ①④⑥
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.
(1)求公差d 的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由． 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧
12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0， 即⎩⎨⎧
24＋7d >0，3＋d <0， ∴－24
7<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧
a 6＋a 7>0，a 7<0，
∴a 6>0， 又由(1)知d <0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．
18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求
b －3
a －1
的最大值和最小值． 【解】 ∵⎩⎨⎧
α＋β＝－a ，
αβ＝2b ，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝－(α＋β)，
b ＝αβ2，
∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧
－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，
建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．
令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．
取B (－1,0)，C (－3,1)， 则k AB ＝32，k AC ＝1
2，
∴12≤b －3a －1≤3
2.
故
b －3a －1
的最大值是32，最小值是1
2. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】
【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，
由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＝0， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π， ∴A ＝π3.
(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝33
4. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.
∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．
20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；
(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.
【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧
a >0，Δ＝4a 2
－4a ≤0， 解得0<a ≤1.
综上可知，a 的取值范围是[0,1]．
(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，
即0≤a <1
2时， a <x <1－a ；
②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122<0，不等式无解；
③当1－a <a ，即1
2<a ≤1时， 1－a <x <a .
综上，当0≤a <1
2时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝1
2时，原不等式的解集为∅；
当1
2<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )．
21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2
n ＝d ，其中d 为常数，则称数
列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前
n 项和．
【解】 (1)由a 21＝1，a 2
5＝9， 得a 25－a 21＝4d ，
∴d ＝2.
a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∵a n >0， ∴a n ＝2n －1.
数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
＝(2n －1)12n ， 设S n ＝1·
12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 1
2n ＋1，② ①－②，得
12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12
n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12
－(2n －1)·12n ＋1
， 即S n ＝3－2n ＋32n ，
即数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号
)
图1
【解】 轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，
由此可见，BC ＝4EB .
设EB ＝x ，则BC ＝4x ，
由已知得∠BAE ＝30°，
在△AEC 中，由正弦定理得
EC sin ∠EAC
＝AE sin C ， 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC
＝5sin 150°5x ＝12x ， 在△ABC 中，由正弦定理得
BC sin ∠BAC
＝AB sin C ，
即AB＝BC sin C
sin 120°＝
4x×
1
2x
sin 120°＝
4
3
＝
43
3.
在△ABE中，由余弦定理得
BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°
＝25＋16
3－2×5×
43
3×
3
2＝
31
3，
所以BE＝31
3(千米)．
故轮船的速度为v＝31
3÷
20
60＝93(千米/时)．。