【高考风向标】高考数学一轮课时知能训练 第5章 第3讲 算术平均数与几何平均数 文

第3讲 算术平均数与几何平均数
1．A 为两正数a ，b 的等差中项，G 为a ，b 正的等比中项，则ab 与AG 的大小关系为( )
A ．ab ≤AG
B ．ab ≥AG
C ．ab >AG
D ．ab <AG
2．(2011年上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b
>2ab
D.b a ＋a b
≥2
3．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b
的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．1 D.1
4
4．(2011年重庆)若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4
5．对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值
－1叫做f (x )＝x 2
＋2x 的下确界，则对于a ，b ∈R 且a ，b 不全为0，a 2＋b 2a ＋b 2
的下确界
为( )
A.12 B ．2 C.1
4
D ．4 6．(2011年湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 2＋1y 2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 7．(2011年浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．
8．(2011年湖北模拟)设a >0，b >0，称2ab
a ＋b
为a ，b 的调和平均数．如图K5－3－1，
C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于
D .连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为
E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．
图K5－3－1
9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2
＋2m 恒成立，求实数m 的取值范围．
10．投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W (万件)与广告费x (万元)之间的
函数关系为W ＝kx ＋1
x ＋1
(x ≥0)，且知投入广告费1万元时，可销售2万件产品．预计此种
产品年销售收入M (万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的150%与年广告费用50%的和．
(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；
(2)当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？
第3讲 算术平均数与几何平均数
1．A 2.D 3.B 4.C 5.A
6．9 解析：⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x
2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y
2＋4≥5＋2
4x 2y 2×
1
x 2y 2
＝9，当且仅
当4x 2y 2＝
1
x 2y 2
时，“＝”成立．
7.2 33 解析：∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2－xy ＝1.即(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1.∴(x
＋y )2≤43，－2 33≤x ＋y ≤2 3
3
.
8．CD DE 解析：在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得CD 2
＝AC ·CB ，故CD ＝
ab .即CD 长度为a ，b 的几何平均数．
将OC ＝a －a ＋b 2＝a －b 2，CD ＝ab ，OD ＝a ＋b 2，代入OD ·CE ＝OC ·CD 可得CE ＝
a －b
a ＋b
ab .故OE ＝OC 2－CE 2
＝a －b 2a ＋b ，
所以ED ＝OD －OE ＝2ab
a ＋b
，
故DE 的长度为a ，b 的调和平均数．
9．解：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4y x ＋x y
≥4＋2 4y x ·x
y ＝8.
而x ＋2y >m 2
＋2m 对x >0，y >0恒成立， 则m 2＋2m <8，解得－4<m <2.
10．解：(1)由题意得，2＝k ＋11＋1，解得k ＝3，则W ＝3x ＋1
x ＋1
.
于是年利润y ＝年销售收入－年成本－年广告费＝32(18W ＋10)＋1
2
x －(18W ＋10)－x ＝
－x 2
＋63x ＋28
x ＋
(x ≥0)．
(2)－x 2＋63x ＋28x ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋18x ＋1＋652
≤26.5(x ＝5时取等号)．
所以当年广告费为5万元时，年利润最大，最大年利润是26.5万元．。