北师大版高中数学必修五双基限时练4.docx

双基限时练(四)
一、选择题
1．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()
A．5 B．6
C．8 D．10
解析由等差中项的性质，知2a5＝a1＋a9，
∴a5＝5.
答案 A
2．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析由a1＋a3＋a5＝3a3＝105，得a3＝35.
又(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝3d＝－6，
得d＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35－34＝1.
答案 B
3．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2014，则序号n的值为()
A ．670
B ．672
C ．674
D ．668
解析 由题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，由3n
－2＝2014，n ＝672.
答案 B
4．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )
A ．40
B ．70
C ．80
D ．90
解析 a 10，a 20，a 30，a 40成等差数列，公差为20，∴a 40＝a 10＋3×20
＝90.
答案 D
5．在等差数列{a n }中，a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝( )
A ．24
B ．22
C ．20
D ．－8
解析 由a 1＋2a 8＋a 15＝96＝4a 8，∴a 8＝24.
故2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24.
答案 A
6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)
的值为( ) A. 3
B ．±3
C ．－33
D ．－ 3
解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π.
∴a 7＝43π，tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 83π＝tan 23π＝－ 3.
答案 D
二、填空题
7．在等差数列{a n }中，d >0，a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，则
a n ＝________.
解析 由a 2＋a 5＋a 8＝9，知a 5＝3.由a 3a 5a 7＝－21，知(3－2d )(3
＋2d )＝－7.
得d ＝±2，又d >0，∴d ＝2.
∴a n ＝2n －7.
答案 2n －7
8．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝8，则a 20＝________.
解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 2，a 4，a 6，a 8，…，a 20为等差数
列，设其公差为d ，则a 6＝a 2＋2d ＝4＋2d 得d ＝2，a 20＝a 2＋9d ＝4＋9×2＝22.
答案 22
9．在等差数列{a n }中，(1)若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，则a 2＋
a 8＝________；
(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，且a 4<a 2，则a n ＝________. 解析 (1)由已知得a 5＝70，又a 2＋a 8＝2a 5＝140.
(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，又a 4<a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝13，a 5＝4， ∴d ＝－3，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝19－3n .
答案 (1)140 (2)19－3n
三、解答题
10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差
数列．
证明 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .
∴2(a ＋b ＋c )b
＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c c . 化简得b ＋c a ＋a ＋b c ＝2(a ＋c )b .
∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 成等差数列．
11．已知等差数列{a n }的前三项依次为x －1，x ＋1,2x ＋3，求这
个数列的通项公式．
解 ∵这个数列的前三项依次为x －1，x ＋1,2x ＋3，
∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，得x ＝0.
∴该数列的首项为－1，公差d ＝1－(－1)＝2，
∴其通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.
12．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成一个首项为14的等差数列，求|m －n |.
解 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d .
而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中两
根之和也为2.
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.
∴a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两个根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方
程的两个根．
∴716，1516为m 或n ，∴|m －n |＝12.
思 维 探 究
13．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{a n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
解(1)由于a n
＝(n2＋n－λ)a n，且a1＝1.所以当a2＝－1时，有
＋1
－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
故a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{a n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列．。