数字通信中的抗干扰编码技术

▪ 采用最大似然译码：
• 将接收到的码字与信道编码时可能输出的2k 个 码字比较，将其中最相似的码字作为正确的接 收码字。
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码距与最小码距
▪ 两个长度相同的码字之间对应码位上不相 同的码元的数目，称为这两个码字之间的 距离，简称码距。
▪ 在一种码的所有码字集合中，任意两个码 字之间的最小距离，称为这个码字集合的 最小码距，记为dmin。
X3 (X3 + X+1)＝ X6 + X4 + X3 (X3 +1) (X3 + X+1)＝ X6 + X4 + X+1 (X3 + X) (X3 + X+1)＝ X6 + X3 + X2 + X (X3 + X+1) (X3 + X+1) ＝ X6 +X2 + 1 (X3 + X2 ) (X3 + X+1) ＝ X6 + X5 + X4 + X2 (X3 + X2+1) (X3 + X+1) ＝ X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X+1 (X3 + X2+X) (X3 + X+1) ＝ X6 + X5 +X (X3 + X2+X+1) (X3 + X+1) ＝ X6 + X5 + X3 + 1
码字
c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0
0 000 0 00
0 001 0 11 0 010 1 10 0 011 1 01 0 100 1 11 0 101 1 00
0 110 0 01
0 111 0 10 1 000 1 01 1 001 1 10 1 010 0 11 1 011 0 00 1 100 0 10 1 101 0 01 1 110 1 00 1 111 1 11
数字通信中的抗干扰编码技 术
22020/10/19
数字通信中的抗干扰编码
▪ 抗干扰编码的基本原理 ▪ 差错控制方式 ▪ 奇偶校验码与校验和 ▪ 循环码：
• 编译码原理 • 检错与纠错能力 • 编译码算法
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抗干扰编码的基本原理
▪ 定义：
采用可靠、有效的编码以发现或纠正数字信号在传输过 程中由于噪声干扰而造成的错码，称为抗干扰编码，又 称信道编码。
• 发送端发送的码元不仅能检错，也有一定的纠 错能力。接收端首先进行纠错，若能检出错误 ，但不能纠正，返回反馈信息要求发送端重新 发送。
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奇偶校验码
▪ 编码规则：
在n-1位信息元后面，添加一位码元，使码字中“1”的个数恒为奇数 或偶数。
当“1”的个数恒为奇数时，称为奇校验码 当“1”的个数恒为偶数时，称为偶校验码
码多项式 c (x) = m(x) g(x)
0 (X3 + X+1)＝0
1 (X3 + X+1)＝ X3 + X+1 X (X3 + X+1)＝ X4 + X2+X (X+1) (X3 + X+1) ＝X4 +X3 +X2+1 X2 (X3 + X+1) ＝ X5 + X3+X2 (X2+1) (X3 + X+1)＝ X5 + X2 + X+1
• 性能：它要求一个反馈信道，若干扰严重，重传次数增加，通信 连贯性差，效率低，但只用了检错方式，编码、译码器较简单， 选用适当的编码规则，可使未检出错误的概率变的非常小。
▪ 返送重传
• 接收端将收到的信息原封不动地返送给发送端。 • 传输效率更低，可靠性提高。
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差错控制方式
▪ 混合纠错(HEC)
接收端经检错译码器判断有无错误，无错则数码可用 ，有错则丢弃不用。 • 传送方式简单，较易实现。
▪ 前向纠错(FEC)
• 发送端进行信息的纠错编码，并发送，接收端对其进 行纠错译码
• 优点：不需反馈 • 缺点：译码器较复杂
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差错控制方式
▪ 自动要求重传(ARQ)
• 发送端发送可检错的码字，接收端根据编码规则检错，并通过反 馈信道将判决结果返送发送端，若有错则发送端重新发送，直到 接收端确认无错为止。
▪ 实现方法：
对信源编码得到的信息序列，按照某种规律，添加一定 的校验码元，构成一个具有抗干扰能力的码字。添加校 验码元的规律或规则不同，形成不同的编码方法。
▪ 常用的编码方法
• 奇偶校验、校验和、循环冗余校验（CRC）。
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信道编码的实现
▪ 对于长度为k的信息码元序列，按一定规律加入 r=n-k位监督码元，组成长度为n的码字，记作 (n,k)码。
0 110 0 01
1 011 0 00 1 010 0 11 1 001 1 10 1 000 1 01 1 110 1 00 1 111 1 11 1 100 0 10 1 101 0 01
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系统循环码的计算
▪ (n，k)系统码的编码过程：
– 信息多项式m(x)乘以xn-k，得到xn-k m(x) – 以生成多项式除xn-k m(x)，若余式为r(x)，
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码多项式及其运算
▪ 定义二元域上的多项式：
f(x) = an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …＋a1 x + a0
其中，ai = 0或1
▪ 信道编码中，通常用多项式表示一个信息序列 或码字，称为码多项式或信息多项式
▪ 信息多项式：
m(x) = mk-1 xk-1 + mk-2 xk-2 + …＋m1 x + m0
即xn-k m(x)＝g(x)q(x)+r(x) – 对应的系统循环码字为：c(x)= xn-k m(x) +r(x)
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由g(x) = x3+x+1生成的(7,4)系统循环码
信息序列
m3 m2 m1 m0 0 0 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 0 1 00 0 1 01
▪ 例如：
X7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)
▪ 对于(7,4)循环码，一个生成多项式为：
g(x)＝x3+x+1
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非系统循环码的计算
▪ 若已知循环码的生成多项式，根据性质2，
可以将生成多项式与指定信息码相乘，计 算出对应的码字。
▪ 非系统循环码的计算：
• 根据循环码的码长n和信息位k选定生成多项式 g(x)，完成m(x)g(x)的乘法运算，得到信息多 项式m(x)对应的码多项式c(x)。
若r位校验码只与本码字中的k位信息位相关，称为分组 码
若r位校验码不仅与本码字中的k位信息位相关，还与前 面若干个码字的信息元相关，称为卷积码
(n,k)码可能出现的码字为 2k 种 长度为n的码元可能出现 2n 种
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信道译码
▪ 信道译码：
• 接收端收到一个码字后，判断它是否发端发来 的码字，是哪个码字。
g(x) = xn-k + gn-k-1 xn-k-1 + …＋g1 x + 1 g(x)称为循环码的生成多项式。
2. (n,k)循环码中的任一个码多项式都是g(x)的倍式 。
3. (n,k)循环码的生成多项式是xn+1的一个因式。
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循环码的性质
性质3提供了一种确定生成多项式的方法： 若g(x)是一个n-k次多项式，且是xn+1的一个因 式，则g(x)可以生成一个(n，k)循环码。
▪ 接收端将收到的前面m个信息组以同样方式 相加，得到的校验和，与收到的校验和相 比，校验是否一致。
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模2运算
▪ 在由元素0和1组成的二元域上定义模2运算 ：
模2加法运算：
0＋0＝0 1＋0＝1 0＋1＝1 1＋1＝0
模2减法运算规则与加法相同。
模2乘法运算：
0×0＝0 1×0＝0 0×1＝0 1×1＝1
……………
• 具有较强的 检错能力
mj-1 mj-2 … m0 ri(j+1) r(i+1)1 r(i+1)2 … r(i+1)j r(i+1)(j
+1)
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校验和CS（Check Sum）
▪ 把m个长为l的信息组作为二进制数相0/19
信息序列 m3 m2 m1 m0 0 0 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 0 1 00 0 1 01 0 1 10
0 1 11 1 0 00 1 0 01 1 0 10 1 0 11 1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11
由g(x) = x3+x+1生成的(7,4)非系统循环码
(X2+X) (X3 + X+1)＝X5 + X4 + X3+X
码字
c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0
0 000 0 00
0 001 0 11 0 010 1 10 0 011 1 01 0 101 1 00 0 100 1 11
0 111 0 10
(X2+X+1) (X3 + X+1)＝ X5 + X4 +1
（6，3）线性分组码
信息元
码字
m2
m1
m0
m2
m1
m0
r2
r1
r0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
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线性分组码的生成矩阵
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循环码
▪ 如果线性分组码中的任一个码字经过循环 移位之后，仍可以得到该线性分组码中的 码字，该线性分组码称为循环码。
• 设（n，k）循环码的码字为：c=cn-1cn-2…c1c0
• 循环1次后得到的码字为：c(1)=cn-2cn-3…c0cn-1
• 循环i次后得到的码字为：c(i)=cn-i-1cn-i-2…cn-i+1cn-i
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循环码的性质
1. (n,k)循环码有且只有一个n-k次的码多项式g(x)：
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线性分组码
▪ 当分组码满足每个码字中的每一位校验码 元，都是本码字中信息码元的线性模2和时 ，称为线性分组码。
▪ 例如，对于(6，3)分组码，若每个码字的校 验码与信息码有下列关系：
r2 = m2 + m0 r1 = m2 + m1 r0 = m1 + m0
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X5 + X4 + X3+X
X5 + X4 +1 X6 + X2 + 1 X6 + X3 + X2 + X X6 + X4 + X + 1 X6 +X4 + X3 X6 + X5 + X X6 + X5 + X3 + 1 X6 + X5 + X4 + X2 X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X+1
▪ 编码效率：
▪ 性能分析：
检错能力：可以检出奇数个错误 纠错能力：不能纠正错误
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水平垂直奇偶校验码
▪ 水平和垂直两个方向的奇偶m校k验-1码m，k也-2 称…纵横奇m偶k-j校r验1(j+码1)
▪ 构成如图所示
mk- mk- … mk-2j r2(j+1)
(j+1) (j+2)
▪ 编码性能（较好的检错与纠错能力）
▪ 编码易于实现
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差错控制方式
▪ 循环传送检错 ▪ 前向纠错 ▪ 自动要求重传 ▪ 返送重传 ▪ 混合纠错
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差错控制方式
▪ 循环传送检错
• 同一信息源的信息周期性地循环传送 • 发送端将有关的信息进行抗干扰编码后，发送出去。
0 1 10
0 1 11 1 0 00 1 0 01 1 0 10 1 0 11 1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11
码多项式 c (x) = xn-km(x) + r(x)
0 X3 + X+1 X4 + X2+X X4 +X3 +X2+1 X5 + X3+X2 X5 + X4 +1
▪ 码多项式：
c(x) = cn-1 xn-1 + cn-2 xn-2 + …＋c1 x + c0
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码多项式及其运算（二）
▪ 信息序列1001011可以用码多项式表示为：
x6+x3+x+1
▪ 对于f(x)=x4+x3+x2+1，g(x)=x+1
f(x) ＋ g(x) = f(x) － g(x) = x4+x3+x2+x f(x) ×g(x) = x5+x2+x+1 f(x) ÷g(x) = x3+x+1
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最大似然译码的实现
▪ 计算收到的码字与发端可能发送码字之间的码距，与哪 个码字的码距最小，则判断接收码字就是这个发送码字 。
▪ 最小码距dmin与检错能力与纠错能力的关系：
t —— 能纠正的错误个数 l —— 能检出的错误个数
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对抗干扰编码的要求
▪ 编码效率：对于(n,k)码，编码效率为：