中原名校联盟—学高三上期第一次摸底考试文科数学

中原名校联盟2013—2014学年高三上期第一次摸底考试
文科数学试题
（考试时间：150分钟试卷满分：150分）
第I卷
、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

2
1.已知集合P= {X | x < 1}, M = {a}，若PU M = P,贝y a的取值范围是（）
A . (—1,—1) B. [1 , +m)
C . [—1 , 1]
D . (—m，—1] U [1,+^)
2.复数z= i (i + 1) （i为虚数单
位）的共轭复数
是
()
A . —1 —i
B . — 1 + i
C . 1 —i D. 1+ i
3. 对于给定空间中的直线I, m, n及平面a , “m , n二a , I丄m, l丄n”是“ I丄a ”的（
A .充分不必要条件
B •必要不充分条件
C •充要条件
D .既不充分也不必要条件
4. 已知a+ b= 2,则3a+ 3b
的最小值是()
A . 2、、3 B. 6
C . 2 D. 2、2
5. 执行右边的程序框图，若t € [ —1,
2],贝U s€()
A . [ —1 , 1) B. [0 , 2]
C . [0 ,1) D. [ —l, 2]
2 2
6. 若直线y= kx与圆X + y —4x + 3= 0的两个交点关
于直线x+ y + b = 0对称，则 ( )
A . k=—1, b = 2
B . k= 1, b = 2
C. k= 1, b = —2 D . k =—1, b=—2
7. 已知等比数列{ a n}中，各项都是正数，且a1, - a3, 2a?成等差数列，则比十印0 =（）
2 a?+ a$
A . 1—2
B . 1+ 2
&如图所示，M, N是函数y = 2sin （wx + ;：）（3> 0）图像与x轴的交点，点P在M, N之间的图像上uuu uuu 运动，当△ MPN面积最大时PM • PN = 0，则3= （）
兀
A .
D . 3+ 2.2
4
n C .—
9.正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B , C 分别是边P 1P 2, P 2P 3的中点，沿 AB , BC , CA 折成一个三棱锥 P
—ABC (使P 1, P 2, P 3重合于P ),则三棱锥P - ABC 的外接球表面积为 ( )
A . 24 n
B . 12 n
C . 8 n
D . 4 n
x + 2y —5>0
2 2 |
10•在圆(x -2) +(y -2) =4内任取一点，则该点恰好在区域
x — 2y +3>0内的概率为 x <3
( )
1
1
1
1
A .
B
C .
D .
—— 8 -
4 二
2n
n
2
x 11 .等轴双曲线 2
2
^2 =1 (a > 0,b > 0) 的右焦点为 F (c , 0),方程 ax 2+ bx — c =0的实根分别为 捲和
a b
第24题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.
r r r r
r
13.已知向量a , b 满足丨a I = 1,1 b I = 2, a 与b 的夹角为60°,则丨a
X 2，则三边长分别为I 为I,
I x 2 I , 2的三角形中，长度为
2的边的对角是
( ) A .锐角
B .直角
C .钝角
D .不能确定
12 .已知函数f (x ) (x € R )满足
f(x) >f (x )，则
(
)
2
A . f (2 )v e f (0) 2
B . f (2)W e f (0)
C . f (2 )= e 2f (0)
D . f (2)> e 2f (0)
第H 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题〜第21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22题
a 4+ a 6= 6,其前5项和S 5= 10,则其公差d =
14•已知｛ a n ｝是等差数列
,
15.设某几何体的三视图如下 ，则该几何体的体积为
H — 3 ―►!
T 2—►
2x — 3x +1,x =1
、/十“、十 "亠 人 一 ““宀、仏 16. 已知函数f (x ) =
2
，关于x 的方程f (x )= m (m € R )恰有二个互不相等的头数
—x + x, X >1
根X i , X 2 , X 3，则X i + X 2 + X 3的取值范围是 __________________ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)
设函数 f (x ) = sin 2x — sin (2x —二). 2
(1) 求函数f (x )的最大值和最小值；
C
1
(2) ^ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , c = 3, f (
)= ，若 sinB = 2sinA ，求△ ABC
2
4
的面积.
18. (本小题满分12分)
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行
调查，其中女性有 55名。

右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方
图。

将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为“体育迷”，已知"体育迷”中有 10名女
性。

(1)根据已知条件完成下面的 2 2列联表，并据此资料判断你是否有
95%以上的把握认为 “体育迷”
(2)将日均收看该体育项目不低于
50
分钟的观众称为“超级体育迷”， 已知“超级体育迷”中有 2名女 性，若从“超级体育迷”中任意 选取2人，求至少有1名女性观 众的概率。

n(ad —Ac)2
(a + + d){a ++ d)
P(K 2>k) 0+05 0.01 k
3.841
6.0635
19. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥 P — ABCD 中，PD 丄平面 ABCD , AB // DC ,
已知 BD = 2AD = 2PD = 8, AB = 2DC = 4 . 5 . (1) 设M 是PC 上一点，证明：平面 MBD 丄平面PAD ;
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
其中n = + d 为样本容量
与性别有关？
(2)若M是PC的中点，求棱锥P—DMB的体积.
20. (本小题满分12 分)
已知△ ABC 中，点A , B 的坐标分别为(一 J2 , 0), B ( J2 , 0)点C 在x 轴上方. (1) 若点C 坐标为(J2 , 1),求以A , B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程：
3TT
(2) 过点P ( m ，0)作倾斜角为 的直线I 交(1)中曲线于M , N 两点，若点
4
Q ( 1，0)恰在以线段 MN 为直径的圆上，求实数 m 的值.
21. (本小题满分12分)
1 — a 2
设函数 f (x ) = ------ x + ax — Inx (a € R ).
2
(1)当a = 1时，求函数f (x )的极值； )当a > 2时，讨论函数f (x )的单调性；
(3) 若对任意 a €( 2, 3)及任意 x 1 ,
x 2 € [1 , 2]，恒有
ma + In2 >| f
( x-i ) — f ( x 2 )| 成立，求
实数m 的取值范围.
【选考题】
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分.
22. (本小题满分10分)选修4— 1:几何证明选讲 如图，在△ ABC 中，CD 是/ ACB 的平分线，
△ ACD 的外接圆交于 BC 于点E , AB = 2AC . (1) 求证：BE = 2AD ;
(2) 当 AC = 1,EC = 2 时，求 AD 的长.
23. (本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程
3),倾斜角为一.
3
(1) 写出直线l 的参数方程和圆的标准方程；
(2) 设直线I 与圆相交于A , B 两点，求| PA |・| PB |的值. 24. (本小题满分10分)选修4— 5:不等式选讲
设 f (x )=| x + 1 | + | x — 3 | . (1)解不等式 f (X )w 3x + 4;
2)若不等式f (x )> m 的解集为R ,求实数m 的取值范围.
已知在直角坐标系
xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为
X =4COS y =4sin )
(0为参数)，直线l 经过定点A (2,
文科数学参考答案
、选择题（本大题共 60分，每小题5分） CABBD CBAAC CD
二、 填空题（本大题共 20分，每小题5分） 13、丽 14
、-
15
、4
16、（- 8+ 辰）
2
2
4
三、 解答题（本大题共 6小题，共60分）
1 -cos2x
1 1
17
、解：（I ） f （x ） cos2x cos2x ：：；‘-
”，””
2
2 2
•••当cos2x =1时，函数取得最大值 1；当cos2x = -1时，函数取得最小值 0
C 1
(n
) ; f(C )二1,
2 4
1 1 1 ..-cosC
2 2 4
2
100 气 30 汇 10-45勺5) 75^25 沁 45 父 55
因为3.030 ::: 3.841，所以我们没有95%勺把握认为“体育迷”与性别有关。

”,， 6分
（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为 5人，
从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
「d,a 2
, a 「a 3 , az^ ,印山,印心,a 2,d , azb , a 3,d , a 3,b> ,九鸟 /
sin B 二 2sin A b =2a .9 = a 2
4a-2a 2a cos —
3
10分
S.ABC 1 2 9.3 absin C 二 a 2 sin C 2 14
6分
8分
）））））））
八
12分
100人中，“体育迷”有25人,
18、解: （1）由频率分布直方图可知，在抽取的 从而完成2 2列联表如下: 将2 2列联表中的数据代入公式计算，得
又 C （0,二）
100 33
:3.030
其中a i表示男性，i -1,2,3 , b j表示女性j -1,2。

3
3
门由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。

用A 表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
人—诃力,a !,b 2 , a 2,^ , a 2,b 2 , a 3,d , a 3,p , b ib /
事件A 由7个基本事件组成，因而 P A = 7 。

7
10
19、（ I ）证明：在:ABD 中，由于 AD =4,BD =8,AB =4、.5，
所以 AD 2 BD 2 二 AB 2。

故 AD _ BD 。

2 2
20、解析：（1）设椭圆方程X 2一川笃=1 a b 0 ，
a b
c = "2,2a = AC + BC = 4,b =72,,
2 分
2 2
椭圆方程为x • y . =1
4 2
(2)直线的方程为 y 二-x-m ，令M x 1,y 1 , N x 2,y 2，联立方程得:
・
4m
% X 2厂——
2
2
3
3x 2 -4mx 2m 2 _4 = 0,
2
， 2m-4 X 1「 3
:=16m 2 -12(2 m 2 -4)
0= - 6 :: m ；： -'6
若Q 1,0恰在以线段MN 为直径的圆上，
则-^― ¥ 丫2
= -1,即 m 2 +1 _(m+1 X 片 +x 2 )+2片欧2 =°，
X 1「1 X 2「1
2 ―
2—,19
3m -4m -5 = 0，解得 m = -
10分 12分
又平面PD _平面ABCD,BD 平面ABCD ，所以BD _平面PAD , 又BD 二平面MBD ，故平面MBD I 平面PAD ,,,,,,,,,,
（II ）解：过 M 作 MN _ DC 于 N,
M 是PC 的中点，.MN =2
V
P _DMB
二
V
P _DBC _V M _DBC
16
6分
12分
(壮,、、6)
11 / 8
12 / 8
综上，当a
-2时, f(x)在(0,：：)单调递减
2时, 1 1
f (x)在(0, ------- )和(1,P )单调递减，在(
------------ ,1)上单调递增”
，a T ' a _1，
(川)由(n)知，当 a - (2,3)时，f(x)在［1,2］上单调递减 当x =1时，f (x)有最大值，当x=2时，f (x)有最小值
a 3
| f(x ,)-f(X 2)匸 f(1)-f (2)
In 2
2 2
a
3
ma In 2 ： — 一 In 2
,,,,,,
2 2
1
3
113
而 a - 0 经整理得 m •
1
- 3
由2 <a ::: 3得- 1
：：： 1 - 3 ::: 0,
2 2a
4 2 2a
10分
12分
2 z . 19
.m
付合题意
””，”，
12分
3
21、解：(I)函数的定义域为 (0,亠•)
1 x _ 1 当 a =1 时，f(x)=x —l nx, f'(x)=1 ——=
----------------------------------------------------------------- .令 f'(x) = 0,得 x=1.
x x
当 0 :: x :: 1 时，f '(x) ：：： 0 ；当 x 1 时，f '(x) . 0
.f(x)在(0,1)单调递减，在(1,=)单调递增
f (x)极小值=f(1)=1，无极大值
，,,,””
4
分
2
1 (1-a)x ax-1 (n) f '(x) = (1 —a)x a -
x
a -1
[(1 —a)x 1](x —1)
2
①当1
1即a =2时，「⑴二一以一1) a -1
< 0, f(x)在(0,：：)上是减函数
1
②当1 a -1
1 、
d ，即 a ・2时，令 f '(x) ::: 0，得 0 ：： x ——或x 1,
1
令 f '(x)
0，得 1 : x
<1
13 / 8
14 / 8
① (1)
或②*x<3
-2x 2<3x 4
4<3x 4
所以.BDE 二.BCA ，又.DBE 二.CBA ,
所以 DBE s CBA ，即有 BE =DE AB =2AC , BA CA 所以BE =2DE ，又CD 是.ACB 的平分线， 所以 AD =DE ，从而 BE =2AD 。

”，”” 5 分
(2)由条件的 AB =2AC =2 设 AD 二t , 根据割线定理得 BD BA 二BE BC ,
即 AB-AD BA=2AD 2AD CE ， 所以 2-t 2 =2t 2t • 2 即 2t 2 • 3t -2 = 0
1
i 解得t ，或t - -2 (舍去)，即AD =—
2
2
23、选修4-4 :坐标系与参数方程
10分
2 2
(1) x y =4①，
(2)把②代人①得，t 2 +
(2+ 3 设
t 1,t 2是方程③的两个实根，则
x =2 1 t
2
(t 为参数[②
昇3
t 1t 2 = - 3 所以 |PA| ‘|PB| = |t1||t2|=|t1t2|=3
24、选修4-5 :不等式选讲
10分
[-2x +2, 解：因为f(x)=」4,
2x-2,
x 「1
-1<x <3,所以原不等式等价于
x 3
解得①无解，②0W x<3，③x 3,
因此不等式的解集为〈X x> 0二
(n)由于不等式f (x)> m的解集为R，所以f(x)min > m, ,,,,,,, 7分又f (x)斗X 1| • |X-3|A |x T3-x| = 4，即f(x)min =4, ,,,,,,, 9 分所以m W4，即m的取值范围为：；：一兀',4】. ,,,,,,, 10分
或③ 2x32<3x 4
15 / 8。