江苏省盐城市2022届数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

江苏省盐城市2022届数学高二第二学期期末达标检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≤的否定是（ ）
A ．2,10x R x x ∀∈-+>
B ．2,10x R x x ∀∈-+≤
C ．2
000,10x R x x ∃∈-+>
D ．BF AC ⊥
2．对33000分解质因数得333300023511=⨯⨯⨯，则33000的正偶数因数的个数是（ ） A ．48 B ．72 C ．64
D ．96
3．若函数
是奇函数，则使
成立的的取值范围为( )
A ．( )
B ．()
C ．
D ．
4．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )
A ．400
B ．460
C ．480
D ．496
6．已知函数，则
A ．的最小正周期为，最大值为
B ．的最小正周期为，最大值为
C ．的最小正周期为，最大值为
D ．的最小正周期为
，最大值为
7．已知
1y
x i i
=+-，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．函数3
()x x
x f x e e
-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1
a b +，4b c +，9c a
+（ ） A ．都大于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都小于4
D ．至少有一个不小于4
10．设函数()()2
24,ln 25x
f x e x
g x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ） A ．()()0g a f b << B ．()()0f b g a << C ．()()0g a f b << D ．()()0f b g a <<
11．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，136a a -=，则12n a a a ⋅⋯的最大值为( ) A ．32
B ．128
C ．64
D ．256
12．已知集合{1,1}A =-，{1,0,1}B =-，则集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中元素的个数为( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________
14．命题*:0p N ∈，命题:1q Q ∈，则“p 或q ”是__________命题.(填“真”、“假”） 15．已知双曲线1C ，2C 的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程为1
y x a
=±
，离心率分别为1e ，2e ．则12e e + 的最小值为___________．
16．已知随机变量ξ服从二项分布1~4,3B ξ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，则(3)P ξ==__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图所示，在边长为8的正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD BC ⊥，EH BC ⊥，
FG BC ⊥，D 、H 、G 为垂足，若将ABC ∆绕AD 旋转180，求阴影部分形成的几何体的表面积与体
18．甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：
①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点12345678,,,,,,,A A A A A A A A ，分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球、然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O 构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加. ②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．
（1）求甲能参加音乐社团的概率；
（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差 19．（6分）已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()+()+2f x+y =f x f y xy ，且(1)1f =. （I ）求(2), (3), (4)f f f 的值，并猜想()()f n n +∈N 的表达式； （II ）用数学归纳法证明（I ）中的猜想.
20．（6分）已知平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，2AD =，
2AB =，F 是BC 边上的点，且2BF FC =，若AF 与BD 交于E 点，建立如图所示的直角坐标系.
（1）求F 点的坐标； （2）求AF EC ⋅.
记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示： 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 ▲ 30 女 ▲ 12 ▲ 总计 ▲
▲
50
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示： 成功完成时间（分钟） [0，10) [10，20) [20，30) [30，40] 人数 10
10
5
5
表2
（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？ （2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为()0,1a +，求(),0a 的分布列及数学期望
(1,)a ++∞.
附参考公式及数据：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
(1,)-+∞
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．（8分）设椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的右焦点为F 6
，过点F 且与x 轴垂直的直
线被椭圆Γ23
.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）如图，A .B 分别为椭圆Γ的左.右顶点，过点F 的直线l 与椭圆Γ交于C .D 两点.若
4AC DB AD CB ⋅+⋅=，求直线l 的方程.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
根据命题“2
000,10x R x x ∃∈-+≤”是特称命题，其否定为全称命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“＞”即可得
答案 【详解】
∵命题“2
000,10x R x x ∃∈-+≤”是特称命题
∴命题的否定为2,10x R x x ∀∈-+>． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题． 2．A 【解析】
分析：分33000的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可
2,2,2,2四种情况），
详解：33000的因数由若干个2（共有3210
3,3两种情况），
若干个3（共有0
5,5,5,5四种情况），
若干个5（共有3210
11,11两种情况），
若干个11（共有10
⨯⨯⨯=，
由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264
⨯⨯=，
不含2的共有24216
∴正偶数因数的个数有641648
-=个，
即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.
点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
3．C
【解析】
【分析】
由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．
【详解】
∵f（x）=是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
即
整理可得，
∴1﹣a•2x=a﹣2x
∴a=1，
∴f（x）=
∵f（x））=＞3
∴﹣3=＞0，
整理可得，，
∴1＜2x＜2
解可得，0＜x＜1
故选C．
【点睛】
本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．
4．D
【解析】
D
试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=1．
故答案选D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
5．C
【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有3111
6321
C C C C种方法，用四种颜色涂色时，有
4112
6322
C C C A种方法，根据分类计数原理得到结果.
详解：只用三种颜色涂色时，有3111
6321120
C C C C=种方法，
用四种颜色涂色时，有4112
6432360
C C C A=种方法，
根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.
故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
6．B
【解析】
【分析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型
函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】 根据题意有
，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】
该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 7．D 【解析】 【分析】 由
1y
x i i
=+-得()11y x x i =++-，根据复数相等求出x y ，的值，从而可得复数x yi +的共轭复数，得到答案. 【详解】 由
1y
x i i
=+-有()()()111y i x i x x i =-+=++-，其中x 、y 是实数. 所以110x y x +=⎧⎨
-=⎩，解得1
2x y =⎧⎨=⎩
，所以1+2x yi i +=
则复数x yi +的共轭复数为12i -，则12i -在复平面内对应的点为()1
2-，. 所以复数x yi +的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选：D 【点睛】
本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象． 【详解】
()()
()3
3
x x x x x x f x f x ----==-=-，所以，函数()y f x =为奇函数，排除D 选项；
当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；
又()32222
28
21f e e e e
--==>++，排除B 选项．故选C ． 【点睛】
本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题． 9．D 【解析】
分析：利用基本不等式可证明111a b c b c a +++++6≥，假设三个数都小于2，则111
6a b c b c a
+++++<不可能，从而可得结果. 详解：
1111116a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+
++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 假设三个数都小于2， 则111
6a b c b c a
+
++++<，所以假设不成立， 所以至少有一个不小于2，故选D.
点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少． 10．A 【解析】
由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，
∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<．选A ．
点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用()()10,10f g ><判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得()()g a f b ，的取值范围，其中借助0将()()g a f b ，与联系在一起
11．C 【解析】 【分析】
先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得()72
121
()
2
n n n a a a -⋅⋯=，令
()()1
72
f n n n =
-，根据复合函数的单调性即可求出． 【详解】
由1212a a +=，136a a -=，可得11122116a a q a a q +=⎧-=⎨⎩
，解得18a =，1
2q =，
1411
8()()22
n n n a --∴=⨯=，
()()
73210142
1211
()()
22
n n n n a a a ----+++⋯-∴⋅⋯==，
令()()()
2211174977()22228
f n n n n n n =
-=-=--， 当3n =或4n =时，()f n 有最小值，即()6min f n =-，
12n a a a ∴⋅⋯的最大值为61
()642
-=，
故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题 12．D 【解析】
由题意得，根据{|,}C a b a A b B =+∈∈，可得+a b 的值可以是：2,1,0,1,2--，共有5个值，所以集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中共有5个元素，故选D. 考点：集合的概念及集合的表示.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．105. 【解析】
分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果. 详解：因为(150,0.7)x B ~，所以1500.7105.Ex =⨯= 点睛：(,),(),()(1).x B n p E X np V X np p ~==-
分析：先判断p,q 真假，再判断“p 或q ”真假. 详解：因为*0N ∉，所以p 为假命题, 因为1Q ∈，所以q 为真命题, 因此“p 或q ”是真命题，
点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.
15．【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得1e a
=，2e =. 【详解】
解：由渐近线方程为1
y x a
=±
可知， 2212:x C y a λ-=，22
22:x C y m a -=(),0m a λ>，,
∴1e a
=
，2e =
∴12
a e e =+≥==+
≥=
=，即1a =，
第二次取等号的条件为1
a a
=
，即1a =. ∴
12e e + 的最小值为
故答案为：. 【点睛】
本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题. 16．
881
【解析】
直接利用二项分布公式得到答案. 【详解】
随机变量ξ服从二项分布1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()33
4128
3()3381P C ξ==⨯⨯=
故答案为：8
81
【点睛】
本题考查了二项分布的计算，属于简单题目. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．表面积为48π+，体积为3
. 【解析】 【分析】
旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，根据数据利用面积和体积公式，可求其表面积与体积． 【详解】
由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，
且圆锥的底面半径为4，高为2，高为 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面． 圆锥的底面积为16π，圆锥的侧面积为8432ππ⨯⨯=，
圆柱的侧面积为22π⨯⨯=，
故所求几何体的表面积为163248πππ++=+.
∴阴影部分形成的几何体的体积为221423ππ⨯⨯⨯⨯=.
【点睛】
本题考查组合体的表面积和体积的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18． (1) 47
；(2)分布列见解析； 数学期望12
7；方差3649
【解析】 【分析】
（1）先求得基本事件的总数为2
8C ，然后计算出与圆心O 构成直角三角形或钝角三角形的取法数之和，再利用古典概型概率计算公式，求得所求概率.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列，并求得数
学期望和方差. 【详解】
解：（1）从盒中随机摸出两个小球，即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有2
828C =种，其
中与圆心O 构成直角三角形的取法有8种:1324354657687182,,,,,,,A A O A A O A A O A A O A A O A A O A AO A A O ，与圆心O 构成钝角三角形的取法有8种: 1425364758617283,,,,,,,A A O A A O A A O A A O A A O A AO A A O A A O .所以甲能参加音乐社团的概率为：884
287
P +==. （2）由题意可知：4~3,
7X B ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，X 的可能取值为：0,1,2,3. 0
3
034327(0)77343P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 1
2
13
43108(1)77343
P x C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21
2343144(2)77343P x C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3
33
4364(3)77343
P x C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以X 的分布列为：
数学期望()377
E X np ==⨯= 方差4336
()(1)37749
D X np p =-=⨯⨯=
【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查二项分布分布列、期望和方差的计算，属于中档题.
19．（I ）2
()f n n =；（II ）证明见解析.
【解析】 【分析】
（I ）根据(2),(3),(4)f f f 的值猜想()()f n n N +∈的表达式；（II ）分1n =和1n k =+两步证明. 【详解】 （I ）
()()()()2? 11f x y f x f y xy f +=++=，，
()()2111124f f ∴=+=++=， ()()321412219f f =+=++⨯⨯=， ()()4319123116f f =+=++⨯⨯=，
∴猜想()2f n n =.
（II ）证明：当1n =时，()11f =，猜想成立； 假设()1n k k =≥时，猜想成立，即()2
f k k =，
则当1n k =+时，()()()()2
21121211f k f k f k k k k +=++⨯=++=+， 即当1n k =+时猜想成立.
综上，对于一切()2
n N f n n +∈=均成立.
【点睛】
本题考查抽象函数求值与归纳猜想. 20．（1）82
(,)33F ；（2）6215
. 【解析】 【分析】
（1）根据题意写出各点坐标，利用2BF FC =求得点F 的坐标。

（2）根据2
5
BE BD =求得点E 的坐标，再计算AF 、EC ，求出数量积。

【详解】
建立如图所示的坐标系，
则(0,0)O ，(2,0)B ，(3,1)C ，(1,1)D ，(1,1)BC = 由2BF FC =，所以2
3
BF BC =
， 设(,)F x y ，则(2,)BF x y =-, 所以22(2,)(,)33x y -=，解得8
3x =
，23
y =
所以82(,)33
F
（2）根据题意可知EBF
EDO ∆∆，所以222(,)555
BE BD ==-,
所以82(,)53E ，从而82(,)33AF =，73(,)55
EC =
872362
353515
AF EC ⋅=⨯+⨯=。

【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。

21． (1) 能(2)50
3
（3）见解析 【解析】
分析：根据题意完善表格，由卡方公式得出结论。

（2）根据题意，平均时间为1111
51525353366
⨯
+⨯+⨯+⨯计算即可 （3）由题意，满足超几何分布，由超几何分布计算概率，数学期望()E x nM
N
= 详解：（1）依题意，补充完整的表1如下： 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 8 30 女 8 12 20 总计
30
20
50
由表中数据计算得2
K 的观测值为2
5022128850
== 5.556 5.024*********
k ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯（）
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。

（2）依题意，所求平均时间为1
1112050
5+15+25+35=+10=336633
⨯⨯⨯
⨯（分钟） （3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，故()()321
773331010721
0,12440
C C C P X P X C C ======
()()123
73333101071
2,340120
C C C P X P X C C ======
故X 的分布列为 X
1
2
3
P
1
120
故()721719012324404012010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 点睛：计算离散型随机变量的概率，要融入题目的情景中去，对于文字描述题，题目亢长，要逐句的分析。

超几何分布的特征：
1.样本总体分为两大类型，要么A 类，要么B 类。

2.超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思。

3.超几何分布是将随机变量X 分类，每一类之间是互斥事件。

4. 超几何分布的随机变量X 的确定我们只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的X 在最少和最多之间。

22．（1）2
213
x y +=；
（2
）y x = 【解析】 【分析】
（1
）根据题意，得出3c a =
及223
b a =
， 求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）由（1）设直线l
的方程为x my =+
12y y +，12y y ，再根据向量的数量积的运算，列出方程，求得m 的值，即可得到直线的方程.
【详解】
（1）因为椭圆Γ
的离心率为
3
，所以3
c a =， 易得过右焦点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆Γ
截得的线段长为223
b a =
，
解得a =
1b =，
故椭圆Γ的方程为2
213
x y +=；
（2）由（1）知，右焦点F
的坐标为
)
0，于是可设直线l
的方程为x my =
设()11C x y ，
，()22D x y ，，
由2213
x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩， 得(
)22310m y ++-=，
由韦达定理得1223
y y m +=-
+，12
213y y m =-+，
又易知()
0A
，)
0B ，
所以()
11AC x y =，(
)
223DB x y =-，，
()
22AD x y =+，()1
1
3CB x y =
-，
，
因此()()
1
2
12
2
1123AC DB AD CB x x y y x x y y ⎡⎤⎡⎤⋅+⋅=+-++-⎣⎦⎣⎦
(
12
12
1
2
12
622622x x y y my my y y =--=--
()
()2121222122m y y m y y =-+-+
(
)
2
2
222
1102
2212333
m m m m m --+=-+⋅-⋅=++++， 而4AC DB AD CB ⋅+⋅=，所以2
2
102243
m m ++=+，解得m =，
故直线l 的方程为2
x y =y x =. 【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。