函数的单调性和奇偶性--参考教案

3.3函数的单调性和奇偶性
飞船着陆过程中, 随时间的变化, 飞船离地面的高度越来越低.发射升空的运载火箭(或着陆的载人飞船)离地面的高度是飞行时间的函数.科技工作者研究这些函数后, 能够把飞船按计划送入预定轨道或迎接英雄凯旋.这是我们认识客观规律的重要方法和途径.
二、自主探究
在初中, 我们曾经利用函数图像探究函数值y 随自变量x 增大而增大 (或减小)的变化规律.仔细观察下图的函数图像, 随着自变量x 的增大, 函数y的变化趋势分别是怎样的?
观察上图, 函数y=x 和y=-x 的定义域是R.当自变量x 的值逐渐增大时, 图(1)中, 函数图像从左到右是上升的, 函数值y 随着自变量x 的增大而增大.图(2)中, 函数图像从左到右是下降的, 函数值y 随着自变量x 的增大而减小.图(3)中, 函数y=x2 的定义域是 R.可以看出, 在 (-∞, 0)内, 函数图像从左到右是下降的, 函数值y 随着自变量x 的增大而减小; 在(0, +∞)内, 函数图像从左到右是上升的, 函数值y 随着自变量x 的增大而增大.
概念
像上述情形, 在某个区间内, 函数值随自变量的增大而增大(或减小) 的性质叫作函数
的单调性.
一般地, 设函数的定义域为I, 区间D⊆I. (1)如果对任意x1, x2∈D, 当x1<x2 时, 都有f(x1)<f(x2), 那么就称函数f(x)在区间D 上单调递增, 如图所示.特别地, 当函数 f (x)在它的定义域上单调递增时, 我们就称它是增函数. (2)如果对任意x1, x2∈D, 当x1<x2 时, 都有f(x1)>f(x2), 那么就称函数f(x)在区间 D 上单调递减, 如图所示.特别地, 当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时, 我们就称它是减函数.
如果函数y=f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减, 那么就称函数 y=f(x)在区间 D 上具有(严格的)单调性, 并且区间 D 叫作函数y=f(x) 的单调区间.
例1如图是函数y=f(x), x∈[-1, 8]的图像, 根据图像回答下列问题.
（1）当x 取何值时, 函数值最大, 最大值是多少? 当x 取何值时, 函数值最小, 最小值是多少?
(2)说明该函数的单调区间及在每一个区间上的单调性.
解 (1)由图可知, 当x=2时, 函数值最大, 最大值是3; 当x=6时, 函数值最小, 最小值是-3. (2)函数y=f(x)的单调区间有[-1, 2], [2, 6], [6, 8].函数y= f(x)在区间[-1, 2]和[6, 8]上都是增函数, 在区间[2, 6]上是减函数. 例2二次函数f(x)=-x2+2x+3的图像如图所示.
(1)求函数f(x)的对称轴方程、顶点坐标;
(2)找出函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[2, 5]时, 求函数y=f(x)的最大值和最小值.
解 (1)二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方
程是x=-b
2a , 顶点坐标是(-b
2a
,4ac−b2
4a
).
-b
2a
=-2×(2-1)=1,
4ac−b2
4a
=4×(-1)×3-22 4×(-1) =4.
因此, 函数y=f(x)的对称轴方程是x=1, 顶点坐标是(1, 4).
(2)由图像可知, 函数y=f(x)的增区间是(-∞, 1], 减区间是 [1, +∞).
(3)因为[2, 5]⫋[1, +∞), 且函数在区间[1, +∞)上是减函数, 所以当x∈[2, 5]时, 函数f(x)的最大值是f(2)=-22+2×2+3=3, 函数f(x)的最小值是f(5)=-52+2×5+3=-12. 例3判断函数f(x)=x+1在(-∞, +∞)上的单调性.
解任取x1, x2∈(-∞, +∞), 且x1<x2, 那么f(x1)=x1+1, f(x2)=x2+1, 则f(x1)-f(x2)=x1+1-x2-1=x1-x2<0, 所以, 函数f(x)=x+1在(-∞, +∞)上是增函数. 综上所述, 当k>0时, 函数f(x)=kx+b在区间(-∞, +∞)上是增函数, 如图所示; 当k<0时, 函数f(x)=kx+b在区间(-∞, +∞)上是减函数, 如图所示.
练习
1(.1)填我空国题20.19年1月至2020年9月全国居民消费价格月度同比上涨情况如图所示.(注: 引自国家统计局)从图中可以看出, 我国居民消费价格同比上涨值从 2019 年 2 月的
逐渐上升到 2020 年 1 月的 , 随着时间的推移逐渐降低到2020年5月的 .
(2)函数y=f(x)的定义域为(-∞, +∞), 其图像如图所示
函数在区间上是增函数, 在区间上是减函数.
(3)函数f(x)=2x-1在区间(-∞, +∞)上是(填“增”或“减”)函数, 则f(4) f(1);(填“<”或“>”函数g(x)=x1在区间(-∞, 0)上是(填“增”或“减”)函数, 则g(-2) g(-5)(填“<”或“>”).
2.画出下列函数的图像, 并指出函数的单调区间.
(1)y=-3x+6; (2)y=2x; (3)y=x2-1.
3.根据定义证明函数f(x)=3x-1是增函数.
4. 一元二次函数y=x2+4x 的图像如图所示.
3.3函数的单调性和奇偶性
一、创设情境
画出函数f(x)=|x| 和g(x)=x2 的图像
二、自主探究
观察发现, 函数f(x)=|x|的定义域是(-∞, +∞), 函数图像关于y轴对称.从表中还发现,
当自变量取一对相反数时, 对应的函数值相等, 如f(-1)=f(1)=1, f(-2)=f(2)=2, f(-3)= f(3)=3, …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有f(-x)=|-x|= |x|=f(x), 即f(-x)=f(x). 图3-14(2)中, 函数g(x)=x2 的定义域是(-∞, +∞), 函数图像也关于y轴对称.
表中, 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值相等, 如g(-1)=g(1)=1, g(-2)=g(2)=4, g(-3)=g(3)=9, …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有g(-x)=(-x)2=x2=g(x), 即g(-x) =g(x). 这两个函数的图像都关于y 轴对称; 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值都相等, 这种函数就是偶函数.
概念
一般地, 设函数f(x)的定义域为D, 如果对于任意x∈D, 都有-x∈D, 且f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫作偶函数, 如图所示.偶函数的图像关于y轴对称. 我们可以由函数的图像是否关于y轴对称来判断函数是不是偶函数.
例1例 1 根据图中函数的图像, 判断哪些函数是偶函数.
解在四个函数图像中, (1)和(4)的函数图像关于y 轴对称; (2)和 3)的函数图像不关于y 轴对称.根据偶函数的图像具有关于y 轴对称的特点, 函数y=-|x|+2和y=f(x), x∈[-4.7, 4.7]是偶函数, 函数 y=x-2和y=x2+2x 不是偶函数.
例2 已知f(x)=|x|+1是偶函数, 其图像在y 轴右边的部分如图所示.试画出这个函数图像在y轴左边的部分.
解函数f(x)=|x|+1的定义域是(-∞, +∞), 因为它是偶函数, 所以根据其图像关于y轴对称的特点, 即可画出这个函数x∈(-∞, 0] 的图像.如图所示, 在y轴右边的图像上取两点A 和B, 分别画出它们关于y轴对称的点A'和B', 然后连线, 就得到这个函数的图像在y 轴左边的部分.
例3判断下列函数是不是偶函数.
(1)f(x)=3x2+1; (2)f(x)=x2+x; (3)f(x)=5x+2. 解 (1)函数f(x)=3x2+1的定义域是R, 对任意x ∈R, 都有-x∈R, 而
f(-x)=3×(−x)2+1=3x2+1=f(x),
所以, 函数f(x)=3x2+1是偶函数.
（2）函数f(x)=x2+x的定义域是R, 对任意x∈R, 都有-x∈R, 而 f(-x)=(−x)2+(-x)=x2-x≠
f(x), 所以, 函数f(x)=x2+x不是偶函数. (3)函数f(x)=5x+2的定义域是R, 对任意x∈R, 都有-x∈R, 而 f(-x)=5(-x)+2=-5x+2≠f(x), 所以, 函数f(x)=5x+2不是偶函数.
练习
1.填空题.
(1)点(3, -1)是偶函数y=f(x)图像上的点, 则点也一定在这个函数的图像上.
(2)若偶函数f(x)的定义域为(-∞, +∞), 且f(-4)=-3, 则 f(4)= .
2.在下列四个函数的图像中, 具有偶函数图像特点的是( ).
3.偶函数f(x)=x2-3的图像在(-∞, 0]的部分如图所示, 请你画出这个函数图像在y轴右边的部分.
4.判断下列函数是不是偶函数.
(1)f(x)=2x; (2)f(x)=1
x; (3)f(x)=x
2-x;
(4)f(x)=5, x∈R.
函数f(x)=2x 和g(x)=x3 都不是偶函数, 它们的图像有何对称性呢?
画出函数f(x)=2x 和g(x)=x3 的图像
函数f(x)=2x 的定义域是(-∞, +∞), 函数图像关于原点中心对称.表3-13中, 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值是一对相反数, 如f(-1)=-2=-f(1), f(-2)=-4=-f(2), f(-3)=
-6=-f(3), …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有f(-x)=2× (-x)=-2x=-f(x), 即
f(-x)=-f(x).
函数g(x)=x3 的定义域是(-∞, +∞), 函数图像也关于原点中心对称.表3-14中, 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值也是一对相反数, 如g(-1)=-1=-g(1), g(-2)=-8=-g(2),
g(-3)=-27=-g(3), …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有 g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x), 即
g(-x)=-g(x).
这两个函数的图像分别关于原点中心对称; 当自变量取一对相反数时, 相应的函数值也是一对相反数, 这种函数就是奇函数.
概念
一般地, 设函数f(x)的定义域为D, 如果对于任∙意∙x∈D, 都∙有∙-x∈ D, 且f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫作奇函数, 如图所示.奇函数的图像关于原点中心对称. 我们也可以由函数图像是否关于原点中心对称来判断函数是不是奇函数.
例4
根据图中函数的图像, 判断哪些函数是奇函数.
解在四个函数的图像中, 图1)、图(2)和图(3)的函数图像关于原点中心对称; 图(4)的函数图像不是关于原点中心对称的. 根据奇函数的图像具有关于原点中心对称的特点, 图(1)、图(2) 和图(3)是奇函数, 图(4)不是奇函数.
例5已知函数f(x)=x1是奇函数, 其图像在y 轴右边的部分如图所示.试画出这个函数图像在y
轴左边的部分.
解函数f(x)=x1的定义域是(-∞, 0)∪(0+∞), 因为它是奇函数, 所以根据其图像关于原点中心对称的特点, 即可画出这个函数x∈(-∞, 0) 的图像.如图所示, 在y 轴右边的图像曲线上取三个不同点A, B 和C, 并画出它们分别关于原点对
f(x)=x4 是偶函数.
(2)要使函数f(x)有意义, 必须满足x≠0, 所以函数f(x)的定义域是D={x|x≠0}, 对任意x∈D, 都有-x∈D, 且
f(-x)=-x--1x=-x+x1=-(x-x1)=-f(x), 所以, 函数f(x)=x-x1是奇函数.
(3)函数f(x)=x2+x 的定义域是R, 对任意x∈R, 都有-x∈R, 且 f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x, 但f(-x)≠f(x), 且f(-x)≠-f(x), 所以, 函数
f(x)=x2+x 既不是奇函数也不是偶函数. (4)要使函数f(x)有意义, 必须满足x-1≠0, 所以函数f(x)的定义域是D={x|x≠1}, 对任意x ∈D, 不都有-x∈D 成立. 所以, 函数
f(x)=x1-1不具有奇偶性, 它既不是奇函数也不是偶函数.
练习
1.奇函数f(x)的定义域为(-∞, +∞), 且
f(-1)=7, 则f(1)= .
2.奇函数f(x)的图像在(-∞, 0)的部分如图所示, 请你画出函数图像在y轴右边的部分.
3.判断下列函数是不是奇函数.。