江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题 含答案

2017届高三暑假自主学习测试试卷
数 学 2016。

9 参考公式:
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2
2
1
1()n
i i s
x x n ==-∑,其中
1
1n i
i x x n ==∑．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答
案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．设集合{}1,0,1-=M ，{}0
2
≤+=x x x N ，则=N M ▲ ．
2．命题“1>∃x ，使得22
≥x
”的否定是
▲ ．
3．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z -，若2z =z
- 2
3i ，
则z ▲ ．
4．现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ,B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为 ▲ ． 5．曲线x
e y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ．
6. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是 ▲ ．
第6题图
7。

定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x
f x x =-，则()(0)1f f +-＝
▲ ．
8。

已知等差数列{}n
a 的公差为d ，若1
2
3
4
5
,,,,a a a a a 的方差为8, 则d 的值
为 ▲ ．
9. 如图,在长方体11
1
1
ABCD A B C D -中,3AB AD cm ==，1
2AA cm =，
则三棱锥1
1
A B D D -
的体积为 ▲
3cm ．
第9题图
10. 已知π(0,)2α∈，π(,π)2β∈,1cos 3
α=，5
3)sin(-=+βα,则cos β= ▲ ．
11．已知函数
31
1,
,()11,,
x f x x
x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
12．圆心在抛物线2
12
y x =上,并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆
的标准方程为 ▲ ．
13．已知点P 是ABC ∆内一点（不包括边界)，且AC n AB m AP +=，∈n m ,R ，则2
2(2)
(2)m n -+-的取值范围是 ▲ ．
14．已知2,0a b b +=>,当
1||
2||a a b
+取最小值时，实数a 的值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=． （1）求A 的大小；
(2）若=3AB AC ⋅，求△ABC 的面积．
16．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2
2
PA PD AD ==
,若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.
（1）求证:EF ∥平面PAD ；(2）求证:EF ⊥平面PDC 。

17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:22
22=+b
y a x C )0(>>b a 的左、右
焦点分别为2
1
,F F ，点P )1,3(在椭圆上，2
1
F PF ∆的面积为22。

（1) ① 求椭圆C 的标准方程；
② 若1
2
F QF
∠=
3
π
，求21QF QF ⋅的值。

(2)直线k x y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值。

第17题图
18．（本小题满分16分）
如图,某城市小区有一个矩形休闲广场，20
AB=米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松,现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元,记锐角NBEθ
∠=,总造价为W元．
（1）试将W表示为θ的函数()
cos的取值范围；
Wθ,并写出θ
(2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．
第18题图
19．(本小题满分16分）
在数列{}n
a 中，已知1
2a
=，1=321n n a a n ++-．
（1）求证：数列{}+n
a n 为等比数列； （2）记(1)n
n b
a n λ=+-，且数列{}n
b 的前n 项和为n T ,若3T 为数列{}n T 中的最
小项，求λ的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数2
()ln ,()f x x x g x x
ax =-=-．
（1)求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ; （2）令1
1
2
2
()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-1
2()x
x ≠是函数()h x 图象上任意两点，
且满足1
2
12
()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值范围;
(3)若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x
-≥成立，求实数a 的最大值．
2017届高三暑假自主学习测试试卷
数 学 2016。

9
附加题
注意事项：
1．本试卷共2页，满分40分,考试时间30分钟．
2．请将解题过程写在答题卡的规定区域,在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点,PB 交AC
于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠=︒，且19PD PB ==，
，求EC ．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
α为矩阵1
14a ⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
A 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的
值及2
A ．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
自极点O 任意作一条射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在射线OM
（第21—A
上取点P，使得12
⋅=,求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐OM OP
标方程．
D．选修4—5：不等式选讲
已知：2a x∈
-++-≥3．
x a x a
≥，R．求证:|1|||
【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡
．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．指定区域
．．．．
22．（本小题满分10分）
在公园游园活动中有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；
（2）在两次游戏中,记获奖次数为X，求X的数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知抛物线C的方程为22(0)
R在抛物线C上．
y px p
=>,点(1,2)
（1）求抛物线C的方程；
(2)过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若
直线AR，BR分别交直线:22
l y x
=+于
M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．
2017届高三暑假自主学习测试试卷
数学参考答案及评分标准 2016.9 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分． 1. {}0,1- 2。

1>∀x ，使得22<x
3。

i -2 4。

3
1 5。

1+=x y
6．30 7。

1-
8.
±
2 9。

3
10。

15
2
64+-
11.
1
(0,)2
12。

1)2
1
()1(22=-+±y x
13。

）（8,2
9 14. 2-
二、解答题：本大题共6小题,共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）
法一：在△ABC 中,由正弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，
得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， (3)
分
即sin 2sin cos A A A =, 因为(0π)
A
，，所以sin 0A ≠,所以1cos 2
A =，…………………………
6分
所
以
π3
A =
. (8)
分
解法二：在△ABC 中，由余弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=， 得2
22222222
2222a b c a c b b c a b c a ab ac bc
+-+-+-+=，…………………………3分
所以2
22a
b c bc
=+-，
所
以
222
1
cos 22
b c a A bc +-==， ………………………………………………6分
因
为
(0π)
A ，,所以
π
3
A =。

…………………………………………………8分
（2)由
=cos AB AC cb A ⋅bc =11分
所以△ABC 的面积为113
=sin 6022
2
S bc A =⨯=. ………………
14分
16．证明：（1）连结AC ，因为正方形ABCD 中F 是BD 的中点，则F
是
AC
的中点，又E 是P C 的中点,在△CPA 中，E F ∥
PA ………………………………………………………………………
…
3
分
且P A
⊂
平面P A D ，E F
⊄
平面P A D ，∴E F ∥平面
P A D (6)
分
(2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD
⊂
平面ABCD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面
PAD ， …………………………………………………………………………………8分
又PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PA ，因为EF//PA ， ∴CD ⊥EF ……………………………………10分
又PA=PD=2
AD,所以△PAD 是等腰直角三角形，且2
APD π∠=，
即PA ⊥PD
又EF//PA
，
∴
PD
⊥
EF ……………………………………………………………
…13分
而CD ∩PD=D,∴ PA ⊥平面PDC,又EF ∥PA,所以EF ⊥平面P
D
C
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
4
分
17．解:（1）①
由条件,可设椭圆的标准方程为122
22=+b y a x ,
可知11
9
2
2
=+
b a ，22=c
·························
····························· 2分
又222
c b a
+=，
所以4,1222
==b a
，
所以椭圆的标准方程为
14
122
2=+y x ·························
····················· 4分
② 当3
πθ=时，有
⎪⎩⎪⎨⎧==⋅-+==+32
)2(,
3422
21222
121c QF QF QF QF a QF QF ····················· 6分
所以
3
16
21=
⋅QF QF ························
········································ 8分
（2）设),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x y y x 14122
2，得01236422=-++k kx x (10)
分
4
12
,4123,2322122121-=-=-=+k y y k x x k x x ，···············
············· 12分
因为以AB 为直径的圆经过坐标原点,则
0622121=-=+=⋅k y y x x ，
解得6±=k ,此时0120>=∆，满足条件 因
此
6
±=k ··························
······················································ 14分 18． 解：（1）过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足
在RT BNF ∆中，16cos BF θ=，则2016cos MG θ=- 在
RT MNG
∆中，
2016cos sin MN θθ
-=
，··············4分
由题
意
易
得
16()
2CN π
θ=-
······················
··6分 因
此
，
2016cos ()216(),sin 2
W a a θπ
θθθ-=⋅+- ················7分
)
5
4
,0(cos ∈θ ·····················
······························9分
(2）2245cos (2cos 1)(cos 2)()168=8sin sin W a a a θθθθθθ
---=-+，
令
()=0
W θ，，
1
cos 2
θ=
，因为
1(,)
2
π
θ，所以
3
π
θ=
，·························
···················12分 设锐角1
θ满足14
cos 5
θ
=
， ），（301πθ∈
当1
(,)3
πθθ∈时，()<0W θ，
,()W θ单调递减；
当
(,)
32
ππ
θ∈时，
()>0
W θ，，
()
W θ单调递
增．························································
所以当
3
πθ= ,总造价W 最小,最小值为8)3
a π
，此时MN =NG =
NF =,因此当
AM =米时，能使总造价最
小．········································16分 19．解（1）∵1
=321n n a
a n ++-,∴)(311n a n a n n +=+++．
又12a
=，∴0,0>+>n a a n n ,故
31
1=++++n
a n a n n ，
{}n
a n ∴+是以3为首项，公比为3
的等比数
列 ………………………4分
(2
）由（1）知道
+3n
n a n =，
3n n b n λ∴=-. ………………………6分
123(1)
333(123)(31)22
n n n n n T n λλ+∴=++
+-+++
+=--。

………………8分
若3
T 为数列{}n
T 中的最小项,则对*
n ∀∈N 有3(1)
(31)3962
2
n
n n λλ+--
≥-恒成立 即1
2
381(12)n n n λ+-≥+-对*
n ∀∈N 恒成立 ……………………10分
1当1n =时，有13
36
5
T T λ≥⇒≥；
2
当2n =时，有2
39T T λ≥⇒≥； ………………
12分
3
当4n ≥时,2
12(4)(3)0n
n n n +-=+->恒成立，
1238112
n n n λ+-∴≤+-对4n ∀≥恒成立.
令
12381()12n f n n n +-=+-，则0)
12)(103()
1(162)262(3)()1(2
221>-+-+++-=-++n n n n n n n f n f n 对4n ∀≥恒成立， 12381
()12
n f n n n +-∴=+-在4n ≥时为单调递增数列.
(4)
f λ∴≤,即
81
4
λ≤。

………………………15分
综
上,8194
λ≤≤。

…………………
……16分
20．解（1）1()1f x x
'=-，令()0f x '=，则1x =，
当1t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递增，
()f x 的最小值为
()ln f t t t =-；
………………………1分
当01t <<时，()f x 在区间(),1t 上为减函数，在区间()1,1t +上为增函数，
()f x 的最小值为(1)1f =.
综上,当01t <<时,()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-。

…………………3分
(2）2
()(1)ln h x x
a x x =-++,对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不妨取12x x <，则120x x -<,
则由1
2
12
()()1,h x h x x x ->-可得1
2
1
2
()()h x h x x x -<-，
变形得
1122
()()h x x h x x -<-恒成
立， ………………………5分
令2
()()(2)ln F x h x x x a x x =-=-++,
则2
()(2)ln F x x a x x =-++在(0,)+∞上单调递增，
故1()2(2)0F x x a x
'=-++≥在(0,)+∞恒成立， ………………………7分
1
2(2)x a x
∴+
≥+在(0,)+∞恒成立.
12x x +
≥x =时取""=，
2a ∴≤. ………………
………10分 (3）
()
()a g x f x x
-≥
， 2
(1)2ln a x x
x x ∴+≤-.
(0,1]x ∈，1(1,2]x ∴+∈，(0,1]x ∴∃∈使得22ln 1x x x
a x -≤
+成立. 令22ln ()1
x x x
t x x -=
+，则22
23ln 1
()(1)
x x x t x x +--'=+， (12)
分
令2
23ln 1y x
x x =+--,则由(1)(41)
0x x y x
+-'=
= 可得14
x =或1x =-（舍)
当1(0,)4x ∈时0y '<，则2
23ln 1y x
x x =+--在1
(0,)4
上单调递减；
当1(,)4x ∈+∞时0y '>,则223ln 1y x x x =+--在1(,)4+∞上单调递增.
1
ln 408
y ∴>->
()0t x '∴>在(0,1]x ∈上恒成立。

()t x ∴在(0,1]上单调递增. (1)a t ∴≤，
即1a ≤.
………………………15分
∴
实
数
a
的
最
大
值
为
1.
………………………16分
附加题
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．
A ．选修4-1：几何证明选讲
解：弦切角60PAE ABC ∠=∠=︒，又PA PE =, 所以
PAE
△为等边三角形,由切割线定理有
29
PA PD PB =⋅=, …………………5分
所以3AE EP PA ===,2ED EP PD =-=，6EB PB PE =-=，
由相交弦定理有:12EC EA EB ED ⋅=⋅=,1234EC =÷=．………………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换
解：由条件可知1
221411a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
∴
2224a λ
λ
+=⎧⎨
-+=⎩,
解
得
2a λ==．
………………… 5分
因此1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以2
12121101414514A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． ……………10分
C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解:设(,)P ρθ，M
(,)
ρθ'，
∵12OM OP ⋅=，∴12ρρ'=．
∵cos 3ρθ'=,∴12
cos 3θρ
⋅=． 则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………………… 5分 ∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ,
得2
4cos ρρθ
=．
∴2
240
x
y x +-=． ……………………10分
D ．选修4-5：不等式选讲
解：证明：因为|m|+｜n ｜≥｜m －n|，
所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．…………………………… 6分
又a ≥2，故21|a -|≥3．
所以|1|||3x a x a -++-≥．……………………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22. 解:（1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A ．
21
3222531
()5
C C P A C C ==
． ·············
··········································3分 故在一次游戏中摸出
3个白球的概率
15
． ·······················
·················4分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2
1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100
P X P X C P X ==
⨯===⨯===⨯=．
X
的分布列为
······································8分 故
X
的数学期望
921497()012100501005
E X =⨯
+⨯+⨯=． ··············· ···
······················10分 （或：∵)10
7,2(~B X ,∴
77()2105
E X =⨯
=，同样给分)
23．解:(1)将(1,2)R 代入抛物线中，可得2p =,所以抛物线方程为
24y x =
……3分
（2)设AB 所在直线方程为(1)1(0)x m y m =-+≠，1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y
与抛物线联立
241
y x
x my m ⎧=⎨
=-+⎩得： 244(1)0y my m -+-=，所以12124,4(1)y y m y y m +==-
……5分
设AR ：1
(1)2y k x =-+,
由1(1)222y k x y x =-+⎧⎨=+⎩得112M k x k =-，而1112
111224
121
4
y y k y x y --===-+- 可得1
2M
x
y =-
,同理2
2N
x
y =-
所以|||M N MN x x =-=
……8分
令1(0)m t t -=≠,则1m t =+
所以|||M N MN x x =
-=≥
此时1m =-，AB 所在直线方程为：20x y +-= ……10分。